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2010届一轮复习高三数学第十一编统计、统计案例随机抽样


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2010 届步步高一轮复习高三数学第十一编统计、统计案 十一编统计 统计、
例随机抽样

基础自测
1.为了了解所加工的一批零件的长度,抽取其中 200 个零件并测量了其长度,在这个问题中,200 个零件 的长度是( A.总体? C.总体的一个样本 答案? 答案 C ? 2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 004 户,其中农民家庭 1 600 户,工人家庭 303 户,现要从 中抽取容量为 40 的样本, 则在整个抽样过程中, 可以用到下列抽样方法: ①简单随机抽样, ②系统抽样, ③分层抽样中的 ? A.②③? 答案? 答案 D ?? 3.某企业共有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,初级职称 90 人.现采用分层抽样抽取容 量为 30 的样本,则抽取的各职称的人数分别为 ( ? A.5,10,15 ? 答案? 答案 B ?? 4.(2008·广东理,3)某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 (2008·广东理, 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的 学生人数为 ( ) 一年级 二年级 x 370 C.16 ? 三年级 y z D.12 ? ) B.3,9,18 ? ? C.3,10,17 D.5,9,16 ? ( ) B.①③? C.③? D.①②③? ) B.个体? D.样本容量?

女生

373

男生 A.24 ? 答案? 答案 C ?? 第 1 页 共 7 页 B.48 ?

377

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5.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为 2∶3∶5,现用分层抽样方法抽出 一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n= 答案 80 .

例1

某大学为了支援我国西部教育事业,决定从 2007 应届毕业生报名的 18 名志愿者中,选取 6 人组成

志愿小组.请 用抽签法和产生随机数法设计抽样方案. 解 抽签法: 第一步:将 18 名志愿者编号,编号为 1,2,3,…,18. 第二步:将 18 个号码分别写在 18 张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 18 个号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取 6 个号签,并记录上面的编号; 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 产生随机数法:? 第一步:将 18 名志愿者进行编号,编号为 01,02,03,…,18.? 第二步:由于总体是一个两位数的编号,每次要从随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中任意一 个位置,比如比第 6 列和第 7 列这两列的第三行开始选数,由上到下读,凡不在 01—18 中的数或已读过 的数都不作记录,依次可得到 11,07,18,08,09,12.? 第三步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.? 例2 某工厂有 1 003 名工人,从中抽取 10 人参加体检,试用系统抽样进行具体实施. 解 (1)将每个人随机编一个号由 0001 至 1003. (2)利用随机数法找到 3 个号将这 3 名工人剔除. (3)将剩余的 1 000 名工人重新随机编号由 0001 至 1000. (4)分段,取间隔 k=
1 000 =100 将总体均分为 10 段,每段含 100 个工人. 10

(5)从第一段即为 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l. (6)按编号将 l,100+l,200+l,…,900+l 共 10 个号码选出,这 10 个号码所对应的工人组成样本. 例 3 (12 分)某一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3∶2∶5∶2∶3,从 3 万人中抽 取一个 300 人 的样本, 分析某种疾病的发病率, 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关, 问应采取什么样的方法? 并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法. 过程如下: (1)将 3 万人分为五层,其中一个乡镇为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×
3 2 =60(人) ;300× =40(人) ; 15 15

2分

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300× 300×
5 2 =100(人) ;300× =40(人) ; 15 15 3 =60(人) , 15

8分 10 分 12 分

因此各乡镇抽取人数分别为 60 人,40 人,100 人,40 人,60 人. (3)将 300 人组到一起即得到一个样本. 例 4 实际情况,采

为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映

取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有 20 个班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了 学号,假定该校每班学生的人数相同) :①从高三年级 20 个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取 20 名学生,考察他们的学习成绩;②每个班抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 名学生的成绩;③把学生 按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽取 100 名学生进行考察(已知该校高三学生共 1 000 人,若按成绩分,其中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人). 根据上面的叙述,试回答下列问题: (1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么?每一种抽取方式抽取的样本中,样本容量分别 是多少? (2)上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤. 解 (1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个 学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩,样本容量 为 20;第二种抽取方式的样本为所抽取的 20 名学生本年度的考试成绩,样本容量为 20;第三种抽取方 式的样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试成绩,样本容量为 100. (2)三种抽取方式中,第一种采用的是简单随机抽样法; 第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法; 第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. (3)第一种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先用抽签法在这 20 个班中任意抽取一个班. 第二步,然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 20 名学生,考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下: 第一步,首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生,记其学号为 a. 第二步,在其余的 19 个班中,选取学号为 a 的学生,加上第一个班中的一名学生,共计 20 人. 第三种方式抽样的步骤如下: 第一步,分层,因为若按成绩分,其中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人,所以在抽 取样本时,应该把全体学生分成三个层次. 第二步,确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为:100∶1 000=1∶10,所以在每 个层次中抽取的个体数依次为
150 600 250 , , ,即 15,60,25. 10 10 10

第三步,按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人;在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人;在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人.

1.有一批机器,编号为 1,2,3,…,112,为调查机器的质量问题,打算抽取 10 台入样,问此样本若采 用简单随机抽样方法将如何获得? 解 首先,把机器都编上号码 001,002,003,…,112,如用抽签法,则把 112 个形状、大小相同的号 第 3 页 共 7 页

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签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽出 1 个号签,连续抽取 10 次,就得到一个容 量为 10 的样本. 2.某单位在岗职工共 624 人,为了调查工人用于上班途中的时间,该单位工会决定抽取 10%的工人进行调 查,请问如何采用系统抽样法完成这一抽样? 解 (1)将 624 名职工用随机方式编号由 000 至 623. (2)利用随机数法从总体中剔除 4 人. (3)将剩下的 620 名职工重新编号由 000 至 619. (4)分段,取间隔 k=
620 =10,将总体分成 62 组,每组含 10 人. 62

(5)从第一段,即为 000 到 009 号随机抽取一个号 l. (6)按编号将 l,10+l,20+l,…,610+l,共 62 个号码选出,这 62 个号码所对应的职工组成样本. 3.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为 12 000 人,其中持各种 态度的人数如下表: 很喜爱 2 435 喜爱 4 567 一般 3 926 不喜爱 1 072

电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取 60 人进行更为详细的调查,应当怎样进行抽 样? 解 可用分层抽样方法,其总体容量为 12 000.“很喜爱”占 爱”占
2 435 2 435 ,应取 60× ≈12(人)“喜 ; 12 000 12 000

4 567 4 567 3 926 3 926 ,应取 60× ≈23(人)“一般”占 ; ,应取 60× ≈20(人)“不 ; 12 000 12 000 12 000 12 000 1 072 1 072 ,应取 60× ≈5(人).因此采用分层抽样在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不 、 、 12 000 12 000

喜爱”占

喜爱”的 2 435 人、4 567 人、3 926 人和 1 072 人中分别抽取 12 人、23 人、20 人和 5 人. 4.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加 某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1, 2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段,如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( )

A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

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答案 D

一、选择题 选择题 1.(2008·安庆模拟)某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人, (2008·安庆模拟) 现分层抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 ( A.15,10,20 ? ? C.15,15,15 答案? 答案 A ?? 2.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,则该抽样方法为①;从某中学的 30 名数学爱好者中抽 取 3 人了解学习负担情况,则该抽样方法为②.那么 ( ) ) B.10,5,30 ? D.15,5,25 ?

? A.①是系统抽样,②是简单随机抽样? ? B.①是分层抽样,②是简单随机抽样? ? C.①是系统抽样,②是分层抽样? ? D.①是分层抽样,②是系统抽样? 答案? 答案 A ?? 3.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是 ( )

A.某市的 4 个区共有 2 000 名学生,且 4 个区的学生人数之比为 3∶2∶8∶2,从中抽取 200 人入样 B.某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 5 个入样 C.从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取 200 个入样 D.从某厂生产的 20 个电子元件中随机抽取 5 个入样 答案 C 4.(2008·重庆文,5)某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生 (2008·重庆文, 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方法是 ( ? A.简单随机抽样法? 第 5 页 共 7 页 ) B.抽签法?

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? C.产生随机数法? 答案? 答案 D ?? 5.某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 200 人,学校团委欲用分层抽样的方法抽取 18 名 学生进行问卷调查,则下列判断正确的是 ( ) D.分层抽样法?

? A.高一学生被抽到的概率最大? ? B.高三学生被抽到的概率最大? ? C.高三学生被抽到的概率最小? ? D.每名学生被抽到的概率相等? 答案? 答案 D ?? 6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种, 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油 类与果蔬类食品种数之和是 ( ? A.4 ? 答案? 答案 C ?? 二、填空题 7.(2008·天津文,11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人. (2008·天津文,11) 为了调查职工的 健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人. 答案 10 8.将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,…,0020,从第一部分 随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码为 答案 0795 三、解答题 9.为了检验某种作业本的印刷质量,决定从一捆(40 本)中抽取 10 本进行检查,利用随机数表抽取这个 样本时,应按怎样的步骤进行? 分析 可先对这 40 本作业本进行统一编号,然后在随机数表中任选一数作为起始号码,按任意方向读下 去,便会得到 10 个号码. 解 可按以下步骤进行: 第一步,先将 40 本作业本编号,可编为 00,01,02,…,39. 第二步,由于总体是一个两位数的编号,每次要从随机数表中选取两列组成两位数.? 从随机数表中任意一个位置, 比如第 9 列和第 10 列这两列的第 3 行开始选数.由上至下读数超过 39 的和 . B.5 ? ) C.6 ? D.7 ?

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重复出现的不能选取.这样选取的 10 个样本的编号分别为:28,33,16,20,31,37,21,05,01,09.? 第三步找出编号所对应的作业本. 10.某政府机关有在编人员 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,工人 20 人,上级机关为 了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽取,如何抽取? 解 用分层抽样抽取. (1)∵20∶100=1∶5, ∴
10 70 20 =2, =14, =4 5 5 5

∴从副处级以上干部中抽取 2 人,一般干部中抽取 14 人,从工人中抽取 4 人. (2)因副处级以上干部与工人人数较少,可用抽签法从中分别抽取 2 人和 4 人;对一般干部可用随机数 法抽取 14 人. (3)将 2 人、4 人、14 人编号汇合在一起就得到了容量为 20 的样本. 11.从某厂生产的 10 002 辆电动自行车中随机抽取 100 辆测试某项性能,请合理选择抽样方法进行抽样, 并写出抽样过程. 解 因为总体容量和样本容量都较大,可用系统抽样. 抽样步骤如下: 第一步,将 10 002 辆电动自行车用随机方式编号; 第二步,从总体中剔除 2 辆(剔除法可用产生随机数法) ,将剩下的 10 000 辆电动自行车重新编号(分 别为 00001,00002,…,10000)并分成 100 段; 第三步,在第一段 00001,00002,…,00100 这一百个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码(如 00006) ; 第四步,把起始号码依次加间隔 100,可获得样本. 12.某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本.如果采用系 统抽样法和分层抽样法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加一个,则在采用系统抽样时,需要在总 体中先剔除 1 个个体,求样本容量 n. 解 总体容量为 6+12+18=36.当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为
n n n ,抽取工程师 ×6= (人) , 36 36 6 36 ,分层抽样的比例是 n

抽取技术人员 抽取技工

n n ×12= (人) , 36 3

n n ×18= (人). 36 2

所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数即 n=6,12,18,36. 当样本容量为(n+1)时,在总体中剔除 1 人后还剩 35 人,系统抽样的间隔为 整数,所以 n 只能取 6,即样本容量为 6.
35 35 ,因为 必须是 n +1 n +1

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