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黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年黑龙江省哈师大附中高三数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 I=R,集合 A={y|y=x2﹣2}.B={x|y=log2(3﹣x)},则?IA∩B 等于( ) A.{x|﹣2≤x<3} B.{x|x≤﹣2} C.{x|x<3} D.{x|x<﹣2} 2.已知函数 f(x)=﹣x3+ax2﹣x﹣1 在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 3.函数 f(x)=ln|x﹣1|的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知 α∈( A. B.7

,π) ,sinα= ,则 tan(α+ C. D.﹣7

)等于(



5.已知△ABC 中,a=4,b=4 ,A=30°,则 B 等于( A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° 6.要得到函数 f(x)=sin(2x+ A.向左平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向左平移



)的导函数 f′(x)的图象,只需将 f(x)的图象(



个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) = , = ,

7.已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是 BC、CD 的中点,如果 那么向量 =( ) A. B. C. ,则( D. )

8.若 a=20.5,b=logπ3,c=log2sin

A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 9.已知 tanA+tanB+tanC>0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 10.在钝角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2+c2﹣a2=bc, >0,a= A. ,则 b+c 的取值范围是( B. C. ) D.

?

11.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[﹣1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图 象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有( ) A.10 个B.9 个 C.8 个 D.1 个 12.已知 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) .现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x) ; ②f( )=2f(x)

③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 (2x+ )dx=3+ln2(a>1) ,则 a 的值是 .

14.如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位:km) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则 AC 的长 km. 为

15.规定一种运算:a?b= 域为 .

,例如:1?2=1,3?2=2,则函数 f(x)=sinx?cosx 的值

16.关于函数 f(x)=4sin(2x+

) (x∈R) ,有下列命题:?

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1﹣x2 必是 π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣ ③y=f(x)的图象关于点(﹣ ④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 其中正确的命题的序号是 . ,0)对称; 对称. ) ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f (x)= 的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的

定义域集合是 B. (1)求集合 A,B. (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f(x)=(x2+ax+a) . ( I)当 a= 时,求 f(x)的极值;

( II)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=cos(2x﹣ )+2sin(x﹣ )sin(x+ ) .

(1)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴; (2)求函数 f(x)在[﹣ , ]上的值域. .

20.已知 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= (1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 21.已知函数 f(x)=2cos2x+2 sinxcosx+a,且当 x∈[0,

]时,f(x)的最小值为 2.

(1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象 向右平移 根之和. 22.已知函数 f(x)=sinx﹣ ( I)求证:f(x)≥0; ( II)若 m< <n 对一切 x∈(0, )恒成立,求 m 和 n 的取值范围. x,x∈[0, ]. 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间[0, ]上所有

2016-2017 学年黑龙江省哈师大附中高三(上)第一次月 考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 I=R,集合 A={y|y=x2﹣2}.B={x|y=log2(3﹣x)},则?IA∩B 等于( ) A.{x|﹣2≤x<3} B.{x|x≤﹣2} C.{x|x<3} D.{x|x<﹣2} 【考点】补集及其运算;交集及其运算. 【分析】根据 A={y|y=x2﹣2},B={x|y=log2(3﹣x)},分别求出 A,B 集合,再求出 CIA, 进而求出 CIA∩B. 【解答】解:A={y|y=x2﹣2}=[﹣2,+∝) ,则 CIA=(﹣∝,﹣2) . B={x|y=log2(3﹣x)}=(﹣∝,3) , 所以 CIA∩B=(﹣∝,﹣2) . 故选 D 2.已知函数 f(x)=﹣x3+ax2﹣x﹣1 在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】由 f(x)的解析式求出导函数,导函数为开口向下的抛物线,因为函数在 R 上为 单调函数,所以导函数与 x 轴没有交点或只有一个交点,即△小于等于 0,列出关于 a 的不 等式,求出不等式的解集即可得到实数 a 的取值范围. 【解答】解:由 f(x)=﹣x3+ax2﹣x﹣1,得到 f′(x)=﹣3x2+2ax﹣1, 因为函数在(﹣∞,+∞)上是单调函数, 所以 f′(x)=﹣3x2+2ax﹣1≤0 在(﹣∞,+∞)恒成立, 则△= 所以实数 a 的取值范围是:[﹣ 故选 B , , ].

3.函数 f(x)=ln|x﹣1|的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】题目中函数解析式中含有绝对值,须对 x﹣1 的符号进行讨论,去掉绝对值转化为 对数函数考虑,利用对数函数的图象与性质解决. 【解答】解:∵当 x>1 时,f(x)=ln|x﹣1|=ln(x﹣1) ,其图象为:

∵当 x<1 时,f(x)=ln|x﹣1|=ln(1﹣x) ,其图象为:

综合可得,B 符合, 故选 B.

4.已知 α∈( A. B.7

,π) ,sinα= ,则 tan(α+ C. D.﹣7

)等于(



【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】先根据 sinα 的值求出 tanα,然后根据两角和与差的正切公式可得答案. 【解答】解:已知 ∴ 故选 A. 5.已知△ABC 中,a=4,b=4 ,A=30°,则 B 等于( A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° ) = , ,则 ,

【考点】正弦定理. 【分析】△ABC 中由条件利用正弦定理求得 sinB 的值,再根据及大边对大角求得 B 的值. a=4, b=4 【解答】 解: △ABC 中, = , . A=30°, , 由正弦定理可得 , 即

解得 sinB=

再由 b>a,大边对大角可得 B>A,∴B=60°或 120°, 故选 D.

6.要得到函数 f(x)=sin(2x+ A.向左平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向左平移

)的导函数 f′(x)的图象,只需将 f(x)的图象(



个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)

【考点】简单复合函数的导数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】求出函数 f(x)=sin(2x+ = 【解答】解:∵f(x)=sin(2x+ ∴ = ) , , )的导函数 f′(x)的图象,只需将 f(x)的图象向左平 )的导函数,然后变形为 ,然后由函数图象的平移得答案.

则要得到函数 f(x)=sin(2x+ 移

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到.

故选:D. 7.已知在平行四边形 ABCD 中,点 M、N 分别是 BC、CD 的中点,如果 那么向量 =( ) A. B. C. D. = , = ,

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】由题意画出图形,利用向量加法的三角形法则得 案. 【解答】解:如图,

,转化为



得答

∵ ∴

= ,

= ,且 M、N 分别是 BC、CD 的中点, = .

故选:B. 8.若 a=20.5,b=logπ3,c=log2sin

,则(



A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【考点】对数函数的单调区间;对数的运算性质. 【分析】利用估值法知 a 大于 1,b 在 0 与 1 之间,c 小于 0. 【解答】解: ,

由指对函数的图象可知:a>1,0<b<1,c<0, 故选 A 9.已知 tanA+tanB+tanC>0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.任意三角形

【考点】三角形的形状判断. 【分析】利用正切的和角公式变形形式 tanA+tanB=tan(A+B) (1﹣tanAtanB)化简整理. 【解答】解:∵tanA+tanB=tan(A+B) (1﹣tanAtanB) ∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B) (1﹣tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0, ∴A,B,C 是△ABC 的内角,故内角都是锐角 故应选 A. 10.在钝角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2+c2﹣a2=bc, >0,a= A. ,则 b+c 的取值范围是( B. C. ) D. ?

【考点】余弦定理. 【分析】根据 b2+c2﹣a2=bc,代入到余弦定理中求得 cosA 的值,进而求得 A,再确定 b=2RsinB=sinB,c=2RsinC=sinC,结合 B 的范围,代入利用辅助角公式,即可得出结论. 【解答】解:∵b2+c2﹣a2=bc,a= ,由余弦定理可得 cosA= = ,

因为 C 是三角形内角,∴A=60°,sinA= ∵



=AB?BC?cos(π﹣B)=﹣AB?BC?cosB>0,∴cosB<0,∴B 为钝角,B 是钝角. ?sinB=sinB,同理 c=sinC. ,∴C+B= . cosB= sin(B+ )∈( , ) , ) ,∴ sin(B+ )

由正弦定理可得 b= 三角形 ABC 中,A=

b+c=sinB+sinC=sinB+sin( ∵ ∈( <B< , ) , ,∴

﹣B)= sinB+ <

<B+

,∴sin(B+

∴b+c 的取值范围为: (

, ) .

11.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[﹣1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图 象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有( ) A.10 个B.9 个 C.8 个 D.1 个 【考点】对数函数的图象与性质;函数的周期性. 【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质,作出两个函数图象,再通过计算函数值 估算即可. 【解答】解:作出两个函数的图象如上 ∵函数 y=f(x)的周期为 2,在[﹣1,0]上为减函数,在[0,1]上为增函数 ∴函数 y=f(x)在区间[0,10]上有 5 次周期性变化, 在[0,1]、[2,3]、[4,5]、[6,7]、[8,9]上为增函数, 在[1,2]、[3,4]、[5,6]、[7,8]、[9,10]上为减函数, 且函数在每个单调区间的取值都为[0,1], 再看函数 y=|lgx|,在区间(0,1]上为减函数,在区间[1,+∞)上为增函数, 且当 x=1 时 y=0; x=10 时 y=1, 再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有 10 个,

故选:A.

12.已知 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) .现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x) ; ②f( )=2f(x)

③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后 综合判断结果,可得答案. 【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) , ∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x) ,即①正确; f( )=ln(1+ )﹣ln(1﹣ )=ln( )﹣ln( )=ln



)=ln[(

)2]=2ln(

)=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x) ,故②

正确; 当 x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|?f(x)﹣2x≥0,令 g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln (1﹣x)﹣2x(x∈[0,1) ) ∵g′(x)= + ﹣2= ≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x

≥g(0)=0, 又 f(x)≥2x,又 f(x)与 y=2x 为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确; 故正确的命题有①②③, 故选:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 (2x+ )dx=3+ln2(a>1) ,则 a 的值是 2 .

【考点】微积分基本定理. 【分析】根据题意找出 2x+ 的原函数,然后根据积分运算法则,两边进行计算,求出 a 值; 【解答】解: =(x2+lnx) =a2+lna﹣(1+ln1)=3+ln2,a>1,

∴a2+lna=4+ln2=22+ln2,解得 a=2, 故答案为:2; 14.如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位:km) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则 AC 的长 为 7 km.

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】分别在△ABC 和△ACD 中使用余弦定理解出 AC,列方程解出 cosD,得出 AC. 【解答】7 解:在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB, 在△ACD 中,由余弦定理得 AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD, ∴89﹣80cosB=34﹣30cosD, ∵A+C=180°,∴cosB=﹣cosD, ∴cosD=﹣ , ∴AC2=34﹣30×(﹣ )=49. ∴AC=7. 故答案为 7.

15.规定一种运算:a?b=

,例如:1?2=1,3?2=2,则函数 f(x)=sinx?cosx 的值

域为 [﹣1,

]



【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【分析】先根据题意确定函数 f(x)的解析式,再由正余弦函数的图象可得答案. 【解答】解:由题意可知

f(x)=sinx*cosx=

故由正余弦函数的图象可知 函数 f(x)的值域为:[﹣1, 故答案为:[﹣1, ] ]

16.关于函数 f(x)=4sin(2x+

) (x∈R) ,有下列命题:?

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1﹣x2 必是 π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣ ③y=f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ) ;

④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣

对称.

其中正确的命题的序号是 ②③ . 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的对称性. 【分析】根据函数求出最小正周期,可知①错;利用诱导公式化简②,判断正误;求出函 数的对称中心判定③;对称直线方程判断④的正误;即可得到解答. 【解答】解:①函数 f(x)=4sin 由相邻两个零点的横坐标间的距离是 ②f(x)=4sin(2x+ ③f(x)=4sin(2x+ 2x+ (﹣ =kπ,x=( ,0)满足条件 )的对称直线满足 )=4cos( = ﹣2x﹣ 的最小正周期 T=π, 知①错. )=4cos(2x+ ﹣ )=4cos(2x﹣ )

)的对称点满足(x,0) ) k∈Z

④f(x)=4sin(2x+ 2x+ x=﹣

=(k+ )π;x=(k+ ) 不满足

故答案为:②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f (x)= 的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x2﹣(2a+1)x+a2+a]的

定义域集合是 B. (1)求集合 A,B. (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的定义域及其求法;并集及其运算. 【分析】 (1)被开方数≥0,求 A,对数的真数>0 求出 B. (2)由题意 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意 所以 A={x|x≤﹣1 或 x>2};

x2﹣(2a+1)x+a2+a>0 B={x|x<a 或 x>a+1}; (2)由 A∪B=B 得 A? B, 因此 解得:﹣1<a≤1, ∴实数 a 的取值范围是(﹣1,1].

18.已知函数 f(x)=(x2+ax+a) ( I)当 a= 时,求 f(x)的极值;



( II)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出 函数的极值即可; (Ⅱ)解关于导函数的不等式,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的 定义域为(﹣∞, ],

导函数 f′(x)=



当 a= x f′(x) f(x)

,f′(x)= (﹣∞, ﹣5) ﹣ 递减 ﹣5 0 极小值

, 0 (﹣5, 0) 0 + 递增 极大值

(0, ) ﹣ 递减 ;

函数的极大值为 f(0)=

,极小值为 f(﹣5)=

(Ⅱ)若 f(x)在区间(0, )上单调递增, 则 f′(x)>0,即 5x+3a﹣2≤0, 故 3a≤2﹣5x 在(0, )上恒成立, 而 2﹣5x 的最小值是 , 故 a≤ .

19.已知函数 f(x)=cos(2x﹣

)+2sin(x﹣

)sin(x+

) .

(1)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴; (2)求函数 f(x)在[﹣ , ]上的值域.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用两角和差的余弦公式以及诱导公式结合辅助角公式进行化简即可求函数 f x ( )的最小正周期及图象的对称轴; (2)求出函数在[﹣ , ]上的取值范围,结合三角函数的单调性进行求解即可.

【解答】解: (1)f(x)=cos(2x﹣ (x﹣ )sin[ +(x﹣ )]

)+2sin(x﹣

)sin(x+

)= cos2x+

sin2x+2sin

= cos2x+ cos2x+ =

sin2x+2sin(x﹣ sin2x﹣cos2x

)cos(x﹣

)= cos2x+

sin2x+sin(2x﹣

)=

sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣

) . ,

则函数 f(x)的最小正周期 T= 由 2x﹣ 得 2x=kπ+ 即 x= + =kπ+ ,k∈Z,

,k∈Z, ,k∈Z, + , ,k∈Z;

即图象的对称轴为 x= (2)∵﹣ ∴﹣ ∴﹣ ≤x≤

≤2x≤π, ≤2x﹣ = =﹣ ≤ , =1, )=﹣ ,

则当 2x﹣ 当 2x﹣

时,函数取得最大值为 f(x)=sin

时,函数取得最小值为 f(x)=sin(﹣

即函数的值域为[﹣ ,1].

20.已知 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= (1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求 A 的值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)c=2,C= 角形面积计算公式



,由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC,即 4=a2+b2﹣ab,利用三 = ,即 ab=4.联立解出即可.

sinC+sin =2sin2A, (2) 由 sinC=sin (B+A) , (B﹣A) 可得 2sinBcosA=4sinAcosA. 当 cosA=0 时,解得 A= ;当 cosA≠0 时,sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,联立解得即可. ,由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC,

【解答】解: (1)∵c=2,C= ∴4=a2+b2﹣ab, ∵ =

,化为 ab=4.

联立

,解得 a=2,b=2.

(2)∵sinC=sin(B+A) ,sinC+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 2sinBcosA=4sinAcosA, 当 cosA=0 时,解得 A= ;

当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 联立 ∴b2=a2+c2, ∴ 又 , ,∴ . 或 . ,解得 ,b= ,

综上可得:A=

21.已知函数 f(x)=2cos2x+2

sinxcosx+a,且当 x∈[0,

]时,f(x)的最小值为 2.

(1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象 向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间[0, ]上所有

根之和. 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 (1)化简可得 f(x)=2sin(2x+ 值,解不等式 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ )+a+1,由题意易得﹣1+a+1=2,解方程可得 a 可得单调区间;

(2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin(4x﹣ 得 x= 或 x= ,相加即可.

)+3,可得 sin(4x﹣

)= ,解方程可

【解答】解: (1)化简可得 f(x)=2cos2x+2 =cos2x+1+ ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ sin2x+a=2sin(2x+ ], , ], )+a+1,

sinxcosx+a

∴f(x)的最小值为﹣1+a+1=2,解得 a=2, ∴f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ﹣ ≤2x+ )+3, ≤2kπ+ 可得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

], (k∈Z) ;

(2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin(4x﹣ 由 g(x)=4 可得 sin(4x﹣ ∴4x﹣ 解得 x= ∵x∈[0, ∴x= 或 x= =2kπ+ + 或 4x﹣ 或 x= ], , + = . + )= , =2kπ+ ,

)+3,

, (k∈Z) ,

∴所有根之和为

22.已知函数 f(x)=sinx﹣ ( I)求证:f(x)≥0; ( II)若 m<

x,x∈[0,

].

<n 对一切 x∈(0,

)恒成立,求 m 和 n 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1) 求出导函数, 利用导函数判断原函数的单调性, 根据单调性判断函数的最小值; (2)根据(1)结论,把恒成立问题转化为最值问题,构造函数 h(x)=sinx﹣nx,根据导 函数分类讨论即可.

【解答】解: (1)证明:f(x)=sinx﹣

x,x∈[0,

].

f'(x)=cosx﹣ ,令 f'(x)=0,得 x=x0, 当在(0,x0)时,f'(x)>0,函数递增;当在(x0, ∴在 x=x0 处取得极大值, 取得极大值, ∵f(0)=f( )=0, )时,f'(x)<0,函数递减,

所以 f(x)≥0 得证; (2)由(1)得, ≥ ,所以 m≤ ,

设 h(x)=sinx﹣nx,则 h'(x)=cosx﹣n, ①n≥1 时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,且 h(x)=0,所以 h(x)≤0 成立 ②n≤0 时,h'(x)≥0,h(x)单调递增,与 ③0<n<1 时,与 综上,n≥1,m≤ . <n 恒成立矛盾, <n 矛盾


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