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2012年 高考数学 《圆锥曲线与方程》 经典教案之抛物线


选修 1-1

2012 年 高考数学 《圆锥曲线与方程》 经典教案之抛物线 圆锥曲线与方程》 经典教案之抛物线
重难点:建立并掌握抛物线的标准方程,能根据已知条件求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简 单几何性质,能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题.

经典例题:如图,

直线 y=

1 1 x 与抛物线 y= x2-4 交于 A、B 2 8

两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的 动点时, 求 ?OPQ 面积的最大值.

当堂练习:
1.抛物线 y = 2x 2 的焦点坐标是 A. (1,0) B. ( 1
4 ,0 )

( C. (0, )
1 8



D. ( 0 , 1 )
4

轴上, 2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P(m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物线方程 已知抛物线的顶点在原点, 物线的顶点在原点 为( ) A. x 2 = 8 y B. x 2 = 4 y C. x 2 = ? 4 y D. x 2 = ?8 y 3.抛物线 y 2 = 12 x 截直线 y = 2 x + 1 所得弦长等于 A. 15 B. 2 15 C. 15
2

( D.15 (



4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点( 2,3),
4 9 A. x 2 = ? y 或 y 2 = x 3 2
4 C. x 2 = y 3



4 9 B. y 2 = ? x 或 x 2 = y 2 3
9 D. y 2 = ? x 2

5.点 P (1,0) 到曲线 ? x = t 2 (其中参数 t ∈ R )上的点的最短距离为 (
? ? y = 2t



A .0

B.1

C. 2

D .2

三点, 是它的焦点, 6.抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF , BF , CF 成等 差数列, 差数列,则 A. x1 , x 2 , x3 成等差数列 C. y1 , y 2 , y 3 成等差数列 ( B. x1 , x3 , x 2 成等差数列 D. y1 , y 3 , y 2 成等差数列 )

1

的坐标为( 的焦点, 是抛物线上的一动点, 7.若点 A 的坐标为(3,2) F 为抛物线 y 2 = 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PA + , 得最小值时点 P 的坐标是 (0 A. 0,0) ( (1 B. 1,1) ( (2 C. 2,2) ( ( )
1 D. ( ,1) 2

PF



8.已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则关系式 y 1 y 2 的值一定等于 ( ) x1 x 2 A.4p B.-4p C .p 2 D.-p 过抛物线 y = ax 2 (a > 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, 两点, Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p, q , 9. 则1 +1
p q

( B. 1
2a


a

A. 2 a

C. 4 a

D. 4

10. (p>0)的动弦 的动弦, >2p), 10.若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是 ( )
1 A. a 2 1 B. p 2

C. 1 a + 1 p
2
2

D. 1 a - 1 p
2

2

11. 11.抛物线 y 2 = x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为

______________. ______________. ___________. ___________.

12. 的准线相切 线相切, 12.已知圆 x 2 + y 2 ? 6 x ? 7 = 0 ,与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的准线相切,则 p =

2 13. 没有交点, 13.如果过两点 A(a, 0) 和 B (0, a ) 的直线与抛物线 y = x ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数 a 的取值 . 范围是

14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; 14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; 轴上; 轴上; (1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上; (4 (3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; 4)抛物线的通径的长为 5; ( 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为( 向过焦点的某条直线作垂线, (5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 2 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______. 其中适合抛物线 y =10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______. ,B ,C (好题)15.已知点 A(2,8) B(x1,y1) C(x2,y2)在抛物线 y 2 = 2 px 上,△ABC 的重心与此 好题) , , 重合(如图) 抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; 的坐标; 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; 所在直线的方程. (3)求 BC 所在直线的方程.

2

16. 对称的相异两点, 取值范围. 16.已知抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围.

17. 过点(0,-1) (0,-1)作直线 两点, AF、 17.抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为邻边作 FARB, 的轨迹方程. 平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.

18. 18.已知抛物线 C: y = x 2 + 4 x + 法线. 法线.

7 ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的 2 1 的坐标( ,求点 M 的坐标(x0,y0) ; 2

(1)若 C 在点 M 的法线的斜率为 ?

设 (-2 a 为 对称轴上的一点, (2) P(-2, ) C 对称轴上的一点, C 上是否存在点, 在 上是否存在点, 使得 C 在该点的法线通过点 P? 若有,求出这些点, 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由. 若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

3

抛物线 参考答案
经典例题:
1 x x = ?4 x =8 2 【解】(1) 解方程组 得 1 或 2 1 y1 = ? 2 y2 = 4 y = x2 ? 4 8 y=

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== y-1=

1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 2

1 (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5). 2 1 2 (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x -4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 8
d=
x+ 1 2 x ?4 8 = 1 x 2 + 8 x ? 32 , OQ = 5 2 ,∴S?OPQ= 1 OQ d = 5 x 2 + 8 x ? 32 . 2 16 8 2 2

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, ?OPQ 的面积取到最大值 30. 当堂练习: 1.C; 2.D; 3.A; 4.B; 5.B; 6.A; 7.C; 8.B; 9.C; 10.D; 11. ( ,±
1 8 2 ) ; 12. 2; 13. (?∞, ? 13 ) ;14. (2) 5) , ; ( 4 4

15.[解析]: (1)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 = 2 px 上,有 8 2 = 2 p ? 2 , 解得 p=16. 所以抛物线方程为 y 2 = 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0). (2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的 AF 定比分点,且 = 2 ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ,则 FM
2 + 2x0 8 + 2 y0 = 8, = 0 ,解得 x0 = 11, y 0 = ?4 , 1+ 2 1+ 2

所以点 M 的坐标为(11,-4) . (3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y + 4 = k ( x ? 11)( k ≠ 0). 由 ? y + 4 = k ( x ? 11), 消 x 得 ky 2 ? 32 y ? 32(11k + 4) = 0 , ?
2 ? y = 32 x

所以 y1 + y 2 = 32 ,由(2)的结论得 y1 + y 2 = ?4 ,解得 k = ?4. k 2 因此 BC 所在直线的方程为: 4 x + y ? 40 = 0. 16.[解析]:设在抛物线 y=ax2-1 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为 P(x,y),Q(-y,-x),则
? y = ax 2 ? 1 ? ① ? ?? x = ay 2 ? 1 ② ,由①-②得 x+y=a(x+y)(x-y),∵P、Q 为相异两点,∴x+y≠0,又 a≠0, ?

∴x? y=
a>

1 1 2 2 2 2 , 即y = x ? ,代入②得 a x -ax-a+1=0,其判别式△=a -4a (1-a)>0,解得 a a

3 . 4

x y +1 17.[解析]:设 R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形 FARB 的中心为 C ( , ) ,L:y=kx-1,代入抛物线 2 2 方程得 x2-4kx+4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4,且△=16k2-16>0,即|k|>1 ①,
4

x1 2 + x 2 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 = = 4k 2 ? 2 ,∵C 为 AB 的中点. 4 4 x x2 + x2 = = 2k 2 2 ∴ y +1 y2 + y2 = = 2k 2 ? 1 2 2 x = 4k ? , 消去 k 得 x2=4(y+3),由① 得,x > 4 , 故动点 R 的轨迹方程为 x2=4(y+3)( x > 4 ). 2 y = 4k ? 3 ∴ y1 + y 2 =

18. [解析]: (1)由题意设过点 M 的切线方程为: y = 2 x + m ,代入 C 得 x 2 + 2 x + ( ? m) = 0 , 则 ? = 4 ? 4( ? m ) = 0 ? m = 入
y = x 2 + 4x +

7 2

7 2

5 5 1 1 ,∴ x 0 = ?1, y 0 = ?2 + = ,即 M(-1, ) . 2 2 2 2

(2)当 a>0 时,假设在 C 上存在点 Q( x1 , y1 ) 满足条件.设过 Q 的切线方程为: y = kx + n ,代

7 7 ? x 2 + (4 ? k ) x + ( ? n) = 0 ,则 ? = 0 ? (k ? 4) 2 = 14 ? 4n 2 2



且 x1 = ∴

y ?a k2 ?2 k ?4 1 1 , y1 = .若 k ≠ 0 时,由于 k PQ = ? ? 1 = ? ? k 2 = 4a ? k = ±2 a , 2 4 k x1 + 2 k 1 或 x1 = ? a ? 2

1 1 ;若 k=0 时,显然 Q(?2,? 2 ) 也满足要求. y1 = a ? y1 = a ? 2 2 2a ? 1 )(-2- a , 2a ? 1 )及(-2,- 1 ) ∴有三个点(-2+ a , , , 2 2 2

x1 = a ? 2

且过这三点的法线过点 P(-2,a) ,其方程分别为: x+2 a y+2-2a a =0,x-2 a y+2+2a a =0,x=-2. 当 a≤0 时,在 C 上有一个点(-2,- 2.

1 ) ,在这点的法线过点 P(-2,a) ,其方程为:x=- 2

5


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