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【高中数学必修4学习课件】——人教A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

第二章 平面向量 2. 4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 预习篇 提高篇 课堂篇 巩固篇 课时作业 学习目标 1.知道平面向量数量积的物理意义,记住其含义. 2.会用向量数量积的公式解决相关问题. 3.记住数量积的几个重要性质. 重点难点 重点:数量积的含义及公式; 难点:数量积的重要性质. 预习篇01 新知导学 向量数量积的定义及几何意义 (1)已知两个 非零 向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做向量a与b的 数量积(或内积) |a||b|cosθ(θ为a,b的夹角). (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上) 的 投影. ,记作a· b,即a· b= (3)零向量与任一向量的数量积为 0 . (4)a· b的几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a方 向上的投影|b|cosθ的乘积. 1.向量的数量积与数乘向量的区别是什么? 答:向量的数量积a· b是一个实数,数乘向量λa仍是一 个向量. 2.a在b方向的投影和b在a方向的投影是否相同呢? a· b 答:不一定.a在b方向上的投影为|a|cosθ= ,b在a |b| a· b 方向上的投影为|b|cosθ= |a| .所以当|a|=|b|时,上述两个投 影相同;|a|≠|b|时,上述两个投影不同. 3.两非零向量的数量积的正负由谁决定?有几种情 况? 答:两非零向量的数量积由两向量的夹角θ决定. 当θ为锐角时,a· b>0,且a· b≠|a||b|;当θ为钝角时, a· b<0且a· b≠-|a||b|; 当θ=0° 时,a· b=|a||b|;当θ=180° 时,a· b=-|a||b|; 当θ=90° 时,a· b=0. 向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ,则: (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 4.对于向量a,b,c,等式(a· b)c=(b· c)a一定成立吗? 答:不一定成立.∵若(a· b)c≠0,其方向与c相同或相 反,而(b· c)a≠0时,其方向与a相同或相反,而a与c的方向 不一定相同,故该等式不一定成立. 5.向量的和差如何再进行数量积运算? 答:把性质(a+b)· c=a· c+b· c进行拓展,用向量c+d代 换c,即(a+b)· (c+d)=a· (c+d)+b· (c+d)=a· c+a· d+b· c+ b· d,所以向量的和差再进行数量积运算,和多项式的乘法 一样. 数量积的几个性质 设a,b为非零向量,则: (1)a⊥b?a· b=0. (2)a,b同向时,a· b=|a||b|;a,b反向时,a· b=- |a||b|. (3)|a|= |a|2= a2= a· a. (4)|a· b| ≤ |a||b|. 6.a· b=0时,a=0或b=0吗? 答:不一定,当a⊥b时,也有a· b=0. 1.详析平面向量的数量积 (1)a· b表示数量而不表示向量,符号由cosθ决定. (2)符号“· ”在数量积运算中既不能省略,也不能用 “×”代替. (3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角θ 的取值范围是:0° ≤θ≤180° . (4)投影也是一个数量,可正,可负,可为0;当θ为锐 角时,投影为正值;当θ为钝角时,投影为负值;当θ为直 角时,投影为0. (5)注意:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影,|a|cosθ叫 做向量a在b方向上的投影,应结合图形严格区分. 2.细解数量积的性质及应用 对于性质(1),主要涉及单位向量的运算,其意义是任 何一个向量与单位向量的数量积就是这个向量在单位向量 上的投影. 对于性质(2),可以用来解决有关垂直的问题,即若要 证明两个向量垂直,只需判定它们的数量积为0;若两个向 量的数量积为0,则它们互相垂直. 对于性质(3),给出了一个求向量模的方法,即一个向 量的模等于它与自身数量积的算术平方根. 对于性质(4),给出了求两个向量夹角的方法,体现了 向量与三角函数的联系. 对于性质(5),这是一个与不等式有关的性质,可以用 来证明不等式或用来求有关函数的最值. 课堂篇02 合作探究 向量数量积的运算及几何意义 【例1】 120° ,求: 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为 (1)a· b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)· (a+3b). 【解】 (1)a· b=|a||b|cos120° 1 =2×3×(-2)=-3. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)· (a+3b)=2a2+5a· b-3b2 =2|a|2+5|a||b|cos120° -3|b|2 =8-15-27=-34. 通法提炼 1.已知向量a,b的模及它们的夹角可求(x1a+x2b)· (x3a +x4b)的数量积,反之知道(x1a+x2b)· (x3a+x4b)的数量积及 a,b的模则可求a与b的夹角. 2.求较复杂的数量积运算时,可先利用向量数量积的 运算律或相关公式进行化简. 设非零向量a和b,它们的夹角为θ. (1)若|a|=5,|b|=4,θ=150° ,求a在b方向上的投影和 a与b的数量积; (2)若a· b=9,|a|=6,|b|=3,求b在a方向上的投影和a 与b的夹角θ. 解:(1)a在b方向上的投影为 5 3 |a|cosθ=5cos150° =- 2 , a· b=|a||b|cosθ=5×4×cos150° =-10 3. (2)b在a方向上的投影为 a· b 9 3 |b|cosθ= |a| =6=2. a· b 9 1 ∵cosθ=|a||b|= =2, 6×3 且0° ≤θ≤180° ,∴θ=60° .

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