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2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件: 第3章 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数
[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

(对应学生用书第 57 页)

[基础知识填充]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;

(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; tan α ± tan β
(3)tan(α±β)=1 ? tan αtan β.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α=2sin αcos α;

(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;

2tan α (3)tan 2α=1-tan2α.

3.有关公式的变形、逆用

(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);

1+cos 2α

1-cos 2α

sin 2α

(2)cos2α= 2 ,sin2α= 2 ,sin αcos α= 2 ;

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,

( )π

α±

sin α±cos α= 2sin

4.

[知识拓展]

1.辅助角公式

( )b

其中tan φ=

asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)

a.

6- 2

6+ 2

2.sin 15°= 4 ,cos 15°= 4 ,tan 15°=2- 3.

α sin α 1-cos α 3.tan 2 =1+cos α= sin α .

2tan α

1-tan2α

4.sin 2α=1+tan2α,cos 2α=1+tan2α.

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.(  )

(2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.(  )

tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)=1-tan αtan β可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)

(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立.(  )

(4)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.(  )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(  )

3 A.- 2   
1 C.-2

3 B. 2
1 D.2

D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°

1

=sin(20°+10°)=sin 30°=2,故选 D.]

4

3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α-cos α=3,则 sin 2α=(  )

7

2

A.-9

B.-9

2

7

C.9

D.9

4

A [∵sin α-cos α=3,

16

∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α= 9 ,

7

∴sin 2α=-9.故选 A.]

4.函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________.

( )π
x+ -2 [函数 f(x)=2sin 6 的最小值是-2.] 5.若锐角 α,β 满足 tan α+tan β= 3- 3tan αtan β,则 α+β=________.

π

tan α+tan β

3  [由已知可得1-tan αtan β= 3,即 tan(α+β)= 3.又 α+β∈(0,π),

π

所以 α+β= 3 .]

(对应学生用书第 58 页)

三角公式的基本应用

2  (1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若 cos θ=3,θ 为第四象限角,则

( )π

θ+

cos

4 的值为(  )

2+ 10

2 2+ 10

A. 6   

B. 6

2- 10

2 2- 10

C. 6

D. 6

(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角 α,β 满足 sin

4

2

α=5,tan(α-β)=3,则 tan β=________.

6

2

5

(1)B (2)17 [(1)因为 cos θ=3,θ 为第四象限角,则 sin θ=- 3 ,故 cos

( ) ( ) π 2

2

2 2 5 2 2+ 10

θ+



4 = 2 cos θ- 2 sin θ= 2 × 3 3 = 6 ,故选 B.

4

3

(2)因为锐角 α 满足 sin α=5,所以 cos α= 1-sin2α=5,则 tan α=

42 - 33

sin α 4

tan α-tan(α-β)

86

1+

cos α=3,tan β=tan[α-(α-β)]=1+tan αtan(α-β)= 9=17.]

[规律方法] 三角函数公式的应用策略

?1?使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.

?2?使用公式求值,应先求出相关角的三角函数值,再代入公式求值.

( ) ( ) π

5



,π

-2α

[跟踪训练] 已知 α∈ 2

,sin α= 5 ,则 cos 6

的值为________.

【导学号:79140121】

( ) 4+3 3

π

5

,π

- 10  [因为 α∈ 2 ,sin α= 5 ,

25 所以 cos α=- 1-sin2α=- 5 .

( ) 5 2 5 4 - sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × 5 =-5,

( )5 2 3
cos 2α=1-2sin2α=1-2× 5 =5,

( ) 5π





-2α

所以 cos 6

=cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α

( ) ( ) 3 3 1 4





= 2 ×5+2× 5

4+3 3

=- 10 .]

三角公式的逆用与变形应用

sin 110°sin 20°  (1)计算cos2155°-sin2155°的值为(  )

1 A.-2

1 B.2

3

3

C. 2

D.- 2

( )π

14

0,

(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知 θ∈ 4 ,且 sin θ-cos θ=- 4 ,

2cos2θ-1
( ) π
cos +θ 则 4 =(  )

2 A.3

4 B.3

3 C.4

3 D.2

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° (1)B (2)D [(1)cos2155°-sin2155°= cos 310°

1

sin 40°

cos 20°sin 20° 2

1

= cos 50° = sin 40° =2.

14

(2)由 sin θ-cos θ=- 4 ,

( ) ( ) π

7

π

-θ

0,

得 sin 4

= 4 ,∵θ∈ 4 ,

( ) π

π

π

3

-θ

∴0< 4 -θ< 4 ,∴cos 4

=4.

2cos2θ-1 cos 2θ

( ) ( ) π

π

cos +θ sin -θ

∴4

=4

( ) [ ( )] π

π

sin -2θ sin 2 -θ

2

4

( ) ( ) π

π

sin -θ sin -θ

=4



4

( ) π

3

-θ

=2cos 4

=2.]

[规律方法] 1.三角函数公式的活用方法

?1?逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.

?2?tan αtan β,tan α+tan β?或 tan α-tan β?,tan?α+β??或

tan?α-β??三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.

2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题

?1?公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.

13 ?2?注意特殊角的应用,当式子中出现2,1,2 , 3等这些数值时,一定要考虑引入特殊

角,把“值变角”构造适合公式的形式.

cos 15°-sin 15° [跟踪训练] (1)cos 15°+sin 15°=________.

( ) ( ) π

43



α-

α+

(2)已知 cos

6 +sin α= 5 ,则 sin

6 的值是________.

3

4

1-tan 15°

(1) 3  (2)-5 [法一:原式=1+tan 15°

tan 45°-tan 15°

3

=1+tan 45°tan 15°=tan 30°= 3 .

2(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)

法二:原式= 2(sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°)

1 2

sin 30° 3 3

=sin 60°= 2 = 3 .

( ) cos 15°-sin 15° 1-sin 30° 1
法三:∵ cos 15°+sin 15° 2=1+sin 30°=3.

cos 15°-sin 15°

又cos 15°+sin 15°>0,

cos 15°-sin 15° 3

∴cos 15°+sin 15°= 3 .

( )π

43

3

1

43

α-

(2)由 cos

6 +sin α= 5 ,可得 2 cos α+2sin α+sin α= 5 ,即

( ) ( ) 3

3

43

π 43

π4

α+

α+

2sin α+ 2 cos α= 5 ,所以 3sin 6 = 5 ,sin 6 =5,

( ) ( ) 7π

π4

α+

α+

所以 sin

6 =-sin 6 =-5.]

角的变换

5

10

 (1)(2017·深圳一模)若 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α-β)= 10 ,

则 cos β=(  )

2 A. 2   

2 B.10

22 C. 2 或-10

22 D. 2 或10

( ) ( ) π

1



-α

+2α

(2)(2018·海口调研)若 cos 8 =5,则 cos 4

的值为(  )

23

23

A.25    B.-25

7

7

C.8    D.-8

5

10

(1)A (2)A [(1)因为 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α-β)= 10 ,所以

25

3 10

sin

α= 5 ,cos(α-β)= 10 ,从而 cos

β=cos[α-(α-β)]=cos

2 αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= 2 ,故选 A.

( ) π

1

-α

(2)因为 cos 8 =5,则

( ) [ ( )] ( ) ( ) 3π

π

π

π

23

+2α

π- -2α

-2α

-α

cos 4

=cos

4

=-cos 4

=1-2cos2 8

=25,故

选 A.]

[规律方法] 利用角的变换求三角函数值的策略

?1?当“已知角”有两个时:一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式.

?2?当“已知角”有一个时:此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然

后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

( ) ( ) π 1

π

α-

β+

[跟踪训练] (1)已知 tan(α+β)=1,tan 3 =3,则 tan

3 的值为(  )

【导学号:79140122】

2

1

A.3    B.2

3

4

C.4    D.5

( )π 1

α-

(2)(2017·山西太原五中 4 月模拟)已知角 α 为锐角,若 sin

6 =3,则 cos

( )π
α- 3 =(  )

2 6+1 A. 6

3- 2 B. 8

3+ 2 C. 8

2 3-1 D. 6

( ) [ ( )] π

π

β+

(α+β)- α-

(1)B (2)A [(1)tan 3 =tan

3=

( )π
tan(α+β)-tan α- 3

1 1-
3

( )π

11

1+tan(α+β)tan α- 1+1 ×

3=

3=2.

( ) ( ) ( ) π 1

π 22

π

α-

α-

α-

(2)由于角 α 是锐角,且 sin 6 =3,则 cos 6 = 3 ,则 cos 3 =cos

[( ) ] ( ) ( ) π π

ππ

π π 2 2 3 1 1 2 6+1

α- -

α-

α-

6 6 =cos

6 cos 6 +sin

6 sin 6 = 3 × 2 +3×2= 6 ,故

选 A.]