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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《函数的图像与性质》


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一、选择题 1.函数 y= A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1 或 1<x<2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2} 2-x 的定义域是( lgx

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮《函数的图像与性质》

)

?2-x≥0, ? 解析:要使函数有意义只需要 ?x>0, ?lgx≠0, ?
解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 答案:D
?-x,x≤0, ? 2.(2011· 浙江高考)设函数 f(x)=? 2 若 f(a)=4,则实数 a=( ? ?x ,x>0.

)

A.-4 或-2 C.-2 或 4
2

B.-4 或 2 D.-2 或 2

解析:当 a>0 时,有 a =4,∴a=2;当 a≤0 时,有-a=4,∴a=-4.因此 a=-4 或 a=2. 答案:B 3.(2011· 陕西高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图像 可能是( )

解析:代数表达式“f(x)=f(-x)” ,说明函数是偶函数,代数表达式“f(x+2)=f(x)” , 说明函数的周期是 2,再结合选项图像不难看出正确选项为 B. 答案:B 4.(2011· 济南模拟)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区 间(-2,1]上的图像,则 f(2 011)+f(2 012)=( )

A.3 C.1
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B.2 D.0

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解析:由于 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,所以 f(2 011)+f(2 012)=f(670×3+1)+f(671×3-1)=f(1)+f(-1), 而 由图像可知 f(1)=1,f(-1)=2,所以 f(2 011)+f(2 012)=1+2= 3. 答案:A f?x?+f?-x? 5.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 >0 的解集 x 为( ) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:∵f(x)为偶函数,∴

f?x?+f?-x? 2f?x? = >0, x x

?x>0, ?x<0, ? ? ∴xf(x)>0.∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,故 ? ? ?f?x?<0. ?f?x?>0,

x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2). 答案:B 6. (2011· 皖南八校联考)已知函数 f(x)=log2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 解析:注意到函数 f(x)=log2x+ 1 , x1∈(1,2),2∈(2, 若 x +∞), 则( 1-x )

B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 1 在(1,+∞)上是增函数,且 f(2)=0,所以当 x1∈ 1-x

(1,2)时,有 f(x1)<f(2)=0,当 x2∈(2,+∞)时,有 f(x2)>f(2)=0. 答案:B 二、填空题 7.(2011· 浙江高考)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-| -1+a|.∴a=0. 答案:0
? ?2x+a,x<1, 8.(2011· 江苏高考)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), ? ?-x-2a,x≥1.

则 a 的值为________. 解析:①当 1-a<1,即 a>0 时,此时 a+1>1,由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1-a)+a 3 =-(1+a)-2a,计算得 a=- (舍去);②当 1-a>1,即 a<0 时,此时 a+1<1,由 f(1 2

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3 -a)=f(1+a),得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a,计算得 a=- ,符合题意,所以综上所述, 4 3 a=- . 4 3 答案:- 4 9.(2011· 潍坊模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①函数 y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称; 3 3 ②对?x∈R,f( -x)=f( +x)成立; 4 4
[ :]

3 3 ③当 x∈(- ,- ]时,f(x)=log2(-3x+1). 2 4 则 f(2 011)=________. 3 3 解析:依题意得,函数 f(x)的图像关于原点对称,即函数 f(x)是奇函数;f( +x)=f( - 4 4 3 3 3 x)=-f(x- ), f(x+ )=-f(x), 即 f(x+3)=-f(x+ )=f(x), 函数 f(x)是以 3 为周期的函数, 4 2 2 又 2 011=3×670+1,因此 f(2 011)=f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2. 答案:-2 三、解答题
? 2 ?x +bx+c 10.设函数 f(x)=? ?2 ?x>0? ?

?x≤0?,

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于 x 的

方程 f(x)=x 的解的个数. 解:法一:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2.
?16-4b+c=c, ? 可得? ∴b=4,c=2, ? ?4-2b+c=-2, ? 2 ?x +4x+2 ∴f(x)=? ? ?2 ?x>0?.

?x≤0?,

? ?x>0, ∴方程 f(x)=x 等价于? ?x=f?x?=2, ? ?x≤0, ?x≤0, ? ? 或? 2 即 x=2,或? 2 ? ? ?x +4x+2=x. ?x +3x+2=0.

∴x=2,或 x=-1,或 x=-2,即 f(x)=x 有 3 个解. 法二:由 f (-4)=f(0),f(-2)=-2, 可得 b=4,c=2.
? 2 ?x +4x+2 ?x≤0?, ∴f(x)=? ?2 ?x>0?, ? 第 3 页 共 5 页
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图像如图所示.

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方程 f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图像的交点个数.由图知两图像有 A、B、C 三 个交点,故方程有 3 个解. 1 11.已知函数 f(x)的图像与函数 h(x)=x+x+2 的图像关于点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)的图像与 h(x)的图像关于 A(0,1)对称,设 f(x)图像上任意一点坐标为 B(x, y),其关于 A(0,1)的对称点 B′(x′,y′),

?x′+x=0, 2 则? y+y′ ? 2 =1,

? ?x′=-x, ∴? ?y′=2-y. ?

∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+ 1 ∴2-y=-x-x+2. 1 1 ∴y=x+x.即 f(x)=x+x. (2)g(x)=x2+ax+1,

1 +2. x′

a ∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴- ≥2.即 a≤-4. 2 ∴a 的取值范围为(-∞,-4].
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12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图像是 顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域. 解: (1)设顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入 可得 a=-2, ∴y=-2(x-3)2+4,即 y=-2x2+12x-14. 设 x<-2,则-x>2. 又 f(x)为偶函数, f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.
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(2)函数 f(x)的图像如图所示.

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(3)函数 f(x)的值域为(-∞,4].

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