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黑龙江省大庆市第四中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

大庆四中 2015~2016 学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷( 选择题) 一、 选择题(本大题共 12 小题, 每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。 1、已知 i 是虚 数单位,则复数 i(1+i)的共轭复数为 ( ) A.1+i B.l﹣i C.﹣l+i D.﹣l﹣i 2、某单位有员工 90 人,其中女员工有 36 人. 为做某项调查,拟采用 分层抽样抽取容量 为 15 的样本,则男员工应选取的人数是 ( ) A.6 人 B. 9 人 C. 10 人 D. 7 人 3、由①正方形的四个内角相等;②矩形的四个内角相等;③正方形是矩形. 根据“三段 论”推理得出一个结论,则作为大前提、小前提、结论的分别为 ( ) A.②①③ B.③①② C.①②③ D.②③① 4、 已知点 P 的极坐标是 (1, ) , 则过点 P 且垂直于极轴的直线的极 坐标方程是 (

?

3



A. ? ? 1

B. ? ? cos?

C. ? ?

1 cos ?

D. ? ?

1 2 cos ?

5、 在如图所示的茎叶图中, 甲、 乙两组数据的中位数分别是 ( ) A.45 和 47 B.45 和 44 C.45 和 42 D.45 和 45 6、甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性 做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与 残差平方和 m 如 下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7、类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列 结论,正确的是: ( ) ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 8、在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 ( )

1

A. ?1,

? ?? ? ? 2?

B. ?1, ?

? ?

??
? 2?

C. ?1 , 0?

D. ?1 ,? ?

9、利用计算机产生[0,1]之间的均匀随机数 a1 ? rand ,经过下列的那种变换能得到 [﹣2,3]之间的均匀随机数 A. a ? a1 ? 5 ? 2 B. a ? a1 ? 2 ? 3 C. a ? a1 ? 3 ? 2 D. a ? a1 ? 2 ? 5 ( )

10、为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,得到 5 组数据 (x1,y1 ) , (x2,y 2 ) , (x4,y 4 ) , (x3,y3 ) , (x5,y5 ) .根据收集到的数据 可知 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =150,由最小二乘法求得回归直线方程为 =0.67x+54.9,则

y1 + y 2 + y3 + y 4 + y5 的值为
A.75
2

( C.375 D.466.2 (



B.155.4

11、设函数 f(x)=﹣x +4x﹣3,若从区间[2,6]上任取﹣个实数 x0 ,则所选取的实数 x0 满足 f( x0 )≥0 的概率为 )

1 A. 3

1 B. 4

3 C. 4

1 D. 2

12、 平面直角坐标系中, 点集 M ? {( x, y) | ? 覆盖的平面图形的面积为 A. 4? B. 16?

? x ? sin ? ? cos ? 则点集 M 所 , ?,? ? R} , ? y ? cos? ? sin ?
( C. 2? D.与 ? , ? 有关 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.) 13、某单位有 840 名职工,现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按 1,2,?, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[61,140]的人数为 14、 已知某人 1﹣5 月收 到的快件数分别为 1, 3, 2, 2, 2, 则这 5 个数的方差 s = 15、设 a ? {1,3,5}, b ? {2,4,8} 则函数 y ? log b
a
2

. . .

1 是增函数的概率为 x

16、在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为 1600,则中间一组(即第五组)的频数为 . 三. 解答题: (本大题共 6 小题, 满分 70 分.解答须写出文字说明, 证明过程和演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分)

2

已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?t (t 为参数) . 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ? y ? ?1 ? t
2 cos(? ? ) . 4

为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程;

?

(Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) .

18、 (本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级; 在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方 米及其以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2015 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 6 天的数据 作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) ,若从这 6 天的数据中随机抽出 2 天. (Ⅰ)求恰有一天空气质量超标的概率; (Ⅱ)求至多有一天空气 质量超标的概率.

19、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

(θ 为参数) .以 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为 2 ? cos( ? ? 求椭圆上的点到直线距离的最大值和最小值.

?
3

)?3 6.

20、 (本小题满分 12 分) 为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了 100 名

3

观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数 与所对应的人数表: 场数 9 10 11 12 13 14 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场次不低于 13 场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有 10 名女性. 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料判断我们能否有 95%的把握认为 “歌迷”与性别有 关? 非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 附:

P(K2 ≥ k0) k0

0.25

0.15

0.10

0.05

1.32 2.07 2.70 3.84 10.82 3 2 6 1 8 2 n(ad ? bc) K2 ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 21、 (本小题满分 12 分) 已知某校学生语文与数学的学业水平测试成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格) 三个等级.抽取学生 n 人抽样统计如下表.例如: 表中语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知语文与数学均为 B 等级的概率是 语文 A 级 语文 B 级 语文 C 级 0.18. 数学 A 级 7 20 5 (Ⅰ)求抽取的学生人数; 数学 B 级 9 18 6 (Ⅱ)若该样本中,语文成绩优秀率是 30%, 数学 C 级 a 4 b 求 a,b 的值; (Ⅲ)若 a≥10,b≥8,求语文成绩为 A 等级的总 人数比语文成绩为 C 等级的总人数少 的概率. 22、 (本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线 C:

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001

? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为
? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 (t 为参数). l 与 C 分别交于点 M、N. 2 t 2

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

4

大庆四中 2015~2016 学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试题答案 一.选择题:1~5 DBDDA 二.填空 4, 6~10 DDBAC.11~12 BA.

2 1 , , 5 3

360

17.解: (Ⅰ)∵直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?t (t 为参数) , ? y ? ?1 ? t

∴消去参数 t,得到直线 l 的普通方程 x+y+1=0, 再将 代入 x+y+1=0,得 ρ cosθ +ρ sinθ + 1=0.?(5 分)
2

(Ⅱ)曲线 C 的方程为:∴ ? ? ? cos? ? ? sin ? 联立方程 ?

? x2 ? y 2 ? x ? y

?x ? y ? 1 ? 0
2 2 ?x ? y ? x ? y

∴解得 l 与 C 交点的直角坐标为: (0,-1)------------(8 分) 极坐标为(1,

3? ) 2

--------------(10 分)

18.解:由茎叶图知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标.?(2 分) 记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f. 从 6 天抽取 2 天的情况:ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df, ef,基本事件数为 15(4 分) (Ⅰ)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A,可能结果为:ae,af, be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8. ;?(6 分)

(Ⅱ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B,“2 天都超标”为事件 C,其可能结果 为 ef,?(8 分)故 (12 分) 19、解:将 点 化为普通方程为 到直线的距离 (8 分) 所以椭圆上点到直线距离的最大值为 ,最小值为 . (12 分) (4 分) ,?(10 分)∴ .?

5

20、解: (Ⅰ)由统计表可知,在抽取的 100 人中,“歌迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 非歌迷 歌迷 合计 ?(5 分) 男 30 15 45 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得: 女 45 10 55 K=
2

=

≈3.030

合计

75

25

100

因为 3.030<3.841,所以我们没有 95%的把握认为“歌迷”与性别有关.?(12 分) 21、解: (Ⅰ)根据题意,得; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n=100;∴ =0.18,解得 n=100,即抽取的学生人数是 100; =30%,

解得 a=14;又 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,解得 b=17; (Ⅲ)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A, 由(Ⅱ)得,a+b=31,且 a≥10,b≥8; 满足条件的(a,b)有: (10,21) , (11,20) , (12,19 ) , (13,18) , (14,17) , (15, 1 6) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23, 8)共 14 种; 其中 b+11>a+16 的有: (10,21) , (11,20) , (12,19)共 3 种; ∴所求的概率为 P= 22、解: (1)∵ . ,方程 ρ sin θ =2acosθ (a>0) ,两边同乘以 ρ ,
2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0) ;直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0. (2)联立方程组 ,消去 y 并整理,得 t ﹣2(4+a)
2

t+8(4+a)=0 (*)

△=8a(4+a)>0.设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|. 2 由题设得(t1﹣t2) =|t1t2|, 2 即(t1+t2) ﹣4t1t2=|t1t2|. 2 由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a) ﹣5(4+a)=0 得 a=1,或 a=﹣4.∵a>0,∴a=1.

6


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