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人教A版 必修二 第三章 3.3 3.3.2 两点间的距离 配套课件


3.3.2 两点间的距离

1.已知 A(1,a),B(2,3),且|AB|= 10,a=( D )
A.0 C.3 B.6 D.0 或 6

2.到 A(2,-3)和 B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是 ( C ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0

C.x+y-1=0

D.x+y+1=0

3.动点 P 到点(1,-2)的距离为 3,则动点 P 的轨迹方程 是( B ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9

C.(x+1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y+2)2=3 0或8 4.若点 A(3,m)与点 B(0,4)的距离为 5,则 m=______.

重难点

两点间的距离公式

设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 注意:(1)此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也 可写成|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2)利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行 研究.

两点间距离公式的正用

例 1:已知:△ ABC 的三个顶点坐标是 A(1,-1),B(-1,3),
C(3,0).求证:△ABC 是直角三角形. 证明:由已知,
|AB|= ?-1-1?2+[3-?-1?]2=2 |AC|= ?3-1?2+[0-?-1?]2= 5, |BC|= [3-?-1?]2+?0-3?2=5. 5,

因为|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形.

5 1-1.已知点 A(0,4)和点 B(1,2),则|AB|=____.
解析:|AB|= ?1-0?2+?2-4?2 = 5.

两点间距离公式的逆用 例 2: 试在直线 x-y+4=0 上求一点 P,使它到 M(-2,
-4),N(4,6)的距离相等.

解:∵点 P 在 x-y+4=0 上,∴P(a,a+4). ∵|PM|=|PN|,
∴ [?a-?-2?]2+[a+4-?-4?]2 = ?a-4?2+?a+4-6?2, ? 3 5? 3 ∴a=-2,∴P?-2,2?. ? ?

2-1.已知点 M(x,-4)与 N(2,3)间的距离为 7

2,求 x 的 2,整理

值.
解:由|MN|=7 2,得 ?x-2?2+?-4-3?2=7

得 x2-4x-45=0,解得 x1=9 或 x2=-5, 故所求 x 值为 9 或-5.

解析法的应用

例 3:已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线,
证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

证明:如图1,以O 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,BC
的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy. 设点 A(a,b),B(-c,0),C(c,0),由两点间距离公式得:
|AB|= ?a+c?2+b2,|AC|= ?a-c?2+b2, |AO|= a2+b2,|OC|=c.

∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),
|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2. ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 图1

3-1.△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合),
且|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|.用解析法证明:△ABC 为等腰三角形. 解:如图33,作AO⊥BC,垂足为O,以 BC 所在直线为 x

轴,以 OA 所在直线为 y 轴,建立直角坐标系.
设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0). 因为|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|, 所以 b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),

所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).

图 33

又d-b≠0,故-b-d=c-d,所以-b=c,即|BO|=|OC|.

所以△ABC 为等腰三角形.

例 4:线段 AB∥x 轴,且|AB|=5,若点 A 的坐标为(2,1), 求 B 点的坐标. 错因剖析:忽视了距离是绝对值导致漏解.

正解:线段 AB∥x 轴,点 A 的坐标为(2,1),设点 B(x,1),
由|AB|=5,故|x-2|=5,∴x=7 或 x=-3, 故 B(7,1)或 B(-3,1)为所求.

4-1.若 A(-2,-3),B(1,1),点 P(a,2)是 AB 的垂直平分线 9 -2 上一点,则a=_______.


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