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2019-2020年新版高中数学人教A版选修2-3课件:第一章计数原理 1.3.2 _图文

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
-1-

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1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.

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1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:

上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

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【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关

系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是

.

答案:2-2+2

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2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二
项式系数相等,即C0 = C , C1 = C-1,…,C = C- . (2)增减性与最大值:当 k<+21时,二项式系数是逐渐增大的,由对
称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是

偶数时,中间一项的二项式系数C2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两
-1 +1
项的二项式系数C2 和C2 相等,且同时取得最大值.
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数 还是偶数.

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【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系 数相等,则n=( )
A.6 B.7 C.8 D.9 解析:由已知C1 = C5 ,可知n=1+5=6. 答案:A 【做一做2-2】 在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是 () A.第n项和第n+1项 B.第n-1项和第n项 C.第n+1项和第n+2项 D.第n+2项和第n+3项
解析:∵2n+1 为奇数,∴二项式系数最大的项为中间两项,是第
(2+21)-1+1 项和第2+21+1+1 项,即第(n+1)项和第(n+2)项. 答案:C

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3.各二项式系数的和
(1)(1+x)n的展开式为 C0 + C1 + C2 2 + ? + C + ? + . 名师点拨由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项 式中的应用.
(2)C0 + C1 + C2 +…+C =2n. C0 + C2 + C4 +…=C1 + C3 + C5 +…=2n-1.
名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子 由二项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到.

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【做一做 3】

3 +

1

6
的展开式中各项的系数和



.

解析:令 x=1,则

3 +

1

6
的展开式即为各项的系数和,即

(3+1)6=46.

答案:46

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1.二项式定理(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-rbr+…+C bn,从左 到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式 展开,化简为繁呢
剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简
为繁也是一种创举. 由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C =
C- (n≥m),C--11 + C-1 = C (n≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数的 一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数 之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果 给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C0 + C1 +…+C , C0 + C2 +…=C1 + C3 +….
从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.

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2.正确理解二项式系数的性质
剖析对称性:源于组合数的性质“C = C- ”,基础是C0 = C =1, 然后从两端向中间靠拢,便有C1 = C-1, C2 = C-2,….
最大值:①当 n 是偶数时,(a+b)n 的展开式共(n+1)项,n+1 是奇数,
这时展开式的形式是

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中间一项是第2+1


项,它的二项式系数是C2

,它是所有二项式系

数中的最大值;②当 n 是奇数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是

偶数,这时展开式的形式是

中间两项是第+1
2

,

+2 3项,它们的二项式系数是C2-1,

+1
C2 ,这两

个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值.

各二项式系数和:C0 + C1 + C2 +…+C =2n 源于 (a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C bn 中令 a=1,b=1,即得到C0 + C1 + C2 +…+C =2n.

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题型一

题型二

题型三
题型一

与杨辉三角有关的问题

【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示 的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求 S19的值.

分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中 的位置,把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数 求解.

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题型一 题型二 题型三

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解:由题图知,数列中的首项是C22,第 2 项是C21,第 3 项是C32,第 4
项是C31,…,第 17 项是C120,第 18 项是C110,第 19 项是C121. 故 S19=(C21 + C22)+(C31 + C32)+(C41 + C42)+…+(C110 +
C120)+C121=(C21 + C31 + C41+…+C110)+(C22 + C32+…+C121)=(2+120)×9 + C132=274.

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题型一 题型二 题型三

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反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.

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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】

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如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第

左至右第14个与第15个数的比为2∶3. 解析:由已知CC1134 = 23,

即 !
(-13)!·13!

×

(-14)!·14! !

=

23,

化简得 14
-13

=

23.解得

n=34.

答案:34

行中从

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题型二 求展开式中各项系数的和
【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|. 分析所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.

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解:(1)令 x=0,则 a0=-1; 令 x=1,则 a7+a6+…+a1+a0=27=128, 所以 a7+a6+…+a1=128-(-1)=129. (2)令 x=-1, 则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,
由①2-②得,a7+a5+a3+a1 =12[128-(-4)7]=8 256.

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① ②

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题型一 题型二 题型三

(3)由①+2 ②得,a6+a4+a2+a0 =12[128+(-4)7]=-8 128. (4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零, ∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)
=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0
=8 256-(-8 128)+(-1)=16 383.
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题 目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为
系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1
可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.

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【变式训练 2】 已知

1-

1 4



5
=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7,求

a1+2a2+3a3+…+7a7.

解:对

1-

1 4



5
=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a7(x+1)7 两

边求导,得-54

1-

1 4



4
=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+7a7(x+1)6.

令 x=0,得 a1+2a2+3a3+…+7a7=-54.

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题型三

易错辨析

易错点:混淆系数最大和二项式系数最大而致错

【例3】 在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则

展开式中系数最大的项为第

项.

错解:最后三项的二项式系数分别为C-2, C-1, C ,由题意,C-2 + C-1 + C =56,即 n2+n-110=0.

解得n=10或n=-11(舍去),所以展开式共11项,从而系数最大的项 为第6项.

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题型一 题型二 题型三

正解:最后三项的二项式系数分别为C-2, C-1, C ,由题
意,C-2 + C-1 + C=56,即 n2+n-110=0,解得 n=10 或 n=-11(舍去). 设第(r+1)项的系数最大,通项为 Tr+1=C10 ·2rxr,依题意 Tr+1 项的
系数不小于 Tr 项及 Tr+2 项系数,

即 C10·2 ≥ C10-1·2-1, C10·2 ≥ C10+1·2+1,

化简得 2(11-) ≥ , + 1 ≥ 2(10-).

解得19
3

≤r≤

232,且

0≤r≤10,r∈N,所以

r=7.

故系数最大项为 T8=C17027x7=15 360x7.

答案:8

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反思求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,

需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求

(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设

展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第r+1项最大,应用



≥ ≥

-1, 解出 +1,

r,即得出系数的最大项.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/18

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谢谢欣赏!

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