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【2013房山一模】北京市房山区2013届高三第一次模拟考试 文科数学


房山区 2013 年高考第一次模拟试卷 数 学 (文科) 2013.04

本试卷共 4 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.已知全集 U 则CR M A. C.
[0, 3] ( ? ? , 3]

? R

,集合 M

? { x | x ( x ? 3) ? 0} ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

B. D.

(0, 3)
( ? ? , 0 ) ? (3, ? ? )

2.已知 { a n } 为等差数列, S n 为其前 n 项和.若 a 1 + A. C.
55 90 ? 15

a 9 = 1 8, a 4 = 7

,则 S 1 0

=

B. D.

81 100

开始
S ? 0, n ? 1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ① 处可以填入 A. n ? 4 B. n ? 8 C. n ? 1 6 D. n ? 1 6

, 则框图中

S ? S ? n

n ? 2n



① 是 输出 S
结束

4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的统计表如下表所示,则 环数 频数 4 1 5 1 甲 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 5. “ m
? 2

6 1

7 1

8 1

环数 频数

5 3 乙

6 1

9 1

B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差

”是“函数

f (x) ? x ? 2 x ? m
2

存在零点”的 B. 必要但不充分条件

A. 充分但不必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件
???? ???? ? 3BD

6.在正三角形 A B C 中, A B ? 3 , D 是 B C 上一点,且 B C A. C.
15 2

,则 A B ? A D

??? ???? ?

?

B. D.

9 2

9

6

7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥 的四个面的面积中,最大的是 A. B. C. D.
4 3

8
4 7

8

3

8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x 0 ? R 满足: ? a 集合 M 的聚点.则下列集合中以 0 为聚点的有: ①{ A.②③
n n ?1 | n ? N} ;

? 0, ? x ? M , 0 ? x ? x0 ? a

,称 x 0 为

②{ x | x ? R , x B. ②④

? 0} ;

③{ C. ①③

2 n

|n? N };
*

④Z D. ①③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数
2i 1? i ?

.
? ? 4 ,a ? 2 ,c ? 2 , 则角 C

10.在△ABC 中,角 A ,B , C 所对的边分别为 a , b , c , A 为 11.直线 x .
? y ?2 ? 0

的大小

与圆 x 2

? y

2

? 2 x ? 1 相交于 A ,B

两点,则线段 A B 的长等于

.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 12.若不等式组 ? y ? k x ? 5 , 表示的平面区域是一个锐角三角形,则 k ? ?0 ? x ? 2

的取值范是

.

13.某商品在最近 1 0 0 天内的单价
?t ? 22 ? ?4 f (t ) ? ? ?? t ? 52 ? 2 ?

f (t )

与时间 t 的函数关系是

(0 ? t ? 4 0, t ? N ) (40 ? t ? 100, t ? N )

日销售量 g ( t ) 与时间 t 的函数关系是 g ( t )

? ?

t 3

?

109 3

(0 ? t ? 100, t ? N )

.则这种商品

的日销售额的最大值为 14.已知函数 则称函数 条件:①
f ( 1 12 )?
f (x) f (x)

.
? D

的定义域是 D,若对于任意 x 1 , x 2 在 D 上为非减函数.设函数 ; ②
f( x 5 )? 1 2 f (x)
f (x)

,当 x1

? x2

时,都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 )



在 [ 0 , 1] 上为非减函数,且满足以下三个
f (1 ? x ) ? 1 ? f ( x )

f (0) ? 0

; ③

.则

f (

4 5

)?



.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数
f ( x ) ? 2 cos x ? 2
2

3 s in x c o s x ? 1



(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数

f (x)
f (x)

的最小正周期; 在区间 [ 0 ,
? 2 ] 上的最小值和最大值.

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为直角梯形, B C // A D ,
? AD C ? 90? , B C ? C D ?
1 2 AD

P

, P A ? P D , E ,F 为 A D ,P C

F

的中点. (Ⅰ)求证:PA//平面 BEF; (Ⅱ)求证: A D ? P B .
A E B D C

17. (本小题满分 13 分)
P M 2 .5

是指大气中直径小于或等于 2 .5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. 我国 P M 2 .5

标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 P M 2 .5 日均值在 3 5 微克/立方米以下空气质量为 一级;在 3 5 微克/立方米 ? 7 5 微克/立方米之间空气质量为二级;在 7 5 微克/立方米以上 空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2 0 1 2 年全年每天的 P M 2 .5 监测 数据中随机的抽取 6 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图所 示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ) 若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天,求至多有一天空 气质量超标的概率; 3 4 7 9
P M 2 .5 日均值(微克/立方米)

3 8 9 7

1 3

(Ⅱ)根据这 6 天的 P M 2 .5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 3 6 5 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?

18. (本小题满分 13 分) 已知函数
f (x) ? 1 2 x ? a ln x ?
2

1 2

(a ? R , a ? 0)

.

(Ⅰ)当 a

? 2

时,求曲线 y

? f (x)

在点 (1,

f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x ? [1, ? ? ) ,都有 f ( x ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C
PB
: x
2

?

y

2

? 1 和点 P ( 4 , 0 )

,垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A ,B 两点,连结

4

3

交椭圆 C 于另一点 E .

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线 A E 与 x 轴相交于定点.

20.(本小题满分 13 分) 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记
8 7 1 7

号 x 表示.例如 1 .2 ? 0 .2 , ? 1 .2 ? 0 .8 , 下条件:
? 1 ? ? ? an ? ?0 a n ? 0, a n ? 0,

?

.对于实数 a ,无穷数列 ? a n ? 满足如

a1 ? a

, a n ?1

其中 n

? 1,2 ,3 ,? .

(Ⅰ)若 a (Ⅱ)当 a (Ⅲ)设 a

?

3 11

,求数列 ? a n ? 的通项公式;

?

1 2

时,对任意的 n ? N * ,都有 a n ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A ;
p

?

( p 是正整数, p 与 2 0 1 3 互质) ,对于大于 2 0 1 3 的任意正整数 n ,

2013

是否都有 a n ? 0 成立,证明你的结论.

房山区高三年级第一次模拟考试参考答案 数 学 (文科) 2013.04

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 1 ? i 10.
?
6

或30?

11.
1 2

6

12. ( ? 1, 0 )

13.

8 0 8 .5

14.

,

1 4

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15(本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ( x ) ? 2 cos
2

x ? 2

3 sin x cos x ? 1

? cos 2 x ?

3 sin 2 x

………………………… 4 分

? 2(

1 2

cos 2 x ?

3 2

sin 2 x )

? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

……………………… 6 分 ………………………7 分

周期为 T ? (Ⅱ)? 0 ? x ?
? ?

2? 2

? ?.
?

?
2

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

………………………………9 分 …………………………11 分 …………13 分

当2x ? 当2x ?

?
6

? ?

?
2 7? 6

时, sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 此时 f ( x ) max ? 2

?
6

时, sin( 2 x ?

?
6

) ? ?

1 2

此时 f ( x ) m in ? ? 1

16(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO
?

P

BC

// AD

, BC ?

1 2

AD ,

E 为 AD 中点

F

?

AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 …………………1 分 ? O 为 AC 中点 ………………………………...2 分

D E O B A

C

又? F 为 AD 中点 ? OF // PA
? ?

………………………......….4 分 ..……..……..5 分

OF ? 平面 BEF , PA ? 平面 BEF

PA // 平面 BEF

…………………………………………..……..……..7 分

(Ⅱ)连接 P E
? P A ? P D , E 为 A D中 点 ? A D ? P E …………………………….…………….8 分

? BC // AD, BC ?

1 2

AD, E 为 AD 中点

? BCDE 为平行四边形

? BE// CD
? AD ? CD ? AD ? BE

…………………………………..………..9 分

? PE ? BE ? E
? AD ? 平面 PBE

……………………………………………………….…….....12 分 ………………………………………………………………….14 分

? PB ? 平面 PBE ? AD ? PB

17(本小题满分 13 分) 解:由茎叶图可知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标???2 分 记未超标的 4 天为 w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ,超标的两天为 c 1 , c 2 ,则从 6 天抽取 2 天的所有情况为:
w 1 w 2 , w 1 w 3 , w 1 w 4 , w 1 c1 , w 1 c 2 , w 2 w 3 , w 2 w 4 , w 2 c1 , w 2 c 2 , w 3 w 4 , w 3 c1 , w 3 c 2 , w 4 c 1 , w 4 c 2 , c 1 c 2 ,

基本事件总数为 15

????????????????????4 分

(Ⅰ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 A ,则“两天都超标”为事件 A , 易得 P ( A ) ?
1 15


1 15 ? 14 15
4 6 ? 2 3

所以 P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ?

????????????9 分 ?????11 分

(Ⅱ) 6 天中空气质量达到一级或二级的频率为
365 ? 2 3 ? 243 1 3
1 3

, 天的空气质量达到一级或二级. ???? 13 分

所以估计一年中平均有 2 4 3

(说明:答 243 天,244 天不扣分)

18(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x ) ?
2 x

1 2

x ? 2 ln x ?
2

1 2

,

f (1) ? 0

………………1 分

f '( x ) ? x ?

,

f '(1) ? ? 1

………………………………………………2 分 ………………3 分

曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ? y ? 1 ? 0
a x x ? a
2

(Ⅱ) f '( x ) ? x ?

?

(x ? 0)

…………………………………………………4 分

x x ? a
2

①当 a ? 0 时, f '( x ) ?

x

? 0 恒成立,函数 f ( x ) 的递增区间为 ? 0 , ? ? ?

………………………………………………………………6 分 ②当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? x f’(x) f(x) ( 0, 减
a ) a
a 或x ? ? a

( ( a , ? ? ) ,1) + 增

所以函数 f ( x ) 的递增区间为 ? a , ? ? ? ,递减区间为 (0, a ) …………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)对任意的 x ? [1, ? ? ) ,使 f ( x ) ? 0 成立,只需任意的 x ? [1, ? ? ) , f ( x ) m in ? 0 ①当 a ? 0 时, f ( x ) 在[ 1 , + ? ) 上是增函数, 所以只需 f (1) ? 0 而 f (1) ?
1 2 ? a ln 1 ? 1 2 ? 0

所以 a ? 0 满足题意; …………………………………………………………………9 分 ②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 所以只需 f (1) ? 0 而 f (1) ?
1 2 ? a ln 1 ? 1 2 ? 0
a ? 1 , f ( x ) 在[ 1 , + ? ) 上是增函数,

所以 0 ? a ? 1 满足题意;…………………………………………………………………10 分 ③当 a ? 1 时, a ? 1 , f ( x ) 在[ 1 , a ] 上是减函数,[ a , + ? ) 上是增函数,

所以只需 f ( a ) ? 0 即可 而 f ( a ) ? f (1) ? 0 从而 a ? 1 不满足题意; …………………………………………………………………12 分 综合①②③实数 a 的取值范围为 ( ? ? , 0 ) ? ( 0 ,1] .………………………………13 分

19(本小题满分 14 分) (Ⅰ)由题意知: a = 4 ,
2

b = 3,

2

所以 c = a ? b =1
2 2 2

所以,焦点坐标为 ( ? 1,0 )



离心率 e =

c a

=

1 2

??????????4 分

(Ⅱ)由题意知:直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y = k ( x ? 4 ) ????????????5 分
B ( x1 , y1 ) , E ( x 2 , y 2 ) ,则 A ( x 1 , ? y1 ) ,



? y ? k (x ? 4 ) ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

得 (3 + 4 k ) x ? 3 2 k x ? 6 4 k ? 1 2 ? 0
2 2 2 2

则 x1 + x 2 =

32k

2 2

,

3+ 4 k

x1x2 =

64k

2

? 12
2

(1) ????????????8 分

3+ 4 k

直线 AE 的方程为 y ? y 2 =

y 2 + y1 x 2 ? x1

(x ? x 2 ) ,

令 y = 0 ,得 x = x 2 ?

y 2 ( x 2 ? x1 ) y1 + y 2

(2)

????????????10 分

又 y 1 = k ( x 1 ? 4 ) , y 2 = k ( x 2 ? 4 ) 代入(2)式,得 x =

2 x 1 x 2 ? 4 ( x1 + x 2 ) x1 + x 2 ? 8

(3)

把(1)代入(3)式,整理得 x =1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 (1,0 ) . 20(本小题满分 13 分) ????????????14 分

(Ⅰ) a 1

?

3 11

?

3 11

,a2

?

1 a1

?

11 3

?

2 3

, a3

?

1 a2

?

3 2

?

1 2

a4 ?

1 a3

? 2 ? 0


1 2

所以 (Ⅱ)?

a1 ?

3 11

, a2 ?

2 3

, a3 ? ? 1 2

, an ? 0 (n ? 4)

……………………………………4 分
1 a ? 2

a1 ? a ? a

,a
1 a



1 2

? a ?1

,从而 1 ?



a2 ?

1 a1

?

?

1 a

?1? a

所以 a 2

? a ?1? 0

解得: a

?

?1 ? 2

5

,

(a

?

?1 ? 2

5

?1 ? ? ? ,1 ? ? 2 ?

,舍去)

……………….6 分

所以集合 A a ? ? ? (Ⅲ)结论成立.

?1 ? 2

5

?.

………………………………………7 分 ……………………………………………8 分

易知 a 是有理数,所以对一切正整数 n , a n 为 0 或正有理数, 设 an
? pn qn

( p n 是非负整数, q n 是正整数,且 p n , q n 互质)
? p1 q1

由 a1

?

p 2013

,可得 0

? p1 ? 2 0 1 3



…………………………………9 分

若 p n ? 0 ,设 q n
qn pn
1 an

? ? pn ? ?

( 0 ? ? ? p n , ? , ? 是非负整数)
pn qn 1 an ? qn pn



? ? ?

?
pn

,而由 a n ?
?
pn



a n ?1 ?

?

qn pn

?

,故 p n ? 1 ? ? , q n ? 1 ? p n ,可得 0 ? p n ? 1 ? p n

………11 分

若 p n ? 0 则 p n ?1 ? 0 , 若 a 1 , a 2 , a 3 , ? ? ?, a 2 0 1 3 均不为 0,则这 2 0 1 3 个正整数 p n ( n ? 1, 2 , 3, ? , 2 0 1 3 ) 互不相同且都小 于 2 0 1 3 ,但小于 2 0 1 3 的正整数共有 2 0 1 2 个,矛盾. 故 a1
, a 2 , a 3 , ? ? ?, a 2 0 1 3

中至少有一个为 0,即存在 m

(1 ? m ? 2 0 1 3)

,使得 a m ? 0 .

从而数列 ? a n ? 中 a m 以及它之后的项均为 0,

所以对于大于 2 0 1 3 的自然数 n ,都有 a n ? 0

…………………………………………13 分


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