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江苏省淮阴中学2013届高三3月数学综合测试


江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月数学综合测试 2013.3.2
一.填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 设集合 A ? ?a, 2? , B ? ?1, 2? , A ? B ? ?1, 2,3? ,则 a ? 2.如果 . .

2 ,那么 m ? ? 1 ? mi ( m? R , i 表示虚数单位) 1? i

3.若函数 f ( x) ? loga ( x ? x 2 ? 2a 2 ) 为奇函数,则 a = 4.某学校为了解该校 600 名男生的百米成绩(单位:s) ,随机选择了 50 名学生进行调查, 下图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布,估计这 600 名学 生中成绩在 [13,15] (单位:s)内的人数大约是 . 5.设 ? , ? 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,给出下列的四个命题: (1)若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; (2)若 n ? ?, m ? ? , ? 与 ? 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直 (3)若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ?, n ? m, 则 n ? ? (4)若 m // n, n ? ?,? // ?, 则 m ? ? 其中,所有真命题的序号是 . 6.阅读下列程序:输出的结果是 . Read S ?1 For I From 1 to 5 Step 2

S ?S ?I
Print S End for End
?2 x ? y ? 2 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ? ?x ? y ? 1 ?



8.甲盒子里装有分别标有数字 1、2、4、7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别标有数字 1、4 的 2 张卡片,若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数字之和为奇 数的概率是 .
2 9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [0, ? ]) 的值域是_______

10.已知 O, A, B 是平面上不共线三点,设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意一点,若

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? | OA |? 7 , | OB |? 5 ,则 OP?(OA ? OB) 的值为

. 未找到引用源。 , ? 错误!

?2e x ?1 , x ? 2 ? ? 1 11. f ( x) ? ? 设 , f ( 1 ? ( )2 a x ?x ? 若 x) fx 2 ?log3 ? x ? 1? , x ? 2 ?

2

则实数 a 的取值范 围是 . 2 2 x y 12.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 是左右焦点,l 是右准线,若椭圆上存在点 P , a b 使 | PF1 | 是 P 到直线 l 的距离的 2 倍,则椭圆离心率的取值范围是_______.

13.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ? S n ? 中的唯 一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是
2



14.函数 f ( x) ? ax ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中, a 为负整数,则使函数至少有一个整数零点 的所有的 a 值的和为______________. 二.解答题(解答要给出必要的文字说明和演算步骤,共 90 分) 15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 且 tan A ?

1 3 10 . , cos B ? 2 10

(1)求 tanC 的值; (2)若 ?ABC 最长的边为 1,求 b 边及 ?ABC 的面积.

16.在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 为菱形,∠ BAD=60° 为 AB 的中点,Q 为 CD1 的中点. ,P (1)求证:DP⊥ 平面 A1ABB1; (2)求证:PQ∥ 平面 ADD1A1. A1

D1 B1 Q

C1

D

C P B

A

17. 今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日,有一个群名 为 “天狼星”的自驾游车队。该车队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车

型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀 速通过该隧道,设车队的速度为错误!未找到引用源。 m/s ,根据安全和车流的需要, 当错误!未找到引用源。时, 相邻两车之间保持 20m 的距离;当错误!未找到引用源。时,相邻两车之间保持错误!未 找到引用源。m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为错误!未找到引 用源。 . (1)将错误!未找到引用源。表示为错误!未找到引用源。的函数; (2)求该车队通 过隧道时间错误!未找到引用源。的最小值及此时车队的速度.

18.已知椭圆 点 P(4,

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 2 5 a b

12 ) , A 为上顶点, F 为右焦点.点 Q (0, t ) 是线 5 段 OA (除端点外)上的一个动点,过 Q 作平行于 x 轴的 直线交直线 AP 于点 M ,以 QM 为直径的圆的圆心为 N . (1)求椭圆方程; (2)若圆 N 与 x 轴相切,求圆 N 的方程; (3)设点 R 为圆 N 上的动点,点 R 到直线 PF 的最大距离为 d ,求 d 的取值范围.

1 3 x ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 在 x ? 0 处取得极值 ? 1 . 3 (1)设点 A(?a, f (?a)) ,求证:过点 A 的切线有且只有一条;并求出该切线方程. (2)若过点 (0, 0) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 a 的取值范围; (3)设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x1, f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )处的切线都过点 (0, 0) ,
19.设函数 f ( x) ?
' ' 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

20.已知数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列, S n 是其前 n 项和. (1)当首项 a1 ? 2 ,公比 q ? 求 c 的取值范围;

S ?c 1 时,对任意的正整数 k 都有 k ?1 ? 2(0 ? c ? 2) 成立, Sk ? c 2

2 (2)判断 Sn Sn?2 ? Sn?1 n ? N * 的符号,并加以证明;

?

?

(3)是否存在正常数 m 及自然数 n ,使得 lg(Sn ? m) ? lg(Sn?2 ? m) ? 2lg(Sn?1 ? m) 成 立? 若存在,请求出相应的 m, n ;若不存在,说明理由.

2013 届高三数学综合测试参考答案
1. 3 2. 1 3.

2 2

4. 120 5. (4) 6.2,5,10 (3) 12. [

7.18

8.

1 2

9.[? 3, ]

7 4

10. 12 11. ?1, 2e ?

?3 ? 17 ,1) 2

13.? ?30, ?27 ?

14. -14

1 1 ? tan A ? tan B 15.解: (1)? tan C ? tan ?? ? ( A ? B) ? ? ? tan( A ? B) ? ? ? ? 2 3 ? ?1 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3

(2) ? S ? 16、解:略

1 1 cb sin A ? 2 10
A1

D1 B1 Q

C1

17. 解: (1)当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用 源。----3 分

当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 D C 错误! 未找到引用源。 -----------------------------------3 分 A B 所以, 错误! 未找到引用源。 -----------------------------7 P 分 (2)当错误!未找到引用源。时,在错误!未找到引用源。(m/s)时, 错误!未找到 引用源。-------9 分 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。――――12 分 当且仅当错误!未找到引用源。,即:错误!未找到引用源。(m/s)时取等号。 ----------------------13 分 因为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,所以 当错误!未找到引用源。(m/s) 时,错误!未找到引用源。 因为错误!未找到引用源。,所以当错误!未找到引用源。(m/s)时,错误!未找到引用源。 答:该车队通过隧道时间错误!未找到引用源。的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.―――14 分 18.解: (1)∵ e= 0,故椭圆方程为
3 5
x2
2

不妨设 c=3k,a=5k,则 b=4k,其中 k>
? y2
2

P(4, ? 1(a ? b ? 0) ,∵

25k 16k 12 2 ( ) x2 y2 42 ? ? 1 ――― ? 5 2 ? 1 解得 k=1,∴ 上,∴ 椭圆方程为 25 16 25k 2 16k

12 )在椭圆 5

4分

12 ?4 2 2 ?? (2) k AP ? 5 , 则直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 4 ―――――5 分 4 5 5 5(4 ? t ) 5(4 ? t ) 5(4 ? t ) , t ) ,∵ , t) , 令 y=t ? 0 ? t ? 4 ? ,则 x ? ∴ M( Q(0,t)∴ N( 2 2 4 5(4 ? t ) 5(4 ? t ) 20 ?t, ∵ N 与 x 轴相切 ∴ 圆 由题意 M 为第一象限的点, 则 解得 t ? ?t , 4 9 4 20 20 20 20 400 ∴N ( , ) ,圆 N 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ――――――――10 分 9 9 9 9 81 12 12 (3)F(3,0) k PF ? , ∴ 直线 PF 的方程为 y ? ( x ? 3) 即 12x ? 5 y ? 36 ? 0 ――11 分 5 5 4 15(4 ? t ) ? 5t ? 36 24 ? 20t 6 ? 5t ∴ N 到直线 PF 的距离为 点 = = 13 13 13

4 5 6 ? 5t + (4 ? t ) ,∵ 0<t<4 ――――12 分 4 13 6 4 5 356?145 t 7 89 ∴ 0<t≤ 时, d ? (6 ? 5t ) ? (4 ? t ) = 当 ,此时 ? d ? -14 分 5 13 4 52 2 13 6 4 5 164? 15t 7 56 当 <t<4 时, d ? (5t ? 6) ? (4 ? t ) = ,此时 ? d ? -16 分 5 13 4 52 2 13
∴d ?
? 7 89 ? ∴ 综上, d 的取值范围为 ? , ? . ? 2 13 ?

19. (1) f ' ( x) ? x2 ? 2ax ? b , 解: ? 由题意可得 f ' (0) ? 0 ,f (0) ? ?1 , 解得 b ? 0, c ? ?1 经检验, f ( x ) 在 x ? 0 处取得极大值。? f ( x) ?
'

1 3 x ? ax 2 ? 1………………………2 分 3

设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? y 0 ? f ( x0 )( x ? x0 ) 即为 y ? ( x0 ? 2ax0 ) x ?
2

2 3 2 x0 ? ax0 ? 1 ……………………………………………………3 分 3

3 2 2 3 3 把 (?a, f (?a)) 代入可得 x0 ? 3ax0 ? 3a x0 ? a ? 0 ,即为 ( x0 ? a ) ? 0

∴ x0 ? ?a ,即点 A 为切点,且切点是唯一的,故切线有且只有一条. 切线方程为 a x ? y ? a ? 1 ? 0 ………………………………………………………5 分
2 3
2 3 2 (2) 因为切线方程为 y ? ( x0 ? 2ax0 ) x ? x0 ? ax0 ? 1 , ( ,0 把 0)

1 3

2 3

代入可得

2 3 2 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 , 3

因为有三条切线,故方程 设 g ( x) ?

2 3 2 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 有三个不同的实根.………………………6 分 3

2 3 x ? ax 2 ? 1 (a ? 0) 3

? g '( x) ? 2 x ? 2ax ,令 g '( x) ? 2 x ? 2ax =0,可得 x ? 0 和 x ? ?a

x
g ' ( x)
g ( x)

(??, 0)
+ 增

0
0 极大值

(0, ? a )


?a
0 极小值

( ? a, ??)
+ 增



因为方程有三个根,故极小值小于零, a3 ? 1 ? 0 ,所以 a ? ? 3 3

1 3

………………10 分

' ' 2 2 (3)假设 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ,所以 x1 ? x2 ? ?2a …………11 分

?2 3 2 ? 3 x2 ? ax2 ? 1 ? 0 2 3 3 ? 2 2 由题意可得 ? 两式相减可得 ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 0 3 ? 2 x3 ? ax 2 ? 1 ? 0 1 1 ?3 ?
因为 x1 ? x2 ,故

2 2 ( x2 ? x2 x2 ? x12 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0 3

2 2 2 2 2 把 x1 ? x2 ? ?2a 代入可得 x2 ? x2 x2 ? x1 ? 3a ,所以 ( x1 ? x2 ) ? x2 x2 ? 3a 2 所以 x2 x2 ? a

……………………………………………………………………………14 分
2

? x ? x2 ? ' ' 2 又由 x2 x2 ? ? 1 ? ? a ,矛盾。所以假设不成立,即证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ………16 分 ? 2 ?
20.解: (1) Sk ? 4(1 ?

1 ) ? 2 ,―――――――――1 分 2k 6 , 因为对任意的 k 恒成立, 2k

? Sk ?1 ? c ? 2Sk ? 2c 即 c ? 2Sk ? Sk ?1 ,代入计算得 c ? 4 ?
所以 0 ? c ? 1―――――3 分: (2)符号为负

2 2 2 证明:当 q ? 1 时, S n S n ? 2 ? S n ?1 ? na1 ? (n ? 2)a1 ? [(n ? 1)a1 ] ? ?a1 ? 0

………………5 分 当 q ? 1 时,??an ? 是由正数组成的数列? q ? 0 ,则 q ? 0 且 q ? 1

? Sn Sn? 2 ? S

2 n ?1

a (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ? 2 ) ? a1 (1 ? q n ?1 ) ? ? 1 ? ?? ? ……3 分 1? q 1? q ? 1? q ?

2

?

a12 ?(1 ? qn )(1 ? qn?2 ) ? (1 ? qn?1 )2 ? 2 ? ? (1 ? q)

?

a12 (?qn ? qn?2 ? 2qn?1 ) ? ? a12 q n ? 0 2 (1 ? q)

2 综上, Sn Sn?2 ? Sn?1 n ? N * 为负

?

?

……………………8 分

(3) 假设存在一个正常数 m 满足题意,则有

? Sn ? m ? 0 ?S ? m ? 0 ? n?1 ? Sn Sn ? 2 ? Sn2?1 ? m( Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ) (*) ? ? Sn ? 2 ? m ? 0 ?( S ? m)( S ? m) ? ( S ? m)2 n?2 n ?1 ? n
………………………………12 分

Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? (Sn ? m) ? (Sn?2 ? m) ? 2(Sn?1 ? m)
? 2 (Sn ? m)(Sn?2 ? m) ? 2(Sn?1 ? m) ? 0
……………14 分

? Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 0

? m(Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1) ? 0

2 由(1)得 S n S n ? 2 ? S n ?1 ? 0

?(*)式不成立
故不存在正常数 m 使结论成立 ………………………………16 分

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