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高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修23_图文

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 一、归纳推理和类比推理 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 类似 已知 部分 整体 个别 一般 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种 估计属于归纳推理.( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理.( ) 提示:(1)正确.它符合归纳推理的定义特征,即由部分对象具 有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征. (2)错误.因为类比推理的结论不一定正确.只有经过严格证明, 说明其正确性,才能进一步应用. (3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理. 答案:(1)√ (2)× (3)√ 二、合情推理 较 联想 归纳 类比 观察 分析 比 猜想 思考:合情推理的结论一定正确吗? 提示:不一定.合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理的 前提和结论之间的联系不是必然性的,而是偶然性的,结论不 一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,也不一定可靠,因此 也不一定正确.所以合情推理的结论不一定正确. 【知识点拨】 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论 是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围. (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还 需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证 明的工具. (3)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一定的事实资料, 有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推 理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发 现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段. 2.类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被 研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定 可靠. (2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、 向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的 问题及其研究方法. (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定 义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象 在某些方面的类似特征. 类型 一 数、式中的归纳推理 【典型例题】 1.(2012·江西高考)观察下列各式: a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 2.已知: f (x) ? x , 设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1, 1? x 且n∈N*),则f3(x)的表达式为_______,猜想fn(x)(n∈N*)的表 达式为_______. 【解题探究】1.分析1,3,4,7,11,…的特点是什么? 2.fn-1(fn-1(x))与f(fn-1(x))表达式相同吗? 探究提示: 1.观察可知,4=1+3,7=3+4,11=4+7,后一个式子的结果是前两 个式子结果的和(第一、二两个式子除外). 2.不相同,虽然括号内“fn-1(x)”一致,但对应法则不同, 前者为fn-1(x),后者为f(x). 【解析】1.选C.利用归纳法,a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4, a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29, a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为 从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 2.因为 f (x) ? x , 1? x 所以 f1 (x ) ? 1 x ? x . 又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x)), x 所以 f2 (x) ? f1 (f1 (x )) ? 1 1 ? ? x x ? x, 1? 2x 1? x x f 3 ( x ) ? f 2 (f 2 (x)) ? 1 ? 1 2 ? ? 2x x ? x, 1? 4x 1? 2x x f 4 (x ) ? f3 (f 3 ( x )) ? 1 ? 1 4 ? ? 4x x ? x, 1? 8x 1? 4x x f5 (x) ? f4 (f4 (x)) ? 1 ? 1? 8? 8x x ? x, 1 ? 16x 1? 8x 所以根据前几项可以猜想 f n ( x) ? 1 ? x 2n?1 x . 答案:f3 ( x ) ? 1 x ? 4x fn (x) ? 1 ? x 2n?1 x 【互动探究】题2中,若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为 “fn(x)=f(fn-1(x))”,其他条件不变,其结论fn(x)的表达式 如何呢? 【解析】因为f (x) ? x , 1? x 所以 f1 ( x ) ? 1 x ? x , 又因为fn(x)=f(fn-1(x)), x 所以 f 2 (x ) ? f (f1 (x)) ? 1 1 ? ? x x ? x, 1? 2x 1? x x f3 (x) ? f (f2 (x)) ? 1 1? ? 2x x ? x, 1? 3x 1? 2x x f 4 ( x ) ? f (f3 (x)) ? 1 1 ? ? 3x x ? x. 1? 4x 1? 3x 因此,可以猜想出 f