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2019学年高中数学人教A必修4学业分层测评10 三角函数模型的简单应用 含解析

(人教版)精品数学教学资料
学业分层测评(十)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 已知某人的血压满足函数解析式 f(t)=24sin 160π t+110.其中 f(t)为血压, t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 ) B.70 D.90

1 160π 【解析】 由题意可得 f=T= =80, 所以此人每分钟心跳的次数为 80, 2π 故选 C 项. 【答案】 C

2.如图 1-6-5,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm) π? ? 和时间 t(s)的函数关系式为 s=6sin?2π t+ ?,那么单摆摆动一个周期所需的时 6? ? 间为( )

图 1-6-5 A.2π s C.0.5 s B.π s D.1 s

2π ? π? 【解析】 依题意是求函数 s=6sin?2πt+ ?的周期,T= =1,故选 D 项. 6? ? 2π 【答案】 D )

3.函数 f(x)的部分图象如图 1-6-6 所示,则下列选项正确的是(

图 1-6-6 A.f(x)=x+sin x C.f(x)=xcos x cos x B.f(x)= x ? π ?? 3π ? D.f(x)=x?x- ??x- ? 2 ?? 2 ? ?

【解析】 观察图象知函数为奇函数,排除 D 项;又函数在 x=0 处有意义, π ?π? 排除 B 项;取 x= 2 ,f? ?=0,A 项不合适,故选 C 项. ?2? 【答案】 C π 4. (2016· 杭州二中期末)一种波的波形为函数 y=-sin 2 x 的图象, 若其在区 间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是( A.5 C.7 B.6 D.8 )

π 【解析】 函数 y=-sin 2 x 的周期 T=4 且 x=3 时 y=1 取得最大值,因此 t≥7.故选 C. 【答案】 C

5.下表是某市近 30 年来月平均气温(℃)的数据统计表: 月 份 平 均 温 度 则适合这组数据的函数模型是( πx A.y=acos 6 ) - 5.9 - 3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 - 2.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(x-1)π +k(a>0,k>0) 6 (x-1)π C.y=-acos +k(a>0,k>0) 6 πx D.y=acos 6 -3 B.y=acos 【解析】 【答案】 二、填空题 6.如图 1-6-7 是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴 表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________. 【导学号:00680029】 当 x=1 时图象处于最低点,且易知 k= C -5.9+22.8 >0.故选 C. 2

图 1-6-7 【解析】 由题图可设 y=Asin(ωt+φ),则 A=2,

又 T=2(0.5-0.1)=0.8, 2π 5 所以 ω=0.8=2π, ?5 ? 所以 y=2sin?2πt+φ?, ? ? ?5π ? 将点(0.1,2)代入 y=2sin? t+φ?中, ?2 ? ? π? 得 sin?φ + ?=1, 4? ? π π 所以 φ+ 4 =2kπ+ 2 ,k∈Z, π 即 φ=2kπ+ 4 ,k∈Z,

π 令 k=0,得 φ= 4 , ?5π π? 所以 y=2sin? t+ ?. 4? ?2 【答案】 π? ?5π ? y=2sin? t + 4? ? 2

7.如图 1-6-8,点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω(rad/s)做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时 间 t 的函数关系式为________.

图 1-6-8 【解析】 当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时, 点 P 转过的角度为 ωt, 则∠POx =ωt+φ,由任意角的三角函数定义知 P 点的纵坐标 y=rsin(ωt+φ). 【答案】 三、解答题 8.交流电的电压 E( 单位:伏 ) 与时间 t(单位:秒 )的关系可用 E = 220 3 π? ? sin?100π t+ ?来表示,求: 6? ? (1)开始时的电压;(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间. 【解】 π (1)当 t=0 时,E=220 3sin 6 =110 3(伏), y=rsin(ωt+φ)

即开始时的电压为 110 3伏. (2)电压的最大值为 220 3伏, π π 1 当 100πt+ 6 = 2 ,即 t=300秒时第一次取得这个最大值. 9.健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120~140 mmHg 和 60~90 mmHg.

心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张 压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mmHg 为标准值. 设 某 人 的 血 压 满 足 函 数 式 p(t) = 115 + 25sin(160 π t) , 其 中 p(t) 为 血 压 (mmHg),t 为时间(min). (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较. 【解】 T= 2π (1)函数 p(t)的最小正周期为

2π 1 = =80 min. |ω | 160π

1 (2)此人每分钟心跳的次数即频率为:f=T=80. (3)p(t)max=115+25=140 mmHg, p(t)min=115-25=90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg, 舒张压为 90 mmHg,比正常值稍高. [能力提升] 1.如图 1-6-9 所示,有一广告气球,直径为 6 m,放在公司大楼上空, 当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时, 测得气球的视角为 2°(若 β 很小时, 可取 sin β ≈β ),试估算该气球的高 BC 的值约为( )

图 1-6-9 A.70 m C.102 m 【解】 B.86 m D.118 m

假设气球到人的距离 AC 为 s,

2π ∴6=s×sin 2°=s×2×360, ∴s≈171.887 m, ∴h=BC=s×sin 30°=85.94 m≈86 m. 【答案】 B

2.如图 1-6-10 所示,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈.记水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(在水面下则 d 为负数),则 d(米)与时 π π? ? 间 t(秒)之间满足关系式:d=Asin(ωt+φ)+k?A>0,ω >0,- <φ < ?.当 P 点 2 2? ? 2π π 从水面上浮现时开始计算时间. 有以下四个结论: ①A=10; ②ω= 15 ; ③φ= 6 ; ④k=5.则其中所有正确结论的序号是________.

图 1-6-10 【解析】 2π 2π 60 由题意知 A=10,k=5,T= 4 =15 秒,ω = T = 15 .

?2π ? 所以 d=10sin? t+φ?+5. ? 15 ? 又当 t=0 时,d=0, 所以 10sin φ +5=0, 1 所以 sin φ =-2, π π π 又- 2 <φ < 2 ,所以φ =- 6 . 【答案】 ①②④

3.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因 此北半球的人们冬天愿意去那里旅游, 下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温 统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型; (2)当自然气温不低于 13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜于旅游,试根据你所确定 的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间. x(月 份) t(气 温) 1 2 3 4 5 6 7 10.0 6 8 9 10.0 6 10 11 12

17.3

17.9

17.3

15.8

13.7

11.6

9.5

11.6

13.7

15.8

【解】 (1)以月份 x 为横轴,气温 t 为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接 诸散点,得如图所示的曲线.

由于各地月平均气温的变化是以 12 个月为周期的函数, 依散点图所绘制的图象,我们可以考虑用 t=Acos(ω x+φ)+k 来描述. 由最高气温为 17.9 ℃,最低气温为 9.5 ℃, 则 A= 17.9-9.5 =4.2; 2

k=

17.9+9.5 =13.7. 2 2π ω π =12,故 ω= 6 .

显然

又 x=2 时 y 取最大值,依 ωx+φ=0, π π 得 φ=-ωx=- 6 ×2=- 3 .

?πx π? 所以 t=4.2cos? - ?+13.7 为惠灵顿市的常年气温模型函数式. ? 6 3? (2)作直线 t=13.7 与函数图象交于两点, (5,13.7),(11,13.7). 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于 13.7 ℃,是惠灵顿 市的最佳旅游时间.