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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第9讲 曲线与方程教案 理 新人教版


第9讲
【2013 年高考会这样考】

曲线与方程

1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.利用直接法或定义法求轨迹方程. 3.结合平面向量知识能确定动点轨迹,并会研究轨迹的有关性质. 【复习指导】 正确理解曲线与方程的概念, 会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题, 用方程的观 点实现几何问题的代数化解决, 并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程, 常用 方法有:直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。

基础梳理 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解 建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线 叫做方程的曲线. 2.直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标. (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0. (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解,即两个曲 线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程组 无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交 点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

一个主题 通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研究,明确曲线的位置、形状以及性质 是解析几何需要完成的两大任务,是解析几何的核心问题,也是高考的热点之一.
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四个步骤 对于中点弦问题,常有的解题方法是点差法,其解题步骤为: ①设点:即设出弦的两端点坐标; ②代入:即代入圆锥曲线方程; ③作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开; ④整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解. 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数; (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的 轨迹方程; (4)代入转移法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而变化,并且 Q(x0,y0)又在 某已知曲线上,则可先用 x,y 的代数式表示 x0,y0,再将 x0,y0 代入已知曲线得要求的轨 迹方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考 虑将 x,y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 双基自测 1.f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系, ∵f(x0,y0)=0 可知点 P(x0,y0) 在曲线 f(x,y)=0 上,又 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上 时,有 f(x0,y0)=0, ∴f(x0,y0)=0 是 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件. 答案 C 2.(2012·泉州质检)方程 x +xy=x 的曲线是( A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线
2
2

).

).

解析 方程变为 x(x+y-1)=0, ∴x=0 或 x+y-1=0. 故方程表示直线 x=0 或直线 x+y-1=0. 答案 C 3.(2012·合肥月考)已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线 段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 解析 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0. 答案 D 4.(2012·福州模拟)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨 迹为( A.圆 C.双曲线 ). B.椭圆 D.抛物线 ).

解析 依题意, P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距离, 点 故点 P 的轨迹是抛物线. 答案 D 5.(2011·北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 2 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a . 2 其中,所有正确结论的序号是________. 解析 设 动 点 M(x , y) 到 两 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 积 等 于 a , 得 曲 线 C 的 方 程 为
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? x+1?

+y · ? x-1?

2

2

+y =a ,

2

2

∵a>1,故原点坐标不满足曲线 C 的方程,故①错误.以-x,-y 分别代替曲线 C 的方程 1 中的 x、 , y 其方程不变,故曲线 C 关于原点对称,即②正确.因为 S△F1PF2= |PF1||PF2|sin 2 1 1 2 1 2 ∠F1PF2≤ |PF1||PF2|= a ,即面积不大于 a ,所以③正确. 2 2 2 答案 ②③

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考向一 直接法求轨迹方程

【例 1】 已知⊙O 的方程是 x +y -2=0, O′的方程是 x +y -8x+10=0, ? ⊙ 如图所示. 由 动点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线长相等,求动点 P 的轨迹方程.

2

2

2

2

[审题视点] 由已知条件找出等量关系,直接写出 P 点坐标满足的等式化简即得轨迹方程. 解 设 P(x,y),由圆 O′的方程为(x-4) +y =6,及已知|AP|=|BP|,故|OP| -|AO| = |O′P| -|O′B| ,则|OP| -2=|O′P| -6. ∴x +y -2=(x-4) +y -6, 3 3 ∴x= ,故动点 P 的轨迹方程是 x= . 2 2 直接法求曲线方程的一般步骤: (1)建立恰当的坐标系,设动点坐标(x,y); (2)列出几何等量关系式; (3)用坐标条件变为方程 f(x,y)=0; (4)变方程为最简方程; (5)检验,就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性. 【训练 1】 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1,l2.若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.

解 设点 M 的坐标为(x,y), ∵M 是线段 AB 的中点, ∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y). → → ∴PA=(2x-2,-4),PB=(-2,2y-4). → → 由已知PA·PB=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即 x+2y-5=0.
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∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 考向二 定义法求轨迹方程 【例 2】? 一动圆与圆 x +y +6x+5=0 外切,同时与圆 x +y -6x-91=0 内切,求动圆圆 心 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线. [审题视点] 由曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程. 解 如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,将圆的 方程分别配方得:(x+3) +y =4, (x-3) +y =100,
2 2 2 2 2 2 2 2

当动圆与圆 O1 相外切时, 有|O1M|=R+2.① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R.② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0)、O2(3,0), 长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b =36-9=27, ∴圆心轨迹方程为 + =1,轨迹为椭圆. 36 27 在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据 曲线的方程,写出所求的轨迹方程,若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹,则利用 圆锥曲线的定义列出等式,化简求得方程,同时注意变量范围. 【训练 2】 已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2:(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B,根据两圆外切的充要条件, 得
2 2 2 2 2

x2

y2

|MC1|-|AC1|=|MA|,
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|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 到两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2,且小于|C1C2|=6. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大,到 C1 的距离小), 这里 a=1,c=3,则 b =8,设点 M 的坐标为(x,y),其轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 8 考向三 参数法、相关点法求轨迹方程 【例 3】? 已知抛物线 y =4px(p>0),O 为顶点,A,B 为抛物线上的两动点,且满足 OA⊥OB, 如果 OM⊥AB 于 M 点,求点 M 的轨迹方程. [审题视点] 设出 m 点的坐标(x,y)后,直接找 x,y 的关系式不好求,故寻求其他变量建立
2 2 2

y2

x,y 之间的联系.
解 设 M(x,y),直线 AB 方程为 y=kx+b. 由 OM⊥AB 得 k=- . 由 y =4px 及 y=kx+b 消去 y,得
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x y

b2 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0.所以 x1x2= 2. k
4pb 2 消去 x,得 ky -4py+4pb=0.所以 y1y2= .

k

由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2, 4pb b 所以 =- 2,b=-4kp.
2

k

k

故 y=kx+b=k(x-4p). 把 k=- 代入,得 x +y -4px=0(x≠0). 即 M 的轨迹方程为 x +y -4px=0(x≠0). 在一些很难找到形成曲线的动点 P(x,y)的坐标 x,y 所满足的关系式的情况下, 往往借助第三个变量 t,建立 t 和 x,t 和 y 的关系式 x=φ (t),y=x(t),再通过一些条件 消掉 t 就间接找到了 x 和 y 所满足的方程, 从而求出动点 P(x, )所形成的曲线的普通方程. y
2 2

x y

2

2

【训练 3】 如图所示,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N.求线 段 QN 的中点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x-x1,2y-y1).

2

2

6

∵点 N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2. ∴

y-y1 =1,即 x-y+y1-x1=0,② x-x1
1

?x =3x+1y-1, ? 2 2 由①、②联立,解得? 1 3 ?y =2x+2y-1. ?
1

又 Q 在双曲线 x -y =1 上, ∴x1-y1=1,
2 2

2

2

?3 1 ? 2 ?1 3 ?2 即? x+ y-1? -? x+ y-1? =1, ?2 2 ? ?2 2 ?
整理得 2x -2y -2x+2y-1=0, 这就是所求动点 P 的轨迹方程.
2 2

规范解答 18——如何解决求曲线的方程

【问题研究】 曲线与方程是解析几何的一条主线, 虽然高考对曲线与方程的要求不是很高, 但在高考中也经常会有一些试题是以建立曲线方程作为切入点命制的. 从近几年的高考试题 中可以发现,无论客观题还是主观题都有曲线与方程的命题点. 【解决方案】 首先,要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型,注意 参数法和交轨法的应用.其次,求出轨迹方程时要注意检验,多余的点要扣除,而遗漏的点 要补上,再次,要明确圆锥曲线的性质,选相应的解题策略和拟定具体的解题方法,如参数 的选取,相关点变化的规律及限制条件等. 【示例】? (本小题满分 12 分)(2011·天津)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>

x2 y2 0) 为动点,F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. a b
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足 A M ·B M =-2,求点 M





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的轨迹方程. 第(1)问设出焦点坐标,根据|PF2|=|F1F2|列出等式,解方程即可求得;第(2)问 → → 根据题意设出 A,B 两点坐标,代入关系式AM·BM=-2 即可求得点 M 的轨迹方程. 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). 由题意,可得|PF2|=|F1F2|, 即 ?

a-c?

2

+b =2c,

2

整理,得 2? ? + -1=0,

?c?2 c ?a? a

c c 1 得 =-1(舍),或 = . a a 2
1 所以 e= .(4 分) 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c , 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
2 2 2

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3? x-c? .
8 2 消去 y 并整理,得 5x -8cx=0,解得 x1=0,x2= c. 5 8 ?x =5c, ? ? 3 3 ?y = 5 c. ?
2 2

2

2

2

得方程组的解?

?x1=0, ?y1=- 3c,

(6 分)

?8 3 3 ? 不妨设 A? c, c?,B(0,- 3c). 5 ? ?5
3 3 ? → ? 8 设点 M 的坐标为(x,y),则 A M =?x- c,y- c?, 5 5 ? ?

→ B M =(x,y+ 3c).
由 y= 3(x-c),得 c=x- 于是 A M =? 3 y. 3 3 3 ? → x?,B M =(x, 3x).(8 分) 5 ?

→ ?8 3

? 15

y- x, y-

3 5

8 5

由 A M ·B M =-2, 即?





?8 3 3 ? ?8 3 3 ? y- x?·x+? y- x?· 3x=-2, 15 5 ? 5 ? ? ?5
2

化简得 18x -16 3xy-15=0.(10 分)
8

18x -15 3 10x +5 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0.所以 x>0. 3 16x 16 3 因此,点 M 的轨迹方程是 18x -16 3xy-15=0(x>0).(12 分) 代入法求曲线方程的难点是建立 x,y,x0,y0 所满足的两个关系式,这需要根据 问题的具体情况, 充分利用已知条件列出关系式, 一般需要找到两个互相独立的条件建立两 个方程,通过这两个方程所组成的方程组用 x,y 表达 x0,y0.
2

2

2

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