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辽宁省五校协作体2013届高三第二次模拟考试文数


辽宁省五校协作体 2013 届高三第二次模拟考试 数学文
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1. ( 文 ) 已 知 全 集 U = R , M ? {x | x ? 0 或 x ? 2} , N ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , 则
2

?N ( M ? N ) ? (
A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2}
x ?1

) B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | x ? 2} ) D. (2,-1)

2.函数 y ? 2a (0 ? a ? 1 的图象一定过点( ) A. (1,1) B. (1,2) C. (2,0)

3.(文)曲线 y ? 3ln x ? x ? 2 在点 P0 处的切线方程为 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P0 的坐标是( ) A.

(0,1)

B.

(1, ?1)

C.

(1,3)

D.

(1, 0)


4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.

y ? sin( x ? ) 6

?

B.

y ? 2x

C.

y?x

D.

y ? ?x3

5.有下列说法: (1)“ p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; (2)“ p ? q ”为假是 “ p ? q ”为真的充分不必要条件; (3)“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件; (4) “ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,设 A ? 60? , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B ? ( ) A. 7. A.
45? 或 135?

B.

1350

C.

45?

D.

以上都不对

1 ? 2sin(? ? ? ) sin(
sin ? -cos ?
2

3? ?? ? ? ? ) ? ( )其中 ? ? ? , ? ? 2 ?2 ?
B. cos ? -sin ? C. ±(sin ? -cos ? ) D. sin ? +cos ?

8.设映射 f : x ? ? x ? 2 x ? 1 是集合 A ? ? x | x ? 2? 到集合 B ? R 的映射。若对于实数 p ? B ,

在 A 中不存在对应的元素,则实数 p 的取值范围是( A. ?1,?? ? B.

) D.

? ?1, ?? ?

C.

? ??, ?1?
?
?

? ??, ?1?

9.(文)函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数( ) A. [ ?

? ?

? 3? , ] B. [ , ] 4 4 4 4

C.

[0, ] 2

D.

[ ,? ] 2

10.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x 2 ? mx ? (2m ? 1) 的两个零点分别在区间 (?1, 0) 和区间 (1, 2) 内,则 实数 m 的取值范围是 A. ? ( B. ? , ? 4 2 )

?1 1? , ? ?4 2?

?1 1? ? ?

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 4?

D. ? ?

? 1 1? , ? ? 4 2?

11.定义行列式运算:

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 .

若将函数 f ( x) ?

-sinx cos x 1 - 3

的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位后, 所得图象对应的函数为奇函

数,则 m 的最小值是( ) A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D. ?

5 6

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 [0, ??) 上为增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式

1 3

f (log 1 x ) ? 0 的解集为( )
8

A.

1 ( , 2) 2

B.

(2, ??)

C.

1 (0, ) ? (2, ??) 2

D.

1 ( ,1) ? (2, ??) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.函数 y ?

log 1 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为
3



14.(文)函数 f ( x) ? ? 15.给出下列命题:

? f ( x ? 2),  x ? 2
?x ?2 ,    x ? 2

,则 f (?3) 的值为

① 存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

3 ; 2

② 若 ? 、 ? 是第一象限角,且 ? > ? ,则 cos ? <cos ? ; ③ 函数 y ? sin( x ?

2 3

?
2

) 是偶函数;

④ A、B、C 为锐角 ?ABC 的三个内角,则 sin A ? cos B 其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 16.(文)已知 sin x ?

? 3? ? m?3 4 ? 2m ,且 x ? ? , 2? ? ,则 tan x ? , cos x ? m?5 m?5 ? 2 ?

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,设内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 向量 m ? (cos A,sin A) , 向量 n ? ( 2 ? sin A, cos A) ,若 m ? n ? 2 (1)求角 A 的大小 ; (2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

??

?

?? ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题 12 分)鑫隆房地产公司用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的平均建筑费用 为 560 ? 48x(单位: .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 元) 该楼房应建为多少层? (注: 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
购地总费用 ) 建筑总面积

20(.本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?2sin x cos x ? 2 cos x ? 1
2

(1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在(0, ? )内有两个零点 x1、x2 ,求 x1 ? x2 的值; (2)若把函数 y ? f ( x) 的图像向左移动 m (m ? 0) 个单位,再向下平移 2 个单位, 使所得函数的图 象关于 y 轴对称,求 m 的最小值。

22.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 . (1)已知函数 h(x)=g(x)+ax 的一个极值点为 1,求 a 的取值; (2) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (3)对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.
3

文科数学答案:

10.A

11.C

12.C

13. ? ? ,? ? ? , 0 1?

? 1 ? 4

? ?

?3 ? ?4 ?

14.(文)

1 8

15. ③④

16.(文) ?

3 4

2 18.解析: (1) m ? n ? (cos A ? 2 ? sin A) 2 ? (sin A ? cos A)

?? ? 2

? 4 ? 2 2(cos A ? sin A) ? 4 ? 4 cos(
? 4 ? 4 cos(

? ? A) 4

??????3 分

?
4

? A) ? 4, cos( ?

?
4

? A) ? 0

? A ? (0, ? ) , ?

?
4

? A?

?
2

,? A ?

?
4

??????6 分

(2) 由余弦定理知: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 即 a 2 ? (4 2) 2 ? ( 2a ) 2 ? 2 ? 4 2 ? 2a cos

?
4

,解得 a ? 4 2,? c ? 8 ????10 分

1 2 ? S ?ABC ? ? 4 2 ? 8 ? ? 16 ????????12 分 2 2

20.解析:(1) 由题设 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? ∵ f ( x) ? 1 ? 0 ,∴ 2 cos(2 x ? ∴ cos(2 x ? 由 2x ?

?
4

2 cos(2 x ? ) ? 2 ?2 分 4

?

) ? 2 ?1,

?
4

)??

2 ,?????????????????????3 分 2

?

3 ? 5 ? 2 k? ? ? 或 2 x ? ? 2 k? ? ? , k ? Z 4 4 4 4

得 x ? k? ?

?

4

或 x ? k? ?

?

2

,????????????????????5 分

∵ x ? (0, ? ) ,∴ x1 ?

?

4 2 3 ∴ x1 ? x2 ? ? ??????????????????6 分 4
(2) 由题意 g ( x) ?

, x2 ?

?

2 cos(2 x ?

?

4

? 2m) .????????????????8 分

∵ y ? g ( x ) 图象关于 y 轴对称,则函数 g ( x) 为偶函数,需使 ∴ 2m ? ∴m ?

?
4

? k? , k ? Z ,????????????????10 分

k? ? ? ,k ?Z , 2 8

∵ m ? 0 ,∴当 k ? 1 时, m 取最小值为

3? ???????????????12 分 8

22.解析: ( 1 ) h?( x) ? ?2 x ? a ? 3ax , 因 为 1 为 极 值 点 , 则 满 足 h?(1) ? ?2 ? a ? 3a ? 0 , 所 以
2

a?

1 .??????4 分 2
1 e

(2) f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ??????6 分 ① 0?t ?t?2? ② 0?t ? ③

1 e

1 ,t 无解; e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e

1 1 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x) min ? f (t ) ? t ln t ; e e
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? . ?? ?t ln t,t ? 1 ? e ?

所以 f ( x) min

??????8 分

(3) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? 则 h '( x) ?

3 3 ,设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,???10 分 x x

( x ? 3)( x ? 1) , x2

x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x) ? h(1) ? 4 ,
因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x) min ? 4 ; ????12 分

【压轴解剖】本题重点考查基本的数学思维和思想方法,第一问考查了导数法求解函数极值的基 本方法,第二问考查单调性和分类讨论的思想,第三问考查了应用导数法考查函数的恒成立问题, 其实质上是导数法求解函数最值的应用 ,要注意当已知哪个变量的范围时,我们常常转化为求解 关于该变量函数的最值.


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