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圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

【椭圆】 一、椭圆的定义 1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数

( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作
椭圆的焦距。 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为 a、b,焦点为 c)

? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形。

x2 y2 2 2 2 (1)当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b ; a b
(2)当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ; 2 a b

2、两种标准方程可用一般形式表示:

x2 y2 ? ? 1 或者 mx2+ny2=1 m n

x2 y2 三、椭圆的性质(以 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 为例) a b

1、对称性: 对于椭圆标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对 a2 b2

称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x

?a,

y ? b。

-1-

3、顶点: ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) , a2 b2

A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b) 。
③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? ② 因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。

? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆

2c c ? 。 2a a

e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;
反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
2 2

③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 注意:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

?e

( PF1 ? PF2

? 2a )

( PM 1 ? PM 2

?

2a 2 ) c

5、椭圆的第二定义: 平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数 e, (0<e<1)的点的轨迹为椭圆 (

| PF | 。 ?e) d

即: 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形, 也即上图中有

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e。

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: x a b

??

a2 c

-2-

a y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: y ? ? c a b
6、椭圆的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

2

x2 y 2 x2 y 2 ? 0 ? 0 ?1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 a 2 b2 a 2 b2

2 2 x0 y0 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 离心率

F1 (?c,0) , F2 (c,0)
F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b

F1 (0,?c) , F2 (0, c)
F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

关于 x 轴、 y 轴和原点对称

性质

(?a,0) , (0,?b)

(0,?a) , (?b,0)

长轴长= 2a ,短轴长= 2b

e?
x?? a2 c

c (0 ? e ? 1) a
y?? a2 c

准线方程

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

-3-

五、其他结论 1、若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 2 a b a b x2 y 2 ? ? 1外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线 a 2 b2

2、若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0 方程是

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

x2 y 2 3、椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则椭圆 a b
的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan 4、椭圆

?
2

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 的 焦 半 径 公 式 : | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , a 2 b2

F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) )
5、设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相 应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF。 6、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF。 7、AB 是椭圆

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 ,即 a a2 b

K AB ? ?

b 2 x0 。 a 2 y0

8、若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

xx y y x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 02 ? 02 ? 02 ? 02 a b a b a2 b

9、若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

x2 y 2 x2 y 2 x x y y ? 2 ? 1内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 a b a b a2 b

-4-

【双曲线】 一、双曲线的定义 1 、 第 一 定 义 : 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数)。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点: ) (1)距离之差 的绝对值。 (2)2a<|F1F2|。 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在。

2、第二定义:动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲 线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程( b ? c ? a ,其中| F1 F2 |=2c)
2 2 2

需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” 三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系

1、点与双曲线
2、直线与双曲线 四、双曲线与渐近线的关系 五、双曲线与切线方程

-5-

六、双曲线的性质 七、 弦长公式 1、若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,



AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

, AB ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? , |a|

若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB ?

1 1 ? 1 y1 ? y2 ? ?1 2 k k2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 。

2b 2 2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长 | AB |? 。 a
3、若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k
2

y1 ? y2 。

4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线

【抛物线】 一、抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫做抛物 线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 二、抛物线的性质 三、相关定义 1、通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦 H1H2 称为通径;通径:|H1H2|=2P 2、弦长公式: | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2
2

1 | y1 ? y2 | k2

3、焦点弦:过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 焦点 F 的弦 AB ,若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 (1) | AF |? x0+

p2 p , (2) x1 x2 ? , y1 y2 ? -p2 4 2

(3) 弦长 AB ? p ? ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? p ,即当 x1=x2 时,通径最短为 2p (4) 若 AB 的倾斜角为 θ,则 AB =

2p sin 2 ?

-6-

(5)

1 1 2 + = AF BF P

四、点、直线与抛物线的位置关系 需要详细的抛物线的资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详 细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ”

【圆锥曲线与方程】 一、圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常 数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心 率。 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 特别注意:当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?
c ,当 c ? 0, a ? b 时) 。 a

二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

三、曲线与方程

四、坐标变换 1、坐标变换: 2、坐标轴的平移: 3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

-7-

精讲精练
【例】以抛物线 y ? 8 3 x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为
2

___________________. 解 抛物线 y ? 8 3 x 的焦点 F 为 ( 2 3 ,0) ,设双曲线方程为 x ? 3y ? ? , ?
2


2 2

4? ? (2 3 ) 2 ? ? ? 9 ,双 3

曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 9 3

【例】 双曲线

x2 y2 =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数 ? 4 b2

列,则 b2=_________。 解:设 F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· 2|,依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, |PF 依已知条件有|PF1|· 2|=|F1F2|2=4c2 |PF 又∵c2=4+b2< ∴16+8c2<50+2c2,∴c2<
17 , 3

5 17 ,∴b2< ,∴b2=1。 3 3
2 2

【例】当 m 取何值时,直线 l : y ? x ? m 与椭圆 9 x ? 16 y ? 144 相切,相交,相离?

解:

?

y ? x ? m ?? ? ① 9 x2 ?16 y 2 ?144 ? ②
2 2

①代入②得 9 x ? 16( x ? m) ? 144 化简得 25x ? 32mx ? 16m ? 144 ? 0
2 2

? ? (32m)2 ? 4 ? 25(16m2 ? 144) ? ?576m2 ? 14400
当 ? ? 0, 即 m ? ?5 时,直线 l 与椭圆相切; 当 ? ? 0 ,即 ?5 ? m ? 5 时,直线与椭圆相交; 当 ? ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 5 时,直线与椭圆相离。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,|MF|的最 大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|= 圆的方程。 解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 ?1 4

4 10 ,试求椭 3

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 -8-

设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
a 2m 4m 1 (x1+x2)= ,y0=-x0+m= 。 2 2 4?a 4 ? a2 a2m 4 ? a2 ? 4m 4 ? a2

代入 y=x,得


4a 2 4?a
2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=-

,又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4 10 , 3

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 =1。 ? 5 4

【例】 某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的 长。需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总 结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4)、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p× (-4),解得 p=12。5, 于是抛物线方程为 x2=-25y。 由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0。16,从而|EE′|=(-0.16)-(- 4)=3.84。 故最长支柱长应为 3.84 米。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ, |PQ|=
10 ,求椭圆方程。 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2) 由?
?y ? x ? 1 ? 得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 2 2 ? ?m x ? ny ? 1

由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴ 又2
4(m ? n ? m n) 10 2 3 n= ?( ) ,将 m+n=2,代入得 m· m?n 2 4

2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n





由①、②式得 m=

3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

-9-

故椭圆方程为

x2 3 2 3 1 + y =1 或 x2+ y2=1。 2 2 2 2
x2 y2 20 ,椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,C2 的离心率 3 a b

【例】已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方 2

程。
y

A

C1

F2

O

F1 B

x

解:由 e ?

x2 y2 2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1. 2 a 2 2b b

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y2 ). 由圆心为 2,1). ( 又
2 x1

? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2.

2b 2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2

?

2 y2

b2

? 1,













2 2 x1 ? x 2

2b 2

?

2 2 y1 ? y 2

b2

? 0.

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0,

又 x1 ? x2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b 2 ? y2 b2

y1 ? y 2 ? ?1. ? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2).. 即 y ? ? x ? 3 x1 ? x2
? 1, 得 3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C 2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0. 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高

考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” 由 AB ?

2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
故所有椭圆方程
x2 y2 ? ? 1. 16 8

24b 2 ? 72 20 20 ? . .得 2? 3 3 3

解得 b 2 ? 8.

【例】过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 y=

2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程。 2

- 10 -

y 1 B y= 2 x

F2

o

F1 A

x

解法一:由 e= y2)在椭圆上。

a2 ? b2 1 c 2 2 2 2 2 2 ,得 ? ,从而 a =2b ,c=b。设椭圆方程为 x +2y =2b ,A(x1,y1),B(x2, ? 2 2 a 2 a

则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 x 1 1 ,又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0,于是- 0 =-1,kAB=-1, 2y 0 2 2 2 y0

? y? ?1 ? ? ?x? ? 1 ? 解得? 设 l 的方程为 y=-x+1。右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′), 则? x ? b ? y? ? 1 ? b ? y? ? ? x? ? b ? 1 ?2 2 ?

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为

9 2 9 ,a ? 。 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1。 9 9

解法二:需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识 点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由 e= 从而 a2=2b2,c=b。设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 ? 2k 2 c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? , a 2 2 a2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 ? 2k 2



直线 l:y=

x ? x2 y1 ? y 2 ?k 1 2k 2 1 x 过 AB 的中点( 1 ),则 ,解得 k=0,或 k=-1。 ? ? , 2 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2 k 2

若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一。 解法三:设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) (1)

直 线 l 不 平 行 于 y 轴 , 否 则 AB 中 点 在 x 轴 上 与 直 线 y ?
l的方程为y ? k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中 点 矛 盾 。 故 可 设 直 线 2

( (2)代入(1)消y整理得:k 2 a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 (3)

- 11 -

设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 ? x 2 ?

2k 2 a 2 k 2a2 ? b2

又y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2k代 入 上 式 得 :

k?

2 2k 1 k 2a2 ? b2 1 b2 1 ? , ? k ? 2k ? ? ,? k ? k ? 2 ? , 又e ? 2 2 2 x1 ? x 2 2 2 2 2k a ka
2b 2 a2 ?? 2(a 2 ? c 2 ) a2 ? ?2 ? 2e 2 ? ?1 ,?直线l的方程为y ? 1 ? x ,

?k ? ?

此时a 2 ? 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2b 2 ? 0 , ? ? 16 ? 24(1 ? b 2 ) ? 8(3b 2 ? 1) ? 0

?b ?

3 , 椭圆C的方程可写成: x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (4) , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 , 3

? 右焦点F (b, , 设点F关于直线l的对称点( x0,y 0 ) , 0)

? y0 ?x ? b ?1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 ? 1 ? b , ? y 0 ? 1 ? x0 ? b ?2 2 ?
1 又点(1 1 ? b)在椭圆上,代入 (4)得: ? 2(1 ? b) ? 2b 2 ,?b ? ,
3 3 , ? 4 3

?b 2 ?

9 , 16

a2 ?

9 8
x2 y2 ? ?1 9 9 8 16

所以所求的椭圆方程为:

【例】如图,已知△P1OP2 的面积为 过点 P 的离心率为
y

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐近线且 4

13 的双曲线方程。 2
P2

P o P1 x

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系。 设双曲线方程为
x2 a
2

?

y2 b
2

=1(a>0,b>0),由 e2=

b 13 2 b 3 ?1 ? ( )2 ? ( ) ,得 ? 。 a 2 a 2 a
2

c2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2

- 12 -

则由点 P 分 P1 P2 所成的比 λ= 又点 P 在双曲线
x2 a2 ? 4y2 9a 2

P1 P x ? 2 x2 x1 ? 2 x2 =2,得 P 点坐标为( 1 ), , PP2 3 2
( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2 ? ( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2

=1 上,所以

=1,

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP |? x1 2 ? 1


13 x2 2

9 2 13 9 x1 ? x1 , | OP |? x 2 2 ? x 2 2 ? 4 2 4 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 9 13 1 ? tan P1Ox 1 ? 4 1 1 13 12 ? S ?P1OP2 ? | OP | ? | OP2 | ? sin P1OP2 ? ? x1 x 2 ? ? 1 2 2 4 13

27 , 4

即 x1x2=

9 2

② 故双曲线方程为
x2 y2 =1。 ? 4 9

由①、②得 a2=4,b2=9。

【例】 需要更多的高考数学复习资料, 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ”过椭圆 C:
y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 上一动点 P

引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已 知 P 点坐标为(x0, 0 )并且 x0y0≠0, y 试求直线 AB 方程; 若椭圆的短轴长为 8, (2) 并且
a2 | OM |
2

?

b2 | ON |
2

?

25 , 16

求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在 的条件;若不存在,请说明理由。

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2)

切线 PA: x1 x ? y1 y ? b 2 ,PB: x2 x ? y 2 y ? b 2

∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 ? y1 y0 ? b 2 ?x2 x0 ? y 2 y0 ? b 2 ∴直线 AB 的方程为 x0 x ? y 0 y ? b 2 ( x0 y 0 ? 0) (2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(
b2 b2 ,0);令 x=0,则 N(0, ) x0 y0

- 13 -



a2 | OM | 2

?

b2 | ON | 2

?

2 x2 a 2 y0 a 2 25 ( 2 ? 0 )? 2 ? b2 16 b2 a b



∵2b=8

∴b=4 代入①得 a2 =25, b2 =16
y2 x2 ? ? 1( xy ? 0) 25 16

∴椭圆 C 方程:

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| 又∵P 点在椭圆 C 上
2 由①②知 x 0 ?
2 2 ∴ x0 ? y 0 ? 2b 2



2 2 ∴ a 2 x0 ? b 2 y 0 ? a 2 b 2

② ∴a2 -b2>0

b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a ?b
2 2

2 , y0 ?

a 2b 2 a ?b
2 2

∵a>b>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆所引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点 【例】已知点 B(-1,0) ,C(1,0) 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. ,P (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论。 (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、k2 满 足 k1·2=2。求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点。 k 解: (1)设 P( x, y )代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? x, 化简得 y 2 ? 4 x.
(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1,? 点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x, 得y 2 ? 由y1 ? 2可得y 2 ? 4 8 y ? ? 4 ? 0, k k

4 4 4 ? 2,? D ( 2 ? 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 ? ? ( x ? 1), 代入y 2 ? 4 x得E ( 4k 2 ? 1,?4k ? 2). k 4 ? 4k k 则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0,
2

即y ? 2 ? ?

k k ?1
2

( x ? 5), 过定点(5,?2).

(3)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1, 设直线DE的方程为y ? kx ? b, D( x1, y1 ), E ( x1, y1 ) ? y ? kx ? b ? 由? 2 得k 2 x 2 ? 2(kb ? 2) x ? b 2 ? 0, ? y ? 4x ? y ? 2 y2 ? 2 ? k AD ? k AE ? 2,? 1 ? ? 2( x1, x2 ? 1), x1 ? 1 x2 ? 1

- 14 -

且y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx2 ? b ? (k 2 ? 2) x1 x 2 ? (kb ? 2k ? 2)(x1 ? x 2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0, 将x1 ? x 2 ? ? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 ?

b2 k
2

代入化简得b 2 ? (k ? 2) 2 ,? b ? ?(k ? 2).

? b ? ?(k ? 2). 将b ? k ? 2代入y ? kx ? b得y ? kx ? k ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b ? 2 ? k代入y ? kx ? b得y ? kx ? 2 ? k ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ? 定点为(?1,?2)

【例】 需要更多的高考数学复习资料, 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题 精 讲 ( 详 细 解 答 ) ”
x2 a
2

或 者 搜 . 店 . 铺 .. “ 龙 奇 迹 【 学 习 资 料 网 】” 已 知 曲 线
2 3 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 . 3 2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的 方程。 解: (Ⅰ)依题意, l方程 x ? y ? 1,即bx ? ay ? ab ? 0, 由原点 O 到 l 的距离为 3 ,得 a ?b 2 又e ? c ? 2 3
a 3
ab a2 ? b2 ? ab 3 ? c 2

? b ? 1, a ? 3 。 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1
3

2

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1, 则点 M、N 坐标( x1 , y1 )( x 2 , y 2 )是方程组 、
?y ? kx?1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 3 ?

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 6 ? 0
2


6k 6 , x1 x2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

依设, 1 ? 3k ? 0, 由根与系数关系,知 x1 ? x2 ?

OM ? ON ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1)( kx2 ? 1)
6(1 ? k 2 ) 6k 2 ? 2 ?1 3k 2 ? 1 3k ? 1

=

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1

=

=

6 3k ? 1
2

?1

? OM ? ON ? ?23



1 1 ? 1 =-23,k=± 。 当 k=± 时,方程①有两个不等的实数根 2 2 3k ? 1
2

6

故直线 l 方程为 y ? 1 x ? 1, 或y ? ? 1 x ? 1 2 2 【例】已知动点 P 与双曲线 为?
1 . 9

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且 2 3

cos?F1 PF2 的最小值

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围. 解: (1)由已知可得: c ? 5 ,
a 2 ? a 2 ? (2c) 2 2a
2

??

1 9

∴ a2 ? 9

,

b2 ? a2 ? c2 ? 4

- 15 -



所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 9 4

(2)方法一:由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 由判别式 ? ? (54k ) 2 ? 4 ? (4 ? 9k 2 ) ? 45 ? 0 ,得 k 2 ? ①

5 。 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有 9

? x1 ? ?x2 DM ? ( x1 , y1 ? 3) ? ? DN ? ? ( x 2 , y 2 ? 3) ? (?x 2 , ? ( y 2 ? 3)) ,得 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 ? x2 ? ? 将 x1

54k 4 ? 9k 2

4 ? 9k 2 ? ?x2 代入②式并消去 x 2 可得 324? 2 ? 42 ? 9 ,由前面知, 0 ? 42 ? 36 5 5(1 ? ? ) k k
324? 5(1 ? ? )
2

, x1 x2 ?

45



∴ 9?

?

81 ,解得 5

1 ?? ?5。 5 1 5 1 ? ? ? 5 为所求。 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? ? 或? ? 5 ,所以
? x1 ? ?x2 ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

方法二:同上得 ?

?cos? ? ? cos ? 设点 M (3cosα,2sinα),N (3cosβ,2sinβ) 则有 ? ?2 sin ? ? 3 ? ? (2 sin ? ? 3)

由上式消去 α 并整理得 sin ? ?

13?2 ? 18? ? 5 12(?2 ? ? )

, 由于 ?1 ? sin ? ? 1

∴ ?1 ?

13?2 ? 18? ? 5 12(? ? ? )
2

? 1 , 解得

1 ? ? ? 5 为所求。 5

需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” 方法三: 设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5, 最小值为 1。 进而推得 ? 的取值范围为 【例】 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为
1 ?? ?5。 5

? 的直线 l 与线段 4

OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并 求△AMN 的最大面积。 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0。 由方程组 ?
?y ? x ? m ? ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0……………① ? y 2 ? 4x ?

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①的判别式 Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·2=m2,∴|MN|=4 2(1 ? m) 。 x

- 16 -

点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2


2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128。 3

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)· (5+m)(5+m)≤2( ∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号。 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 。

【例】已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别 有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是 否存在。 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点。 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当 Δ=0,即 3-2k=0,k= ②当 Δ>0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点。 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时,方程(*)有两不 2 2

等实根,l 与 C 有两个交点。 ③当 Δ<0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点。 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点。 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不存在。 【例】已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切.过点 P ? ?4, 0 ? 作斜率
2 2



1 的 直 线 l , 使 得 l 和 G 交 于 A, B 两 点 , 和 y 轴 交 于 点 C , 并 且 点 P 在 线 段 AB 上 , 又 满 足 4
2

PA ? PB ? PC .
(1)求双曲线 G 的渐近线的方程;

- 17 -

(2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹恰好是 G 的 渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,则由渐近线与圆 x ? y ? 10 x ? 20 ? 0 相切可得:
2 2

5k k2 ?1

? 5.

所以, k ? ?

1 1 .双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ? x . 2 2
2 2

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m . 把直线 l 的方程 y ? 则 xA ? xB ?

8 , 3

1 ? x ? 4? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m (*) xA xB ? ? 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴

? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?

2

4 , ? xB ? 4 ?? ?4 ? x A ? ? 16 , 即: 整理得: ? x A ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0

将(*)代入上式可解得: m ? 28 .所以,双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 28 7

(3)由题可设椭圆 S 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直于 l 的平行弦中点的 28 a 2

?

?

轨迹. 需要更多的高考数学复习资料, 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” 设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P ? x0 , y0 ? ,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 28 a 2 ? ?0 .两式作差得: ? 2 2 28 a2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 28 a 2 ?
由于

y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x1 ? x2

所以,

x0 4 y0 ? ?0, 28 a 2

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2
a2 1 ? . 112 2

又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以,

所以, a ? 56 ,椭圆 S 的方程为:
2

x2 y 2 ? ? 1. 28 56
- 18 -

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标(或纵坐标) 之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法;判别式和韦达 定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具). 【例】已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别 是 7 和 1。需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总 结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 并说明轨迹是什么曲线。 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ” 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP OM

=λ,求点 M 的轨迹方程,

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , w。 k。 5。 c。 m w。 w。 s。 u。 o。 ? ?a ? c ? 7
(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ? ? ?4, 4? 。由已知

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1 16 7

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ? 2 。整理得 (16? 2 ? 9) x 2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ? ? ?4, 4? 。 2 2 16( x ? y )
(i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4
4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

x2 y2 ? ? 1,其中 x ? ? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分。 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

x2 y 2 3 ∶ 【例】已知椭圆 C 2 + 2 =1? a>b>0 ? 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点, 3 a b
当 L 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 L 的距离为

2 。 2
- 19 -

(Ⅰ) 求 a,b 的值;

+ (Ⅱ) C 上是否存在点 P,使得当 L 绕 F 转到某一位置时,有 OP=OA OB 成立?若存在,求出所有的 P
的坐标与 L 的方程;若不存在,说明理由 考点:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有 关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处 理。 解: (Ⅰ)设 F ?c,0 ?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

??? ??? ??? ? ? ?

0?0?c 2
由 e?

?

c 2





c 2

?

2 , c ?1 2

c 3 2 2 ,得 a ? 3 , b ? a ? c = 2 ? a 3

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2x 2 + 3 y =6。 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设l的方程为y ? k ( x ? 1) C 上的点P使OP ? OA ? OB 成 立 的 充 要 条 件 是
2

P点的坐标为(x1 ? x2 , y1 ? y 2) 且

2( x1 ? x2 ) 2 ? 3( y1 ? y 2 ) 2 ? 6
整理得 2 x1 ? 3 y1 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x1 x 2 ? 6 y1 y 2 ? 6
2 2 2 2

又A、B在C上,即2 x1 ? 3 y1
2

2

? 6,2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 。
2 2

故 2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? 3 ? 0
2 2 2



将 y ? k ( x ? 1)代入2 x ? 3 y ? 6, 并化简得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 6 ? 0
2 2 2

于是 x1 ? x 2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 ? 4k 2 2 , x1 x 2 = , y1 y 2 ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 2) ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
k 3 3 k 。 于是 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) = ? , 即 P( ,? ) 2 2 2 2

代入①解得, k 2 ? 2 ,此时 x1 ? x 2 ? 因此, 当 k ? ? 2 时, P ( ,

3 2

2 ) , l的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 2

当k ?

3 2 2 时, P( ,? ) , l的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。 2 2

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知,C 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 成立。

- 20 -

综上,C上存在点 P ( ,?

3 2

2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 2

【例】已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1,0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1 . a 2 b2

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x ? h (h ? R) 上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的
2

中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 解: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1 4 ? 2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
(II)不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t 2 ? h), 则 抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y? 将 上 式 代 入 椭
2

x ?t

? 2t ,直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,
方 程 中 , 得



C1



4 x 2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0





4? ? t2 ? 1

x2 ?

4t

(? t

2 h) x (? t , ?h ? 2 )

? 4

0

因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ?1 ? 16 ? ?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h 2 ? 4 ? ? 0 , ? ? 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 ?
2

x1 ? x2 t (t 2 ? h) ? 2 2(1 ? t 2 )

t ?1 , 2

由题意得 x3 ? x4 ,即有 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 ,其中的 ? 2 ? (1 ? h) 2 ? 4 ? 0,? h ? 1 或 h ? ?3 ;
4 2 2 当 h ? ?3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h ? 0 ,因此不等式 ?1 ? 16 ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? 0 不成立; ? ?

2

因此 h ? 1,当 h ? 1 时代入方程 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 得 t ? ?1 ,
2
4 2 2 将 h ? 1, t ? ?1代入不等式 ?1 ? 16 ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为1. ? ?

【例】设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 考点:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆 的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。 解: (1)因为椭圆 E:

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

- 21 -

?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 2 ?a b ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y2 ? ? 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 6 1 1 1 8 4 ?b ? 4 ? ? ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB , 设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 。

??? ?

??? ?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

? 要 使 O A? O B 需 使 x1 x2? y1 y2 0 , 即 ,

? ? ??

? ? ??

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0 , 所 以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k2 ?

3m2 ? 8 ?0 8
? m2 ? 2 ?3m ? 8
2

又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ?

,所以 m2 ?

2 6 2 6 8 ,即 m ? 或m ? ? , 3 3 3

因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

, r2 ?

m2 ? 1? k 2

2 6 m2 8 , ? ,r ? 2 3m ? 8 3 3 1? 8

所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

2 6 2 6 8 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

x2 y2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的两个交点为 ( 而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 ,? )或 3 3 3 8 4
(? 2 6 2 6 ,? ) 3 3

- 22 -

满足 OA ? OB , 综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ?

??? ?

??? ?

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 3

??? ??? ? ? OA ? OB 。
4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?





,





( x1 ?

2

x2 ) ?

4k ( x1 ? 1? k 2
2
2

m ? 2
2

2 x2 ) ? 2 ? k

2

,

m 8 ? 4 x1 ? 1
2

2

? 2 k

2

? 8 k x2 (?

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1

8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 1 1 1 [1 ? ] 。 因为 4k 2 ? 2 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? , 1 1 3 k 4k 2 ? 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 8 k k

所以

2 4 32 32 1 时取”=”。 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? ? [1 ? ] ? 12 , 所以 1 2 3 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 。 3
2 6 2 6 2 6 2 6 4 6 , ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 | AB |? 3 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( 综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 6, 2 3] 3 3

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学习感悟
通过本课程的学习: 一、 “知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗?

- 23 -

1、需要巩固的知识点:

2、尚未掌握的知识点:

二、 “精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗? 1、完全掌握的例题: 2、需要再次复习得例题: 3、尚未掌握的例题: 三、其他备注 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】 ”

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