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2017届高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习测试:第八章 数列(1)(单元检测)(1)


2017 届高考数学(文)人教 A 版(全国)一轮复习测试:第八章 数列(1) (单 元检测) (建议用时:90 分钟) 一、选择题 1.某几何体的俯视图是正方形,则该几何体不可能是( A.三棱柱 解析 B.四棱柱 C.圆柱 ) D.圆锥

依题意,当一个几何体的俯视图是正方形时,该几何体不可能是圆锥,

故选 D. 答案 D π? ? 2.(2016· 绵阳诊断 ) 为了得到函数 y = 3sin ?2x+ ? 的图象,只需把函数 y = 5? ? ? π? 3sin?x+ ?图象上的所有点的( ) 5? ? A.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 B.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 1 C.纵坐标缩短到原来的2,横坐标不变 1 D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 2 解析 由于变换前后,两个函数的初相相同,纵坐标不变,所以只需将 y= π? 1 ? π? ? 3sin?x+ ?的横坐标缩短到原来的2,即可得到函数 y=3sin?2x+ ?的图象. 5? 5? ? ? 答案 D ) 3.(2015· 济南模拟)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a<b,则 ac2<bc2 C.若 a>b,则(a+c)2>(b+c)2 解析 c c B.若 a>b>0,c<0,则a<b a b D.若 ab>0,则b+a≥2

c c 对于 A,当 c=0 时不成立;对于 B,由 a>b>0,c<0,可知a>b;对于 C,

若 a=1,b=-1,c=0,则(a+c)2>(b+c)2 显然不成立;由基本不等式可知 D 正确. 答案 D

4.(2016· 南昌模拟)如图, 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 P 为平面 A1B1C1D1 内一点,则三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图的面积之比为(
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)

A.1∶1 解析

B.2∶1

C.2∶3

D.3∶2

正视图和侧视图均为三角形, 并且该三角形的底面边长和高都为正方体

的边长,故正视图和侧视图的面积之比为 1∶1. 答案 A

?0≤x≤y 5.(2016· 长沙模拟)已知变量 x, y 满足?x+y≥2 , 则 z=2x-y 的最大值为( ?2x+y≤6
A.1 解析 B.2 C.3 D.4 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分

)

所示,平移直线 y=2x,可知当直线经过点 A 时,z 取得 ?2x+y-6=0, 最大值.由? 得 A(2,2).所以目标函数的最 ?x-y=0, 大值 zmax=2×2-2=2.故选 B. 答案 B

6.(2016· 青岛统一质量检测)设 m,n 是不同的直线,α ,β 是不同的平面,下列 命题中正确的是( )

A.若 m∥α,n⊥β ,m⊥n,则 α⊥β B.若 m∥α,n⊥β ,m⊥n,则 α∥β C.若 m∥α,n⊥β ,m∥n,则 α⊥β D.若 m∥α,n⊥β ,m∥n,则 α∥β 解析 当 m∥α,n⊥β,m⊥n 时,α,β可能垂直,也可能

平行,故选项 A,B 错误;如图所示,由 m∥n,得 m,n 确 定一个平面 γ,设平面 γ 交平面 α 于直线 l,因为 m∥α,所 以 m∥l,l∥n,又 n⊥β,所以 l⊥β,又 l?α,所以 α⊥β, 故选项 C 正确,D 错误,故选 C. 答案 C

7.(2015· 黄冈中学模拟)设 α,β 是两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线, 命题 p:若平面 α∥β,l?α ,m?β ,则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m?β ,
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则β ⊥α ,则下列命题为真命题的是( A.p 或 q 解析 B.p 且 q

) D.p 且綈 q

C.綈 p 或 q

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,命题 p:平面 AC 为平

面 α, 平面 A1C1 为平面 β, 直线 A1D1 和直线 AB 分别是直线 m, l,显然满足 α∥β,l?α,m?β,而 m 与 l 异面,故命题 p 是 假命题,綈 p 是真命题;命题 q:平面 AC 为平面 α,平面 A1C1 为平面 β,直线 A1D1 和直线 A1B1 分别是直线 m,l, 显然满足 l∥α,m⊥l,m?β,而 α∥β,故命题 q 是假命题, 綈 q 是真命题.故选 C. 答案 C

8.(2016· 兰州诊断)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正 视图中的 x 的值是( )

A.2 解析

9 B.2

3 C.2

D.3

由三视图可知该几何体是一个四棱锥, PA⊥底面 ABCD,

PA=x,底面是一个上下边分别为 1,2,高为 2 的直角梯形. 1 1 (1+2)×2 ∴V=3SABCD·x=3× x=3,解得 x=3,故选 D. 2 答案 D

9.(2016· 沈阳质量监测)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺 寸(单位:cm)可得这个几何体的体积是( )

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4 A.3 cm3 解析

8 B.3 cm3

C.3 cm3

D.4 cm3

由三视图可得该几何体是一个四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,高为

8 2,其体积为3 cm3,故选 B. 答案 B

10.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对于任意的 x 都满足 f(x+1)=-f(x), 当-1≤x <1 时,f(x)=x3,若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则 a 的取值范围 是( ) 1? ? B.?0,5?∪[5,+∞) ? ? ?1 1? D.?7,5?∪[5,7) ? ? 1? ? A.?0,5?∪(5,+∞) ? ? ?1 1? C.?7,5?∪(5,7) ? ? 解析

由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+1)=-f(x+2),因此 f(x)=f(x+2),即函数 f(x)

是周期为 2 的周期函数.函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点可转化成 y=f(x) 与 h(x)=loga|x|两函数图象交点至少有 6 个, 需对底数 a 进行分类讨论.若 a>1, 则 h(5)=loga5<1,即 a>5.

1 若 0<a<1,则 h(-5)=loga5≥-1,即 0<a≤5.

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1? ? 所以 a 的取值范围是?0,5?∪(5,+∞). ? ? 答案 A

二、填空题 11.(2016· 枣庄四校联考)已知向量 a=(sin θ ,-2),b=(cos θ ,1),若 a∥b, 则 tan 2θ =________. 解析 由 a∥b 得 sin θ=-2cos θ,所以 tan θ=-2, 故 tan 2θ= 4 答案 3 12.(2016· 临川一中模拟 )一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角 形,则几何体的外接球的表面积为________. 2tan θ -4 4 = = . 2 1-tan θ 1-4 3

解析

此几何体是三棱锥 P-ABC(直观图如图),底面是

斜边长为 4 的等腰直角三角形 ACB, 且顶点在底面内的射 影 D 是底面直角三角形斜边 AB 的中点.易知,三棱锥 P -ABC 的外接球的球心 O 在 PD 上.设球 O 的半径为 r, 则 OD=2 3-r,∵CD=2,OC=r,∴(2 3-r)2+22=r2,解得 r= 64π ∴外接球的表面积为 4πr2= 3 . 64π 答案 3
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4 , 3

13.(2015· 唐山模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心, 过点 G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线 PB 和 AC.则截面的周长为 ________. 解析 过点 G 作 EF∥AC 交 PA,PC 于点 E,F,过 E,F 分

别作 EN∥PB, FM∥PB 分别交 AB, BC 于点 N, M, 连接 MN, EF 2 ∴四边形 EFMN 是平行四边形,∴ 3 =3,即 EF=MN=2, FM FM 1 PB = 6 =3,即 FM=EN=2,∴截面的周长为 2×4=8. 答案 8 14.(2016· 武汉模拟)已知在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=2 3,则当该正四棱锥 的体积最大时,它的高 h 等于________. a2 解析 设正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 a, 因为 PA=2 3, 所以 2 +h2=12. 1 2 即 a2=24-2h2,所以正四棱锥 P-ABCD 的体积 V=3a2h=8h-3h3(h>0),V′ =8-2h2,令 V′>0 得 0<h<2,令 V′<0 得 h>2,所以当 h=2 时,正四棱锥 P- 32 ABCD 的体积取得最大值 3 . 答案 2 三、解答题 15.(2015· 烟台模拟)已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 5π 函数 f(x)=2cos xsin(x-A)+sin A 在 x= 12 处取得最大值. π? ? (1)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域; 2? ? 13 3 (2)当 a=7 且 sin B+sin C= 14 ,求△ABC 的面积. 解 ∵函数 f(x)=2cos xsin(x-A)+sin A

=2cos xsin xcos A-2cos xcos xsin A+sin A =sin 2xcos A-cos 2xsin A=sin(2x-A), 5π 又函数 f(x)在 x= 12 处取得最大值. 5π π ∴2× 12 -A=2kπ + 2 ,其中 k∈Z.
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π 即 A= 3 -2kπ ,其中 k∈Z. π π? ? ? π 2π ? (1)∵A∈(0,π ),∴A= 3 ,又 x∈?0, ?,∴2x-A∈?- , ?, 2? 3 ? ? ? 3 3 ? 3 ? ∴- 2 <sin(2x-A)≤1,即函数 f(x)的值域为?- ,1?. ? 2 ? a (2)由正弦定理得sin A= b+c b+c ,则 sin B+sin C= a sin A, sin B+sin C

13 3 b+c 3 即 14 = 7 × 2 ,∴b+c=13. 又 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A, 即 49=169-3bc,∴bc=40. 1 1 3 故△ABC 的面积 S=2bcsin A=2×40× 2 =10 3. 16.(2016· 石家庄模拟)在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2 n 1? ? =an?Sn-2?. ? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1 1? ? 解 (1)∵S2 n=an?Sn-2?,an=Sn-Sn-1(n≥2), ? ? 1? ? ∴S2 n=(Sn-Sn-1)?Sn-2?,即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① ? ? 由题意得 Sn-1·Sn≠0, 1 1 ①式两边同除以 Sn-1·Sn,得S - =2, n Sn-1 ?1? 1 1 ∴数列?S ?是首项为S =a =1,公差为 2 的等差数列. ? n? 1 1 1 1 ∴S =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . 2n-1 n 1 ? Sn 1 1? 1 (2)∵bn= = =2?2n-1-2n+1?, 2n+1 (2n-1)(2n+1) ? ? ∴Tn=b1+b2+…+bn 1 ?? 1? 1 ? 1? ?1 1? 1?? n ? 1 =2??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1??=2?1-2n+1?= . ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2n+1

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17.(2015· 郑州诊断)如图, 已知三棱柱 ABC-A′B′C′的侧棱垂 直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 AA′C′C; (2)设 AB=λA′A,当 λ 为何值时,CN⊥平面 A′MN,试证 明你的结论. (1)证明 取 A′B′的中点 E,连接 ME,NE,∵M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点,

∴NE∥A′C′,ME∥AA′.∵A′C′?平面 AA′C′C,A′A?平面 AA′C′C, ∴ME∥平面 AA′C′C,NE∥平面 AA′C′C, 又 ME∩NE=E,∴平面 MNE∥平面 AA′C′C, ∵MN?平面 MNE,∴MN∥平面 AA′C′C. (2)连接 BN,设 AA′=a,则 AB=λAA′=λa, 由题意知 BC= 2λ a,NC=BN= 1 a2+2λ2a2,

∵三棱柱 ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面, ∴平面 A′B′C′⊥平面 BB′C′C, ∵AB=AC,∴A′B′=A′C′,又点 N 是 B′C′的中点, ∴A′N⊥平面 BB′C′C,∴CN⊥A′N. 要使 CN⊥平面 A′MN,只需 CN⊥BN 即可, 1 ? ? ∴CN2+BN2=BC2,即 2?a2+2λ2a2?=2λ2a2, ? ? ∴λ = 2,则 λ= 2时,CN⊥平面 A′MN. 18.(2016· 兰州诊断)已知函数 f(x)=ex-ax(a∈R,e 为自然对数的底数). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x 在 x∈(2,+∞)上为增函数,求 实数 m 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为 x∈R,f′(x)=ex-a,当 a≤0 时,f′(x)>0,

∴f(x)在 R 上为增函数;当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=ln a, 则当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,∴函数 f(x)在(-∞,ln a)上为减函数; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在(ln a,+∞)上为增函数.
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(2)当 a=1 时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x, ∵g(x)在 x∈(2,+∞)上为增函数, ∴g′(x)=xex-mex+m+1≥0 在 x∈(2,+∞)上恒成立, 即 m≤ xex+1 xex+1 在 x∈(2,+∞)上恒成立.令 h(x)= x ,x∈(2,+∞), x e -1 e -1

(ex)2-xex-2ex ex(ex-x-2) h′(x)= = , (ex-1)2 (ex-1)2 令 L(x)=ex-x-2,L′(x)=ex-1>0 在 x∈(2,+∞)上恒成立, 即 L(x)=ex-x-2 在 x∈(2,+∞)上单调递增, 即 L(x)>L(2)=e2-4>0,∴h′(x)>0,即 h(x)= 2e2+1 2e2+1 增,h(x)>h(2)= 2 ,∴m≤ 2 . e -1 e -1 xex+1 在 x∈(2,+∞)上单调递 ex-1

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