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无理、高次不等式的解法


简单的高次不等式的解法

高次不等式:未知量的最高次数大于等于3 的整式不等式
例1、解不等式( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0

用图象法解不等式 ( x ?1)( x ? 2) ? 0

例1、解不等式( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0

例2、解不等式(x ? 1)3 ( x ? 2) 2 (3 ? x) ? 0

练习:解下列不等式 1、( x ? 1 ) 2 ( x ? 2 ) ? 0 2 、( 1 ? x ) 3 ( x ? 2 ) 5 ( x ? 3 ) ? 0 3、( x ? 1 ) 2 x ( 2 ? x )( x ? 1 ) ? 0

?2, ? ? ? ?? ?,1?? ?2,3?

-1

0

1

2

?? 1,0?? ?1?? ?2,???

( x ? 2) 2 ( x ? 3) ( 4) ?0 x ?1 ( x ? 2) 2 ( x ? 5) ( 6) ?0 x?4 ( x ? 5)( x ? 3) 2 (8) ?0 2 ( x ? 1) ( x ? 2)

( x ? 2) 2 ( x ? 3) (5) ?0 x ?1 ( x ? 2) 2 ( x ? 3) 3 (7) ?0 x ?1

解:4) ? 1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3 (

(5) ? 1 ? x ? 3
(6) x ? 2 或 4 ? x ? 5
2

-1

2

3

4

5

(7) ? 1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3

-1

2

3

(8) 2 ? x ? 5
1 2
3

5

简单的无理不等式

根号下带有未知量的不等式叫做无理不等式, 今天我们只研究 无理不等式 下带有未知量的简单的

写出与下列不等式解集相同的整式不等式(组)
(1) x ? 1

(2) x ? 0

(3) x ? ?1

推广1 : x ? a

分a ? 0和a ? 0两种情况
?x ? 0 ?x ? 0 ? 不等式可化为?a ? 0 或? ?a ? 0 ? 2 ?x ? a

推广2: f ( x) ? a

分a ? 0和a ? 0两种情况
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? 不等式可化为?a ? 0 或? ?a ? 0 ? 2 ? f ( x) ? a

推广3: f ( x) ? g ( x)

分g ( x) ? 0和g ( x) ? 0两种情况
? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 不等式可化为? g ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? ?g ( x)?

例1、解不等式:? x 2 ? 3x ? 2 ? 4 ? 3x
解:不等式可化为
?? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?4 ? 3x ? 0 ? 2 ? x ? 3x ? 2 ? (4 ? 3 x) 2 ?

?? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 或? ?4 ? 3 x ? 0

6 4 4 即 ?x? 或 ?x?2 5 3 3
?6 ? ? 原不等式的解集为 ,? ? 2 ?5 ?

推广4: f ( x) ? g ( x)
分g ( x) ? 0和g ( x) ? 0两种情况

? f ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0 ? 2 f ( x) ? ?g ( x)? ?

? f ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0

? f ( x) ? 0 ? 不等式可化为? g ( x) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? ?g ( x)?

例2、解不等式: x ? 2 ? x

解:原不等式可化为:
?x ? 2 ? 0 ? ?x ? 0 ? x ? 2 ? x2 ?

?x ? 2

? ? ?不等式的解集为 2, ?)

练习:解下列不等式 5? x ? x ?3
解:原不等式可化为 ?5 ? x ? 0 ?5 ? x ? 0 ? 或? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? 2 ?5 ? x ? ( x ? 3)

5? x ? x ?3
解:原不等式可化为 ?5 ? x ? 0 ? ?x ? 3 ? 0 ? 5 ? x ? ( x ? 3) 2 ?

?3 ? x ? 4或x ? 3
?不等式的解集为(? ?,4)

?4 ? x ? 5

? ?不等式的解集为 4,5?

f ( x) ? g ( x) 可化为

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

f ( x) ? g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0 可化为 ? f ( x) ? [ g ( x )]2 ?
? f ( x) ? 0 ? 可化为 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ? g ( x)


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