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【解析版】浙江省温州市2015届高三第二次适应性测试数学文试卷 Word版含解析

2015 年温州市高三第二次适应性测试
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核 心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:命题,不等式、复数、向量、 椭圆、导数、数列、三角函数的性质,立体几何等;考查学生解决实际问题的能力。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求。

【题文】1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是(

) D. y ? 2 x

2 B. y ? 2 x x 【知识点】函数的单调性奇偶性 B3 B4 【答案】B
A. y ? ?

C. y ? log 2 x

【解析】反比例函数 y=-

2 在其定义域上没有单调性;一次函数 y=2x 时奇函数,且在其定 x

义域上为增函数,∴B 正确;根据对数函数 y=log2x,和指数函数 y=2x 的图象知,这两函数 都不是奇函数. 【思路点拨】根据反比例函数单调性,奇函数的定义,一次函数的单调性,对数函数和指数 函数的奇偶性即可找到正确选项 【题文】2.要得到函数 y ? sin x 的图像,只需将函数 y ? cos x 的图象(
A.向右平移 )

? 个单位 2

B.向左平移

? 个单位 2

C.向右平移 ? 个单位

D.向左平移 ? 个单位

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】A 【解析】∵函数 y=sinx=cos(x-

? ? ),故只需将函数 y=cosx 的图象向右平移 2 2 ? ) 以及函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律, 2


个单位,即可得到函数 y=sinx 的图象,故选:A. 【思路点拨】根据函数 y=sinx=cos(x得出结论. 【题文】3.命题“任意的 x ? R ,都有 x 2 ? 0 成立”的否定是(
2 A.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立

2 B.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立

2 ? 0 成立 C.存在 x0 ? R ,使得 x0

2 ? 0 成立 D.存在 x0 ? R ,使得 x0

【知识点】命题及其关系 A2 【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意的 x∈R, 都有 x2≥0 成立”的否定是:存在 x0∈R,使得 x0 2 <0 成立.故选:D.

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【思路点拨】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【题文】4.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? y ? 2 x 的最小值等于( ? y?0 ?
A. 1 B. 2 C. ?1 D. ?2



【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】D 【解析】由 z=y-2x,得 y=2x+z,

作出不等式对应的可行域, 平移直线 y=2x+z, 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时, 直线 y=2x+z 的截距最小,此时 z 取得最小值为, 由?

y?0 ?y ? 0 ,解得 ? ,即 A(1,0),此时 z=y-2x 的最小值为 z=-2, ? x ? y ?1 ? 0 ? x ?1 ?

故选:D 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 【题文】5.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何
体的体积是( )
3 B. (24? ? 20) cm 3 D. (24? ? 28) cm 3 A. (18? ? 20) cm 3 C. (18? ? 28) cm

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】D 【解析】由三视图得原几何体是一个圆柱去掉一个棱台,则
2 V= ? (2 2) ? 3 ? ? 3(16 ? 4 ? 8) = (24? ? 28) ,故选:D.

1 3

(第 5 题图)

【思路点拨】先由三视图还原几何体,再根据体积公式求出体积。 【题文】6.已知双曲线
的取值范围是( )
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x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相交, 则该双曲线的离心率 a 2 b2

A. ( 3, ??)

B. (1, 3)

C. (2, ??)

D. (1, 2)

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案】C 【解析】:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆 x2+(y-2)2=1 相交 ∴圆心到渐近线的距离小于半径,即

2a b ?a
2 2

<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,

∴e=

c >2 故选:C. a

【思路点拨】 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线, 进而利用圆心到渐近线的距离小于半 径求得 a 和 b 的关系,进而利用 c2=a2+b2 求得 a 和 c 的关系,则双曲线的离心率可求.

?2 x ( x ? 0) 【题文】7.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f [ f ( x )] ? 2 的根的个数是( ?| log 2 x | ( x ? 0)
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个



【知识点】函数与方程 B9 【答案】C 【解析】由 f [ f ( x)] ? 2 ,设 f(A)=2,则 f(x)=A,则 log2 x ? 2 ,则 A=4 或 A= 的图像,由数型结合,当 A= 是 5 个。 【思路点拨】根据函数的取值范围和数型结合求出图像交点个数即根的个数。 uuu r uuu r 【题文】8.在 V ABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 V ABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则
V ABC 的形状是(
A.锐角三角形 ) B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能

1 ,作出 f(x) 4

1 时 3 个根,A=4 时有两个交点,所以 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数 4

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B

5 ,m) 2 5 a?5 b 5 a?5 1 则 BC ? (5,0), OG =( ? ,m- ),由 OG ? BC ? 5 得( ? ).5=5,a=- , 2 3 3 2 3 2
【解析】以 BC 所在的边为 x 轴建立坐标系,设 A 的坐标为(a,b)B(0,0) ,C(5,0) ,G( 则 BC ? AB 为负值,所以为钝角三角形。

【题文】非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分.

【 题 文 】 9 . 集 合 A ? ?0, | x ? ,若 A ? B ,则 A ? B ? | ,B ?? 1, 0, ??1

; AUB ?



CB A ?


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【知识点】集合及其运算 A1 【答案】{0,1},{1,0,-1},{-1} 【解析】由 A ? B 得 x =1,则 A ? B ? {0,1}, A U B ? {1,0,-1}, CB A ? {-1}. 【思路点拨】根据集合间的运算得。 【题文】 10. 设两直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 , 若 l1 // l2 , 则m ?
若 l1 ;

? l2 ,则 m ?
13 3



【知识点】两直线的位置关系 H2 【答案】 ? 7;?

【解析】由 l1 // l2 则(3+m) (5+m)-4 ? 2=0,得 m=-1 或 m=-7,当 m=-1 时重合,舍去。 由 l1 // l2 则(3+m) ? 2+4 ? (5+m)=0,m=-

13 . 3


【思路点拨】利用两直线的位置关系斜率的关系,求出 m. 【题文】 11. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 S 3 ? 2, S 9 ? 12 , 则数列 {an } 的公差 d ?

S12 ? . 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2
【答案】

2 ,20 9

【解析】由 S3 ? 3a1 ? 3d ? 2 , S9 ? 9a1 ? 36d =12,得 d=

2 4 , a1 = ,则 S12 ? 20. 9 9

【思路点拨】根据等差数列的通项公式和性质求出公差和 a12 。 【 题 文 】 12. 已 知 A B CD E F为 正 六 边 形 , 若 向 量 AB ? ( 3,?1) , 则 DC ? DE ?


EC ? FE ?

(用坐标表示) .

【知识点】单元综合 F4 【答案】 2 3; (2 3,?2) 【解析】由 AB =2 则 ( DC ? DE )2 = DC ? DE +2 DC ? DE =8-2 ? 2 ? 2 ?(则 DC ? DE ? 2 3 ,由 EC ? FE ? 2 AB =(2 3 ,-2) 。 【思路点拨】根据向量的几何运算求出模再根据向量之间的运算关系用坐标表示。 【题文】13.若椭圆 C :
则a ? .
2 2

1 )=12, 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(0, 3 ) ,且椭圆的长轴长是焦距的两倍, a 2 b2

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】2 【解析】 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P(0, 3 ) 得 b= 3 ,椭圆的长轴长是焦距的两倍 a 2 b2
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a=2c, a ? b ? c , b= 3 联立得 a=2.
2 2 2

【思路点拨】a=2c, a ? b ? c , b= 3 联立得 a=2.
2 2 2

【题文】14.若实数 x, y 满足 x 2 ? x ? y 2 ? y ? 0 ,则 x ? y 的范围是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 [?2,0] 【解析】∵实数 x,y 满足 x2+x+y2+y=0,



1 2 1 1 1 1 ) +(y+ )2= , 即 2(x+ )2+2(y+ )2=1, 2 2 2 2 2 1 1 令 2 (x+ )=cosθ , 2 (y+ )=sinθ , 2 2
∴(x+ ∴x=

1 1 2 2 cosθ - ,y= sinθ 2 2 2 2

x+y=

? 2 2 cosθ+ sinθ -1 =sin(θ+ )-1∈[-2,0],故 x+y 的范围是[-2,0], 4 2 2

【思路点拨】将圆 x2+x+y2+y=0,化为参数方程,进而根据正弦型函数的图象和性质,可得 x+y 的范围. 【题文】15.如图所示的一块长方体木料中,已知 AB ? BC ? 2, AA1 ? 1 ,设 F 为线段 AD 上一
点,则该长方体中经过点 A1 , F , C 的截面面积的最小值为
C1 D1 C D F A A1 B B1



【知识点】空间向量及运算 G9 【答案】

(第 15 题图)

6 5 5

【解析】以为 z 轴, AB 为 y 轴,DA 为 x 轴建系,设截面与 B1C1 交于 K

F(2 ? ,0,0),则 FC ? (2 ? 4?, 2,0) , FA1 =(-2 ? ,0,-1)S= FC ? FA1 sin ? ,则
2 2 S 2 ? FC FA1 ? ( FC ? FA1 )2 = ?? 2 ? 4? ? ? 4? ? 4? 2 ? 1? ? ? ?2? (2 ? 4? ) ? , 0 ? ? ? 1 ,最 ? ?

2

2

小值为

36 6 5 ,则面积最小值为 。 5 5
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【思路点拨】S= FC ? FA1 sin ? ,则 S 2 ? FC

2

FA1 ? ( FC ? FA1 )2 =

2

?? 2 ? 4? ?2 ? 4? ? 4? 2 ? 1? ? ? ?2? (2 ? 4? ) ?2 , 0 ? ? ? 1 ,最小值为 36 , ? ? 5
6 5 。 5

则面积最小值为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【题文】16. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin2 x .
(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 y ? f ( x) 在 [?

? 3?

, ] 上的值域. 4 8

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 (I) ? (II) [?2, 2 ?1] 【解析】 (I) f ( x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) …………………3 分 ……………………………5 分 ……………………………7 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 4 故函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ;
(II)设 t ? 2 x ?

?

?
4

,当 x ? [ ?

? 3?
4 8 ,

]时?

?
4

?t ??

…………………………9 分

, ] 上为增函数,在 [ , ? ] 上为减函数,……………………11 分 4 2 2 ? ? 2 则当 t ? ? 时 sin t 有最小值 ? ;当 t ? 时 sin t 有最大值 1 ,…………………13 分 4 2 2 ? 3? ] 上的值域为 [?2, 2 ?1] 故 y ? f ( x) 在 [? , ……………………………15 分 4 8
又函数 y ? sin t 在 [ ? 【思路点拨】先化简函数求出周期,根据三角函数的单调性求出最值,确定值域。
? 【题文】17. (本题 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 2an ? 3(n ? N ) .

? ?

?

(I)设 bn

? an ? 3(n ? N? ) ,求证 ?bn ?是等比数列;

(II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】 (I)略(II) 2
n?2

? 3n ? 4
………………3 分 ………………………5 分 ………………………7 分 ………………………9 分

【解析】 (I)由已知得 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 则 bn ?1 ? 3bn , 又 b1 ? 4 ,则 ?bn ?是以 4 为首项、2 为公比的等比数列 (II)由(I)得 bn ? 4 ? 2
n?1

? 2n?1 ,

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则 an ? 2n?1 ? 3

………………………10 分

Sn ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 ? L L ? 2n?1 ? 3
4(1 ? 2 n ) ? ? 3n ? 2 n ? 2 ? 3n ? 4 1? 2
………………………15 分

【思路点拨】由 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , b1 ? 4 ,则 ?bn ?是以 4 为首项、2 为公比的等比数列。

Sn ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 ? L L ? 2n?1 ? 3 ?

4(1 ? 2 n ) ? 3n ? 2 n ? 2 ? 3n ? 4 。 1? 2

【题文】18. (本小题 15 分)如图所示,在三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? CD ? 1, AC ? 3 ,
平面 ACD ⊥平面 ABC , ?BCD ? 90 (I)求证: CD ? 平面 ABC ; (II)求直线 BD 与平面 ACD 所成角的正弦值.
o



(第 18 题图)

【知识点】单元综合 G12 【答案】 (I)略(II) 【解析】

2 4

(I)过 B 做 BH ⊥ AC 于 H ……2 分 Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ,平面 ACD I 平面 ABC ? AC

? BH ⊥平面 ACD ……4 分 ? BH ⊥ CD B HI B C ? B 又 Q CD ⊥ BC ? CD ? 平面 ABC ……7 分 (II)解法 1: Q BH ⊥平面 ACD 连结 DH 则 ?BDH 为求直线 BD 与平面 ACD 所成角……11 分
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Q AB ? BC ? 1, AC ? 3
Q BH ? 1 2
又 Q BD ? 2

? ?ABC ? 120o

又 Q BH ? AC

? sin ?BDH ?

BH 2 ……15 分 ? BD 4
2 . 4

? 直线 BD 与平面 ACD 所成角的正弦值等于

解法 2:设直线 BD 与平面 ACD 所成角为 ? , B 到平面 ACD 的距离为 d

Q AB ? BC ? 1, AC ? 3
? S?ABC ?

? ?ABC ? 120o

1 3 1 3 AC ? BC ? sin ?ACB ? , S?ACD ? AC ? CD ? …………………9 分 2 4 2 2

1 1 1 Q VD? ABC ? VB? ACD Q CD ? 平面 ABC ? S?ACD ? d ? S ?ABC ? CD ? d ? ……12 分 2 3 3
又 Q BD ? 2

?? ?s i n

d 2 ……15 分 ? BD 4
1 1 S?ACD ? d ? S ?ABC ? CD 3 3
?d ? 1 ,又 2

【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直,由

Q BD ? 2

?? ?s i n

d 2 ? 。 BD 4
1 x ?b相 2

【题文】19. (本小题 15 分)如图所示,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 AB : y ?
切于点 A . (I)求 p , b 满足的关系式,并用

p 表示点 A 的坐标;

(II) 设 F 是抛物线的焦点, 若以 F 为直角顶角的 Rt V AFB 的面积 等于 25 ,求抛物线 C 的标准方程.

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】 (I) A(2 p, 2 p) (II) y ? 8x
2

? y 2 ? 2 px ? 2 【解析】 (I)联立方程组 ? 消元得: y ? 4 py ? 4bp ? 0 1 ?y ? x ?b ? 2
① …2 分
(第 19 题图)

Q 相切

? V? 16 p2 ?16bp ? 0 得: b ? p ② ……4 分

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将②代入①式得: y 2 ? 4 py ? 4 p2 ? 0

解得 xA ? 2 p

yA ? 2 p

? A(2 p, 2 p)
(II) Q F (

……………………………………………………6 分

p , 0) 2

? k AF ?

2p p 2p ? 2

?

4 3

……………………………………7 分

Q AF ? BF

? k BF ? ?

1 3 ?? k AF 4

3 p 3 3p ………………………………9 分 ? 直线 BF 的方程为 y ? ? ( x ? ) ? ? x ? 4 2 4 8

3 3p p ? ? y ?? x? x?? ? ? ? ? 4 8 2 ?? 由? ? y ? 1 x? p ? y ? 3p ? ? ? 4 ? 2

即 B(?

p 3p , ) ……………………………11 分 2 4

p 5p ? | AF |? (2 p ? )2 ? 4 p 2 ? 2 2

| BF |? (?

p p 2 9 2 5 ? ) ? p ? p ……13 分 2 2 16 4

? S?ABF ?

1 25 2 | AF || BF |? p ? 25 2 16

解得 p ? 4

? 抛物线 C 的标准方程为 y2 ? 8x
2

………………………………………………15 分

【思路点拨】 y ? 4 py ? 4bp ? 0 ① Q 相切

? V ?1 6p2 ?1 b 6 p ? 0得: b ? p ②求得
| BF |? (? p p 2 9 2 5 ? ) ? p ? p 2 2 16 4

p 5p A(2 p, 2 p ) (2) | AF |? (2 p ? )2 ? 4 p 2 ? 2 2

? S?ABF ?

1 25 2 | AF || BF |? p ? 25 2 16

解得 p ? 4

? 抛物线 C 的标准方程为 y2 ? 8x
【题文】20. (本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 4? x ? 3 ? a .
(I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,存在 x0 ? ?0,2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围.

【知识点】单元综合 B14 【答案】 (I)2<a<4(II) t ? 1 【解析】 (I)解: 0 ? ? (II)解法 1:

a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ??5 分 2

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(i)当 0 ?

4?a ? 4?a ? ? 1 时,即 2 ? a ? 4 时, f ? ? ? f ? x ? ? f ? 2? 2 ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ? 2? ? a ?1 ? a ?1 , f ? ? ? ? 4 4 ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 8a ? 8 ? ? a ? 4 ? ? 8 f ? 2? ? f ? ? ? ?0 ? 4 4 ? 2 ? 所以 | f ? x ? |max ? a ?1 ?????????????????9 分

(ii)当 1 ?

4?a ? 2 时,即 0 ? a ? 2 时, 2
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ? 0? ? 3 ? a ? 3 ? a , f ? ? ? ? 4 4 ? 2 ?

? 4?a ? 8?a f ? 0? ? f ? ? 0 , | f ? x ? |max ? 3 ? a , ??13 分 ?? 4 ? 2 ? ?a ? 1, 2 ? a ? 4 综上, | f ? x ? |max ? ? , ?3 ? a , 0 ? a ? 2
2

故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1

??????????????15 分
2

解法 2:解法 2: | f ? x ? |? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?

? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?
2

???????????9 分

? 1? a ? 2
又 1? a ? 2

??????????????????13 分

等号当且仅当 x ? 0 或 2 时成立,

?

?

min

? 1 ,所以 t ? 1

???????15 分

解法 3: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ??9 分

Q x0 ?1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ?

?????13 分

且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1,所以 t ? 1 ??15 分

【思路点拨】根据函数的单调性求出 a 的范围,讨论 a 的范围求出最大值求出 t 的范围。

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