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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《点、直线、平面之间的位置关系》


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一、选择题

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮《点、直线、平面之间的位置关系》专题训练

1.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足 β∩γ=l,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有( A.m∥β,且 l⊥m C.α∥β,且 l⊥m B.α∥β,且 α⊥γ D.α⊥γ,且 l⊥m

)

解析:因为 m?α,m⊥γ,所以根据面面垂直的判定定理,得 α⊥γ,由 β∩γ=l,得 l ?γ,所以 l⊥m. 答案:D 2.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 α∥β,m?α,则 m∥β;②若 m∥α,n?α,则 m∥n;③若 α⊥β,m∥α,则 m ⊥β;④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中为真命题的是 ( A.①③ C.①④ ) B.②③ D.②④

解析:①为空间面面平行的性质,是真命题;②m,n 可能异面,故该命题为假命题; ③直线 m 与平面 β 也可以平行,故该命题是一个假命题;④为真命题. 答案:C 3.(2011· 北京海淀模拟)已知平面 α∩β=l,m 是 α 内不同于 l 的直线,那么下列命题中 错误的是( ) B.若 m∥l,则 m∥β D.若 m⊥l,则 m⊥β

A.若 m∥β,则 m∥l C.若 m⊥β,则 m⊥l

解析:对于 A,由定理“若一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与已知平 面相交,那么这条直线平行于交线”可知,A 正确.对于 B,由定理“若平面外一条直线与 平面内一条直线平行,那么这条直线平行于这个平面”可知,B 正确.对于 C,由定理“一 条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线”可知,C 正确.对 于 D,若一条直线与一个平面内的一条直线垂直,这条直线未必垂直于这个平面,因此 D 不正确. 答案:D 4.(2010· 重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( A.只有 1 个 C.恰有 4 个 B.恰有 3 个 D.有无穷多个 )

解析:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB、CC1 所在直线为互相垂直的相异直线,E、 F 分别为 A1D1、BC 的中点,EF 所在直线上的所有点到直线 AB、CC1 的距离均相等,故选 D.
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答案:D

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5.如图是一个几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F 分别 为 PA、PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面;②直线 BE 与直线 AF 异面;③直线 EF ∥平面 PBC;④该几何体为正四棱锥. 其中正确的有:( A.②③ C.②④ ) B.①② D.①④

解析: 将展开图还原为四棱锥, 可知 BE 与 CF 相交, 与 AF 异面, BE EF 和平面 PBC 平行.又易知该几何体不一定为正四棱锥.所以,正确的 结论为②和③. 答案:A 6.(2011· 北京西城模拟)如图,四边形 ABCD 中, AB=AD=CD =1, BD= 2, BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′ -BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为 3 解析:取 BD 的中点 O, ∵A′B=A′D, ∴A′O⊥BD,又平面 A′BD⊥平面 BCD. ∴A′O⊥平面 BCD. ∵CD⊥BD,∴OC 不垂直于 BD,假设 A′C⊥BD. ∵OC 为 A′C 在平面 BCD 内的射影, ∴OC⊥BD,矛盾.
[:]

)

∴A′C 不垂直于 BD,A 错误; ∵CD⊥BD,平面 A′BD⊥平面 BCD, ∴CD⊥平面 A′BD,A′C 在平面 A′BD 内的射影为 A′D. ∵A′B=A′D=1,BD= 2,
[ :]

∴A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B 正确; 1 ∠CA′D 为直线 CA′与平面 A′BD 所成的角,∠CA′D=45° 错误;VA′-BCD= ,C 3

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1 S△A′BD· CD= ,D 错误. 6 答案:B 二、填空题

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7.(2011· 福建高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度 等于________. 解析:因为直线 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,且平面 AB1C ∩平面 ABCD=AC,所以 EF∥AC,又因为在 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点,由 1 中位线定理可得: EF= AC, 又因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, 所以 AC=2 2, 2 所以 EF= 2. 答案: 2

8.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的结论是 ________.(把你认为正确的结论都填上) ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③过点 A1 与异面直线 AD 和 CB1 成 90° 角的直线有 2 条. 答案:①② 9.(2011· 合肥模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC,AE ⊥DC,BE∥AD.M、N 分别是 AD、BE 上的点,且 AM=BN,将三 角形 ADE 沿 AE 折起.下列说法正确的是________(填上所有正确说 法的序号). ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥平面 DEC; ②不论 D 折至何位置都有 MN⊥AE; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥AB; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 EC⊥AD. 解析:连接 MN 交 AE 于点 P,则 MP∥DE,NP∥AB, ∵AB∥CD,∴NP∥CD. 对于①,由题意可得平面 MNP∥平面 DEC, ∴MN∥平面 DEC,故①正确; 对于②,∵AE⊥MP,AE⊥NP,MP∩NP=P, ∴AE⊥平面 MNP.∴AE⊥MN,故②正确; 对于③,∵NP∥AB,
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∴不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都不可能有 MN∥AB,故③不正确; 对于④,由题意知 EC⊥AE,故在折起的过程中,当 EC⊥DE 时,EC⊥平面 ADE, ∴EC⊥AD,故④正确. 答案:①②④ 三、解答题 10.(2011· 青岛模拟)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DA =DC=2,DD1= 3,E 是 C1D1 的中点,F 是 CE 的中点. (1)求证:EA∥平面 BDF; (2)求证:平面 BDF⊥平面 BCE; (3)求二面角 D-EB-C 的正切值. 解:(1)证明:连接 AC 交 BD 于 O 点,连接 OF,可得 OF 是△ACE 的中位线,OF∥ AE. 又 AE?平面 BDF,OF?平面 BDF, 所以 EA∥平面 BDF. (2)证明:计算可得 DE=2,又 DC=2,F 为 CE 的中点, 所以 DF⊥CE, 又 BC⊥平面 CDD1C1, 所以 DF⊥BC, 又 BC∩CE=C, 所以 DF⊥平面 BCE, 而 DF?平面 BDF,所以平面 BDF⊥平面 BCE.

(3)由(2)知 DF⊥平面 BCE, 过 F 作 FG⊥BE 于 G 点,连接 DG, 则 DG 在平面 BCE 中的射影为 FG,从而 DG⊥BE, 所以∠DGF 即为二面角 D-EB-C 的平面角, 设其大小为 θ,计算得 DF= 3,FG= DF tanθ=FG= 6, 故二面角 D-EB-C 的正切值为 6. 11.(2011· 江苏高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD, ∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
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2 , 2

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证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正 三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 12.(2011· 新课标全国卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 解:(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E.
[ :]

已知 PD⊥底面 ABCD,故 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD,又 BC∥AD,所以 BC⊥BD.故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC. 由 PD=AD=1 知 BD= 3,PB=2. 由 DE· PB=PD· BD,得 DE= 即棱锥 D-PBC 的高为 3 . 2 3 . 2

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