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湖北省2013届高三最新文科数学(精选试题17套+2007-2012湖北高考文科试题)汇编3:三角函数

湖北省 2013 届高三最新文科数学(精选试题 17 套+2007-2012 六年湖北高考文科试题) 分类汇编 3:三角函数
一、选择题

4 sin 3 a ? 2 cos a 1 . (湖北省武汉市 2013 届高三第二次(4 月)调研考试数学(文)试题)已知 tana = 2 则 5 cos a ? 3 sin a
,

=





2 A. 5
【答案】A

5 11 B.

3 5 C

7 11 D.

2 . (2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向

右平移

? ? 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是直线 x ? , 则 ? 的一个可能取值是 1 3
( )

5 A. ? 12
【答案】A

5 B. ? ? 12

11 C. ? 12

11 D. ? ? 12

3 . (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学文试题(三) (word 版) )把函数 y= cos2x+ 1 的图象上

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位 长度,得到的图象是

【答案】A 4 . (湖北省浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷)已知点 P 在半径为 1 的半圆周上沿着 A ? P ? B

路径运动,设弧 AP 的长度为 x ,弓形面积为 f ?x ? (如图所示的阴影部分 ),则关于函数 y ? f ?x ? 的有 如下结论: ①函数 y ? f ?x ? 的定义域和值域都是 ?0, ? ?; ②如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是周期函数;
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③如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则函数 y ? f ?x ? 是奇函数; ④函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0, ? ?上是单调递增函数. 以上结论的正确个数是 P

B A.1
【答案】B

O

A ( B.2 因为 S 扇形 ? C.3 D.4 )

y ? f ?x ? ? S扇形 ? S ?OAP

1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? x ? x , S ?OAP ? ? 1 ? sin x ? sin x ,所以 2 2 2 2 1 1 1 1 ? x ? sin x , 它的定义域是 ?0, ? ? , f / ? x ? ? ? cos x ? 0 , y ? f ?x ? 2 2 2 2

在区间 ?0, ? ?上是增函数, 0 ? f ? x ? ?

?

2

,显然该函数不是周期函数,如果函数 y ? f ?x ? 的定义域 R,则 B.

函数 y ? f ?x ? 是奇函数,故①、②不正确,③和④正确,选

5 . (2012 年湖北高考试题(文数) )设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若三边的长为连

续的三个正整数,且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为 A. 4 : 3 : 2 B. 5 : 6 : 7 C. 5 : 4 : 3 D. 6 : 5 : 4
【答案】D 6 . (2009 年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷) 函数





y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/,F/
( )

的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于 A. (

?
6

, ?2)

B. (

?
6

, 2)

C. ( ?

?
6

, ?2)

D. ( ?

?
6

, 2)

【答案】D 7 . (2010 年高考(湖北文) )函数 f ( x ) =

A.

? 2

x ? 3 sin( ? ) , x ? R 的最小正周期为 2 4
C. 2? D. 4?





B. ? D.

【答案】

8 . (湖北省黄冈市 2013 届高三数学(文科)综合训练题 ) 已知 sin(? ?

?
4

)?

? 1 , 则 cos( ? ? ) 的值等于 4 3
( )

A.

2 2 3

B — .

2 2 3

C.

1 3

D — . 3

1

【答案】D 9 . (湖北省重点高中 2013 届高三五月模拟考试文科数学 WORD 版 )已知 sin 2? ? ?

24 ? , ? ? (? , 0) ,则 25 4
( )

sin ? ? cos ? ?
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A. ? 1 5
【答案】B

B. 1 5

C. ? 7 5

D. 7 5
? 个 4

10. (湖北省浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷)先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移

长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的 增区间可能是 A. (?? ,0)
【答案】D

1 ,得到函数 g ( x) 的图像.则 g ( x) 的一个 2 ( )

B. (0,

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

g ( x) ?

1 k? ? k? cos 4 x ,它的递增区间为 [ ? , ]( k ? Z ) .故 D 真. 2 2 4 2
( ) C.4 D.5

? ? , ) 4 2

11. (2012 年湖北高考试题(文数) )函数 f ( x) ? x cos 2 x 在区间 [0, 2π] 上的零点的个数为

A.2
【答案】D

B.3

12 . ( 湖 北 省 武 汉 市 2013 届 高 三 5 月 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ( 试 题 与 答 案 纯 WORD 版 ) ) 函 数

f ( x) ? s i nx ? c o sx (?
A. [2k? ?

?
6

) 的单调递增区间为 5? ](k ? Z ) 6 6 ? 2? ]( k ? Z ) D. [2k? ? , 2k? ? 3 3
B. [2k? ?





7? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) 6 6 4? ? , 2k? ? ]( k ? Z ) C. [2k? ? 3 3
【答案】D

?

, 2 k? ?

13. (2007 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷) tan 690° 的值为





A. ?

3 3

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

【答案】A 14. (湖北省天门市 2013 届高三模拟测试(一)数学文试题 )已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所

示 f( )??

?

2

2 ? , 则f ( ) = 3 6





2 A. ? 3
【答案】C

1 B. ? 2

2 C. 3

1 D. 2
,若 f ( x ) ? 1 ,则 x f () x?3 s i n x ? c o s, x x ? R ( )

15. (2011 年全国高考文科数学试题及答案-湖北) 已知函数

的取值范围为 A. ? B. ? x |2 k ? ?? x ? 2 k ? ? ? , k ? Z xk |? ? ? x ? k ? ? ? , k ? Z ? ?

? ?

?

3

? ?

? ?

?

3

? ?

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C. ? x |2 k ? ? ?? x2 k ? ? , k ? Z ?

? ?

?
6

5 ? 6

? ?

D. xk |? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ?

? ?

?

6

5 ? 6

? ?

【答案】A 16. (湖北省黄梅一中 2013 届高三下学期综合适应训练(四)数学(文)试题 )函数 f ( x) ? 2 sin(

?x
2

?

?
5

),

对任意的 x ? R, 都有

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x 2 ) 成立,则 x1 ? x 2 的最小值为
A.4
【答案】D

( D. 2



B. 4?

C. 2?

17. (湖北省黄冈市 2013 届高三 3 月份质量检测数学(文)试题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重

合 数

, :①











数 ;②











数 ;③

”.









函 ;④

f ( x) ? sin x cos x

f ( x) ? 2sin( x ? ) 4

?

f ( x) ? sin x ? 3 cos x


f ( x) ? 2 sin 2 x ?1 .其中是“同簇函数”的是
A.①②
【答案】C



B.①④

C.②③

D.③④

18. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学文试题(二) (word 版) )一艘海轮从 4 处出‘发,以每小

时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后 到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 4 处观 察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察 灯塔,其方向是北偏东 65°,则 B.C 两点间 的距离是 ( ) A.10 2 海里
【答案】A 19. (湖北省黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)已知函数

B.10 3 海里

C.20 2 海里

D.20 3 海里

f ( x) ? sin(2 x ? ) ,则下面说 3
( )

?

法错误的是 A.

? f ( x) 在 (0, ) 上是增函数 4

B. f ( x) 的最小正周期为 ?

C. f ( x) 的图象向右平移

? 个单位得到曲线 y ? sin 2 x 6

D. x ? ?

5? 是 f ( x ) 图象的一条对称轴 12

【答案】答案:A 【解析】A 中,

? f ( x) 在 (0, ) 上不是单调函数. 4

二、填空题 20. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月模拟考试数学(文)试题(试题与答案纯 WORD 版))“无字证明”(proofs

without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图
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乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:_________.

图甲

图乙

【答案】 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin ? ?
21. (湖北省七市 2013 届高三 4 月联考数学(文)试题)若 【答案】 ?

3 5 ,θ 为第二象限角,则 tan2θ =______

24 ; 7
0

22. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学文试题(三) (word 版) )cos495 的值为______.

?
【答案】

2 2

23. (湖北省襄阳市 2013 届高三 3 月调研考试数学(文)试题)在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 所

对的边,若 b=5,∠B= (Ⅰ)sinA=____;

?
4

,tanA=2,则 (Ⅱ)a=____.

2 5 【答案】(Ⅰ) 5 (Ⅱ) 10
24 .( 湖 北 省 重 点 高 中 2013 届 高 三 五 月 模 拟 考 试 文 科 数 学 WORD 版 ) 函 数

f ( x) ?

As ? i n ?? ( x (A ? 0 )?, ?

0 ,? ?0 ? ? 2 上的部分图象如图所示 ) 在R ,则 f (2013) 的

值为______. y 5

?1

O

5

11 x

【答案】 ?

5 3 2

25 . ( 湖 北 省 黄 梅 一 中 2013 届 高 三 下 学 期 综 合 适 应 训 练 ( 四 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 在 △ ABC

中,sin2C= 3 sinAsinB+sin2B,a=2 3 b,则角 C=
【答案】

.

π 6
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26. (2011 年全国高考文科数学试题及答案-湖北)里氏震级 M 的计算公式为: M

? lg A ? lg A0 ,其中 A 是测

震仪记录的地震曲线的最大振幅, A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大 振幅是 1000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为_____________级;9 级地震的最大振 幅是 5 级地震最大振幅的________________倍. 【答案】6,10000 27. (2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则

A=___________ .
【答案】

30°(或

? ) 6

28 . ( 湖 北 省 黄 冈 市 2013 届 高 三 数 学 ( 文 科 ) 综 合 训 练 题 ) 在 △ABC 中 , 若 ∠A:∠B:∠C=1:2:3, 则

a : b : c ? _________
【答案】 1 :3:2 ; 29. (湖北省黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)已知 cos(?

? 3 ,则 sin 2? 的值为 ? )? 4 3

________.
【答案】答案:

1 3

30. (湖北省荆州市 2013 届高三 3 月质量检测(Ⅱ)数学(文)试题)已知 α 为第三象限的角,cos2α =-3/5,

则 tan(π /4+2α )=____.
【答案】 ?

1 7

a ? (0, ? ), cos(a ?
31. (湖北省天门市 2013 届高三模拟测试(一)数学文试题 )已知

?
6

)?

2 2 则 tan2a=

_____

3 【答案】 3
32. (湖北省八市 2013 届高三 3 月联考数学(文)试题)已知 cos? ? ? 【答案】 三、解答题 33. (湖北省重点高中 2013 届高三五月模拟考试文科数学 WORD 版 )△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为

4 ,且 tan ? ? 0 ,则 sin ? ? ______. 5

3 5

a,b,c, AB ? AC ? 6,
(Ⅰ)求 b
2

??? ? ????

??? ? ???? AB ? AC ? 7 .
(Ⅱ)求△ABC 面积的最大值.
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? c2 ;

??? ? ???? 【答案】△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, AB ? AC ? 6,
??? ? ???? AB ? AC ? 7 .

(1)求 b2 ? c 2 ;(2)求△ABC 面积的最大值. 解(Ⅰ)?

??? ? ???? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AC ? 6 , 则 AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB ?AC ? 36

? b 2 ? c 2 ? 50
(Ⅱ)? AB ? AC ? bc ? cos A ? 7 ,则 cos A ? 所以△ABC 面积 S ? bc sin A ? bc 1 ?
2 2

??? ? ????

49 7 , sin A ? 1 ? 2 2 bc bc

1 2

1 2

49 1 2 2 ? b c ? 49 2 2 2 bc

又因为由(Ⅰ)得 b ? c ? 50 ,故 b2 c2 ? (

b2 ? c 2 2 ) ? 252 2

2 2 当且仅当 b ? c ? 25, 即a ? b ? 5 时,面积 S 取得最大值 Smax ? 12

34. (湖北省武汉市 2013 届高三第二次(4 月)调研考试数学(文)试题) 在 Δ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosB -bsinB =c. (I) 若 B =

? ,求 A; 6

(II)求 sinA + sinB 的取值范围.
【答案】

B、 C 的对边分别为 35. (湖北省黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(文)试题)已知 ?ABC 中,角 A、
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?? a、、 b c , a ? 2 ,向量 m ? (?1,1) ,
?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小和 ?ABC 的面积. 12

【答案】解答:(1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ?

??

?

2 ?0 2

即 cos ? B ? C ? ? ?

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2

所以

cos A ?

2 ? ,A? 2 4
3? ?B, 4

(2)由 A ?

?
4

,C ?

故 sin B ? cos( 由 B ? (0,

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6

3? ? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? 4 4 3 a b ? ? 2 ,得 b ? 3 由正弦定理, sin A sin B


1 6 ? ? 3? 3 ab sin C ? sin( ? ) ? 2 2 4 3 4
A , 当A取A0 时, f ( A) 取极大值 f ( A0 ) ,试求 A0 和f ( A0 ) 的值;(2)当 A 取 A0 时, 2

36 . (湖北省天门市 2013 届高三模拟测试(一)数学文试题 ) 设角 A,B,C 为△ABC 的三个内角 .(1) 设

f ( A) ? sin A ? 2sin
??? ?

而 AB · AC ? ?1 ,求 BC 边长的最小值.

????

A A A A A ? 2cos 2 ? cos ? 1 ? (2cos ? 1)(cos ? 1) 2 2 2 2 2 A A 1 因为 0 ? A ? ? ,则 cos ? 1 ? 0 .由 f ?( A) ? 0 ,得 cos ? , 2 2 2 A ? 2? 所以 0 ? ? ,即 0 ? A ? 2 3 3 2? 2? 2? ) 时, f ( A) 为增函数;当 A ? ( , ? ) 时, f ( A) 为减函数.故 A0 ? 所以当 A ? (0, , f ( A) 取极 3 3 3
【答案】解:(1)因为 f ?( A) ? cos A ? cos

大值 f ( A0 ) = f (

2? 3 3 )? . 3 2
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(2)由 AB ? AC ? ?1 知 bc ? 2 , 而 a ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc ? 6 , 当且仅当 b ? c ?

??? ? ??? ?

2 时, BC 边长的最小值为 6

37. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学文试题(三) (word 版) )在 Δ ABC 中,内角 A,B,C 的对边

分别为 a,b,c.已知 cosA= (I)求 tanC 的值;

2 ,sinB = 5 cosC. 3

(II)若 a= 2 ,求 Δ ABC 的面积.
【答案】

38. (湖北省荆州市 2013 届高三 3 月质量检测 (Ⅱ) 数学 (文) 试题) 已知函数 f(x)=

.

(1)求函数 f(x)图像的对称轴方程及最小值; (2)已知 f(α -π /8)=
【答案】

,α ∈(0,π /4),求 f(α /2)的值.

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39. (湖北省黄冈市 2013 届高三 4 月调研考试数学(文)试题)某单位设计了一个展览沙盘,现欲在沙盘平面

内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长 的材料弯折而成,边 BA,AD 再用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC. (1)设 AB=x 米,cosA=f(x),求 f ( x) 的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)在△ABD 中,由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA. 2 2 2 同理,在△CBD 中,BD =CB +CD -2CB·CD·cos C 因为∠A 和∠C 互补, 2 2 2 2 所以 AB +AD -2AB·AD·cosA=CB +CD -2CB·CD·cosC 2 2 =CB +CD +2CB·CD·cosA 2 2 2 2 即 x +(9-x) -2 x(9-x) cosA=x +(5-x) +2 x(5-x) cosA.
2 2 解得 cosA= ,即 f( x)= .其中 x∈(2,5)

x

x

(Ⅱ)四边形 ABCD 的面积

S= (AB·AD+ CB·CD)sinA= [x(5-x)+x(9-x)] 1-cos2A.
=x(7-x) 2 2 2 2 2 2 1-( ) = (x -4)(7-x) = (x -4)( x -14x+49)

1 2

1 2

x

所以 g(x)=(x -4)( x -14x+49 ),x∈(2,5). 2 2 2 由 g′(x)=2x( x -14x+49)+(x -4)( 2 x-14)=2(x-7)(2 x -7 x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=- 舍) 2 所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108. 四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 答:四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 [来源:Zxxk.Com]
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2

2

40. (湖北省浠水一中 2013 届高三模拟考试文科数学试卷)定义运算 ?

?a b? ? ? ad ? bc ,设函数 ?c d?

? sin ? x cos ? x ? 3 sin ? x ? ? 7? ? f ? x? ? ? , 0 ? 对称,其中 ? 为常数,且 ? 的图象关于点 ? ? cos ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? 12 ? ? ? ?

? ?? ,

? 1 10 ? ?. ?7 7 ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2) 若以函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值分别作为等差数列 ?an ? 的公差和等比数列 ? 2? ?

?bn ? 的公比,且两数列的首项均为 1,又设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1)

? sin ? x cos ? x ? 3 sin ? x ? f ? x? ? ? ? ? cos ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? ? ?

? sin ? x sin ? x ? 3 cos ? x ? cos ? x cos ? x ? 3 sin ? x

?

?

?

?

? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x

?? ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? . 6? ?
因为函数 f ? x ? 的图象关于点 ? 所以 2? ? 解得 ? ?

? 7? ? , 0 ? 对称, ? 12 ?

7? ? ? ? k? , k ? Z , 12 6

6k ? 1 ? 1 10 ? , k ? Z ,由 ? ? ? , ? 得 k ? 1, ? ? 1, 7 ?7 7 ? 2? ?? . 2?

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? (2)由(1)知, f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? 5? ? ? ?? ? ,由 x ? ?0, ? 得 2 x ? ? ? ? , ? , 6? 6 ? 6 6 ? ? 2?

所以 ? ? f ? x ?? ? min ? 2sin ? ? 6 ? ? ?1, ? ? f ? x ?? ? max ? 2sin 2 ? 2 , ? ? 所以 an ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1, bn ? 1? ? ?1?
2 3 n ?1

? ??

?

, cn ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
n ?1

n ?1

.

Sn ? 1?1 ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 7 ? ? ?1? ? ??? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
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,

? S n ? 1? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 7 ? ? ?1? ? ??? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1? ,
2 3 4 n

两式相减得

2Sn ? 1 ? 2 ?? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ??? ? ? ?1? ?
2 3 4

n ?1

? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?n ?

1 ? ?1 ? ?1? ? ? ? ? ? ? 1? 2? 1 ? ? ?1?
? ? ?1?
n ?1

n ?1

? ? ? 2n ? 1 ? ?1 n ? ? ? ?

? 2n ,
n ?1

所以 S n ? ? ?1?

?n.

41. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月模拟考试数学 (文) 试题(试题与答案纯 WORD 版)) 在 ?ABC 中,三内角 A 、

B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a ? 2, c ? 2,cos A ? ?
(1)求 sin C 和 b 的值;
【答案】

2 ., 4

(2)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值..

42 . ( 湖 北 省 黄 梅 一 中 2013 届 高 三 下 学 期 综 合 适 应 训 练 ( 四 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

?(x)=2―sin(2x+

? ? 2 )―2sin x,x∈[0, ] 6 2

(1)求函数?(x)的值域; B (2)记△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,若?( )=1,b=1,c= 3 ,求 a 的值 2
【答案】(1) f ( x) ? 2 ? sin( 2 x ?

? ? ? ) ? 2 sin 2 x ? 2 ? (sin 2 xcox ? cos 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 6 6 6

? 1 ? cos2 x ? (

3 1 1 3 sin 2 x ? cos2 x) ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 2 2 2 2
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? cos( 2 x ?

?
3

) ?1

? ? ? 4? ? 1 ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] ,? cos(2 x ? ) ? [?1, ] , 2 3 3 3 3 2 3 所以函数 f ( x) 的值域是 [0, ] ; 2 B ? ? (2)由 f ( ) ? 1 得 cos( B ? ) ? 1 ? 1 ,即 cos( B ? ) ? 0 2 3 3 ? ? 4 又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? B ? ? ? 3 3 3
所以 B ?

?

3

?

?

2

,即 B ?

?

6

因为 b ? 1, c ?

3 ,所以由余弦定理

b2 ? c2 ? a 2 ? 2ac ? cos B a 2 ? 3a ? 2 ? 0
a ? 1或 a ? 2
故 a 的值为 1 或 2
43. (2010 年高考(湖北文) )已知函数

f ( x) ?

1 1 cos 2 x ? sin 2 x , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 4 2

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图像可由函数 g ( x) 的图像经过怎样的变化得到? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合.
【答案】本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.

解:(1) f ( x) ?

1 1 ? 1 ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) ? sin 2( x ? ). 2 2 2 2 4

所以要得到 f ( x) 的图象只需要把 g ( x) 的图象向左平移 个单位长度即可. (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

? 1 个单位长度,再将所得的图象向上平移 4 4

1 1 1 2 ? 1 cos2 x ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? , 2 2 4 2 4 4 2 1 1? 2 2 ? ? . 2 4 4
3? , k ? Z}. 8

当 2x ?

?
4

? 2k? ? ? (k ? Z)时, h( x) 取得最小值 ?

h( x) 取得最小值时,对应的 x 的集合为 {x | x ? k? ?

44. (湖北省襄阳市 2013 届高三 3 月调研考试数学(文)试题)

已知△ABC 的面积 S 满足半 (1)求 ? 的取值范围;

3 3 ≤S≤ ,且 AB · BC =3, AB 与 BC 的夹角为 ? . 2 2
第 13 页,共 20 页

(2)求函数 f( ? )=3sin

2

? +2 3 sin ? ·cos ? +cos2 ? 的最大值及最小值.

???? ???? ???? ???? AB ? BC ? 3 【答案】(1)解:因为 , AB 与 BC 的夹角为 ? 与 BC 的夹角为 ? ???? 所以 | AB | ? | BC | ? cos ? ? 3
S? ???? ???? 1 ???? 1 ???? 3 | AB | ? | BC | ? sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | ? sin ? ? ? tan ? 2 2 2

3 3 3 3 3 3 ≤S≤ ≤ tan ? ≤ ≤ tan ? ≤ 1 2 ,所以 2 2 2 ,即 3 又 2 ,

? ] ,所以 又 ? ? [0,

? ? ? ?[ , ]
6 4

2 2 (2)解: f (? ) ? 3sin ? ? 2 3 sin ? ? cos ? ? cos ? ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 2

? 2sin(2? ?

?
6

)?2

?
因为 6 从而当

≤? ≤

?

?

4 ,所以 6

≤ 2? ?

?
6



?
3,

??

?

6 时, f (? ) 的最小值为 3,当

??

?

4 时, f (? ) 的最大值为 3 ? 2

45. (湖北省八市 2013 届高三 3 月联考数学(文)试题)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角且向量

?? ? C C C 3 m ? (1, cos ) 与n ? ( 3sin ? cos , ) 共线. 2 2 2 2
(Ⅰ)求角 C 的大小: (Ⅱ)设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,试判断 ? ABC 的形状.
【答案】(Ⅰ)(Ⅰ)∵ m 与 n 共线

??

?



3 C C C ? cos ( 3 sin ? cos ) 2 2 2 2

3 1 π 1 sin C ? (1 ? cos C ) ? sin(C ? ) ? 2 2 6 2 π 得 sin(C ? ) ? 1 6 ?
∴C=

? 3

(Ⅱ)方法 1:由已知 a ? c ? 2b

(1) (2)

2 2 2 根据余弦定理可得: c ? a ? b ? ab

(1)、(2)联立解得: b(b ? a) ? 0

b ? 0,? b ? a, 又C=
方法 2:

?
3

, ??ABC 为等边三角形,

第 14 页,共 20 页

由正弦定理得:

2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ? 2sin( A ? C) 2sin A cos C ? sin C ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C 1 π ∴ cos A ? , ∴在△ ABC 中 ∠ A ? 2 3 ? ?ABC 为等边三角形
方法 3:由(Ⅰ)知 C=

π ,又由题设得: a ? c ? 2b , 3

在 ?ABC 中根据射影定理得:

a ? c ? 2(a cos C ? c cos A) ? a ? 2c cos A

1 ? ? cos A ? ,? A ? 2 3 π 又. C= , 所以 △ ABC 为等边三角形, 3
46 . ( 湖 北 省 八 校

? ? ? ? a ? (cos x, 4sin x ? 2), b ? (8sin x, 2sin x ?1) , x ? R ,设函数 f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ) 在 ?ABC 中 , A 为 锐 角 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , f ( A) ? 6, 且 ?ABC 的 面 积 为
3, b ? c ? 2 ? 3 2, 求 a 的值.
【答案】(Ⅰ)

2013

届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? f ( x) ? a ? b ? ?8sin x ? cos x ? (4sin x ? 2)(2sin x ? 1)

= ? 4sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 2

? 4 2 sin(2 x ? ) ? 2 4

?

? f ( x)max ? 4 2 ? 2

(Ⅱ) 由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?
4

) ? 2 ? 6, sin(2 A ?

?
4

)?

2 2

?
2

, 所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

3? ? ? ? ,2 A ? ? , A ? 4 4 4 4
又b ? c ? 2 ? 3 2

? S ?ABC ?

1 2 bc sin A ? bc ? 3 ? bc ? 6 2 2 4

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ?

2 2 ? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10. 2 2

? a ? 10.
47. (2012 年湖北高考试题(文数) )设函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x? cos2 ? x? ? ( x ? R ) 的图象关

1 于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x) 的值域. 4
【答案】解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?
第 15 页,共 20 页

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1, 6
所以 2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3

1 5 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 2 6
所以 f ( x) 的最小正周期是

6π . 5

π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x) 的值域为 [?2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
48. (湖北省七市2013届高三4月联考数学(文)试题)已知向量

m =( 3 sin2x+2,cosx), n =(1,2cosx),设函

数f(x)= m · n . (I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 A= 3 ,b=f(
【答案】 解:(Ⅰ) f ( x) ? m? n ?
? ?

5? 3 ),Δ ABC 的面积为 ,求 a 的值 6 2

3 sin 2 x ? 2 ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3

2? ?? 2 ? ? ? ? ? 由 2 k ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k ? ? , k ? Z 2 6 2 3 6
∴ f ( x) 的最小正周期 T ? ∴ f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? 2sin(2 x ? ) ? 3 6

?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z )

(Ⅱ) b ? f (

5? 11? ?? ? ? ) ? 2sin ? 3 ? 2sin ? 2? ? ? ? 3 ? ?2sin ? 3 ? 2 6 6 6? 6 ?

1 3 S?ABC ? bc sin A ? ? c ?1 2 2
在 ?ABC 中,由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ?3 2

?a ? 3

第 16 页,共 20 页

49. (湖北省黄冈市 2013 届高三数学(文科)综合训练题 )已知函数

? 1 f ( x) ? 2 cos x ? sin( x ? ) ? . 6 2

(I)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (II)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 c ? 3 , 角 C 满足 f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2sin A , 求 a , b 的值.
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ,? f ( x) 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ? ? ;

(Ⅱ)由 f (C ) ? sin(2C ?

?

? 2C ?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

? ? ? 11? ) ? 1 ? 0 ,得 sin(2C ? ) ? 1 ,? 0 ? C ? ? ?? ? 2C ? ? , 6 6 6 6 6

, ? sin B ? 2sin A , 由 正 弦 定 理 得 b ? 2a ①, 又 由 余 弦 定 理 , 得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3 ②,联立①、②解得 a ? 1, b ? 2 .
2 2

50 . ( 2008 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 试 题 及 答 案 - 湖 北 卷 ) 已 知 函 数

x x x f ( x) ? sin cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2
(Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ? [0,2? )) 的形式,并指出 f ( x ) 的周期; (Ⅱ)求函数 f ( x )在[? ,

17? ] 上的最大值和最小值 12 1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 sinx+ ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin(x ? ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

【答案】解:(Ⅰ)f(x)=

故 f(x)的周期为 2kπ {k∈Z 且 k≠0}. (Ⅱ)由 π ≤x≤ 在[

17 5 ? 5 5? 2 ? 3 π ,得 ? ? x ? ? ? .因为 f(x)= ]上是减函数, sin(x ? ) ? 在[ ? , 4 4 3 4 12 2 4 2

5? 17? , ]上是增函数. 4 12 5? 17 3? 2 6? 6 时,f(x)有最小值;而 f(π )=-2,f( π )=<-2, 4 12 2 4

故当 x=

所以当 x=π 时,f(x)有最大值-2.
51. (2011 年全国高考文科数学试题及答案-湖北)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 (I) 求 ?ABC 的周长;
(II)求 cos(A?C ) 的值.
【答案】 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 , 同时考查基本运算能力 .

解:(Ⅰ)? c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

1 ?4 4

第 17 页,共 20 页

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)? cos C ?

1 1 15 ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16 ?? ? x x 2 x 52( .湖北省黄冈市 2013 届高三 3 月份质量检测数学 (文) 试题) 已知向量 m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos ) , 4 4 4 ?? ? ? 若 m ? n ? 1 ,求 cos( x ? ) 的值. 3 x x 2 x ? 1, 【答案】解:(Ⅰ)? m ? n ? 1 ,即 3 sin cos ? cos 4 4 4 ? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?


3 x 1 x 1 sin ? cos ? ? 1 , 2 2 2 2 2

x ? 1 ? sin( ? ) ? , 2 6 2 cos( x ?

?

x ? 1 ) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ) ? 3 2 6 2

53. (2009 年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷)

在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值.

【答案】(Ⅰ)解:由

3a ? 2c sin A 及正弦定理得,
3 2

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?

?
3
第 18 页,共 20 页

(Ⅱ)解法 1: Q c ?

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7    ②


由②变形得 (a ? b)2 ? 3ab ? 7 将①代入③得 (a ? b)2 ? 25 ,故 a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b 2 =13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

54 . ( 2007 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 试 卷 及 答 案 - 湖 北 卷 ) 已 知 函 数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?
(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
【答案】解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
第 19 页,共 20 页

∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
55 .( 湖 北 省 武 汉 市 2013 届 高 三 5 月 供 题 训 练 数 学 文 试 题 ( 二 )( word 版 )
2 f ( x) ? 6 c o s

)函数

?x
2

? 3s i n ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图

象与 x 轴的交点,且 Δ ABC 为正三角形. (I)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (II)若 f ( x 0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x 0 ?? ( ? , ) ,求 f(x0+1)的值. 3 3 5

【答案】

第 20 页,共 20 页


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