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2016-2017学年高中数学北师大版必修4学案:2.5 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析


§ 5 从力做的功到向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(重点) 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系. 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的 几何问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 向量的夹角及数量积 阅读教材 P93~P96 内容,完成下列问题. 1.向量的夹角 定义 范围 θ=0° 特例 θ=180° θ=90° 2.向量的数量积 (1)射影 |b|cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的投影数量(也叫投影). (2)数量积 已知两个非零向量 a 与 b,我们把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. (3)规定 1 → → 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ 叫 作向量 a 与 b 的夹角 0° ≤θ≤180° a 与 b 同向 a 与 b 反向 a 与 b 垂直,记作 a⊥b,规定 0 可与任一向量垂直 零向量与任一向量的数量积为 0. (4)几何意义 a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上射影|b|cos θ 的乘积, 或b的 长度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos θ 的乘积. (5)性质 ①若 e 是单位向量,则 e· a=a· e=|a|cos θ. ②若 a⊥b,则 a· b=0;反之,若 a· b=0,则 a⊥b,通常记作 a⊥b?a· b=0. ③|a|= a· a= a2. a· b ④cos θ=|a||b|(|a||b|≠0). ⑤对任意两个向量 a,b,有|a· b|≤|a||b|,当且仅当 a∥b 时等号成立. (6)运算律 已知向量 a,b,c 与实数 λ,则: ①交换律:a· b=b· a; ②结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量.( (2)若 a· b=0,则 a=0 或 b=0.( ) ) ) ) (3)设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ>0?a· b>0.( (4)对于任意向量 a,b,总有(a· b)2=a2· b2.( a· b b (5) a2 =a.( 【解析】 ) (1)×.两向量的数量积是一个数量. (2)×.∵a· b=|a||b|cos θ=0,∴a=0 或 b=0 或 cos θ=0. (3)√. (4)×.由数量积定义知,错; a· b |a||b|cos θ |b|cos θ (5)×. a2 = |a2| = |a| . 2 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

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