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华中师大一附中2011届高三(理科)数学独立作业(11)


华中师大一附中 2009-2010 学年度第一学期 理科数学独立作业(11)
第一卷 新知预习 一. 选择题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分) 1. 已知点 A∈直线 a ,点 A∈平面 β,那么 (A) a β (B) a ∩β=A (C) a ∥β (D)非上面所述的结论 答案:D 2. 直线 a 在平面 ? 外,则 (A) a / / ? (B) a 与 ? 至少有一个公共点 (C) a ∩β=A (D) a 与 ? 至多有一个公共点 答案:D 3. 在正方形 S G 1G 2 G 3 中,E,F 分别是 G 1 G 2 及 G 2 G 3 的中点,D 是 EF 的中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个 正方形折起,使点 G 1 , G 2 , G 3 重合,重合后的点记为 G,那么下列结论成立的是 (A)S D ? 平面 EFG (B)S G ? 平面 EFG (C)G F ? 平面 SEF (D)G D ? 平面 SEF 答案:B 4. 下列命题中,正确的命题是 (A)平行于同一平面的两直线平行 (B)同时与两条异面直线平行的平面有无数多个 (C)A、B 两点与平面 ? 上两点 C、D 满足 AC=BD≠0,则 AB∥平面 ? (D)直线 l 与平面 ? 不相交,则 l ∥平面 ? 答案:B 二. 填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,满分 18 分) 5. 已知下列四个命题:(1)直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;(2)直线上有两点到平面距 离(不为零)相等,则直线与平面平行;(3)直线与平面内的任意一条直线不相交,则直线与平面平行; (4)直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行,其中正确命题为 . 答案:(1)(3) 6. 四条直线两两平行,任何三条不共面,如果经过其中任意两条作平面,那么可作平面的个数为 . 答案:6 个 7. 矩形 ABCD 的边 AB 在平面 ? 内,当矩形绕直线 AB 旋转时,直线 CD 与平面 ? 的位置关系 是 . 答案:平行或 CD 在 ? 内 三. 解答题(本大题共 2 小题,满分 18 分,其中第 8 题 8 分,第 9 题 10 分) Q 且 8. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB , AE 、BD 上各取一点 P 、 , AP ? DQ . 在 求 证: PQ // 面 BCE . 证明:如图,在平面 ABEF 内过 P 作 PM // AB 交 BE 于 M , 在平面 ABCD 内过 Q 作 QN // AB 交 BC 于 N ,连结 MN . ∵ PM // AB ,∴ 即
QN AB ? BQ BD PM AB ? PE AE

.又∵ QN // AB // CD ,∴

QN DC

?

BQ BD



. ∵正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB ,∴ AE ? DB .

QN // AB , PM // QN . ∵ AP ? DQ , PE ? BQ . PM ? QN . ∴ ∴ 又∵ PM // AB , ∴ ∴四边形 PQNM

为平行四边形.∴ PQ // MN .又∵ MN ? 面 BCE ,∴ PQ // 面 BCE . 9. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E 是 BB 1 的中点,O 是底面正方形 ABCD 的中心, 求证:OE ? 平面 ACD 1 . 证明:连结 B 1 D 、 A1 D 、 BD ,在△ B 1 BD 中,∵ E 、 O 分别是 B 1 B 和 DB 的中点,∴ EO // B 1 D .

1

∵ B 1 A1 ? 面 AA 1 D 1 D ,∴ DA 1 为 DB 1 在面 AA 1 D 1 D 内的射影.又 ∵ AD 1 ? A1 D ,∴ AD 1 ? DB 1 .同理可证, B1 D ? D 1C .又 ∵ AD 1 ? CD 1 ? D 1 , AD 1 、 D 1C ? 面 ACD 1 ,∴ B 1 D ? 平面 ACD ∵ B 1 D // EO ,∴ EO ? 平面 ACD 1 . 第二卷 旧知反馈
1

一. 选择题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,满分 35 分)
AC ? BD 且 A C ? B D , 1. 空间四边形 ABCD 中, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点, 则四边形 EFGH

是 A.菱形 答案:D 2. 空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线个数是 A.1 条 答案:D 3. 已知双曲线
x a
2 2

B.矩形

C.梯形

D.正方形

B.2 条

C.3 条

D.1 条或 3 条

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 | P F1 | ? 4 | P F 2 |

| P F1 | ? 4 | P F 2 | 则此双曲线的离心率 e 的最大值为

A.

4 3

B.

5 3

C.2

D.

7 3

答案:B 4. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A.B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直
2

线 A.有且仅有一条 答案:B 5. 点 P(-3,1)在椭圆
x a
2 2

B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D. 不存在

+

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左准线上。过 P 点且方向为 a ? ( 2, ? 5) 的光线,经直线

y ? -2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

A.

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.

1 2

答案:A 二. 填空题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,满分 21 分) 6. 在空间四边形 ABCD 中, 与 BD 所成角的大小是 答案: 7. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 A1B1 和 DD1 的公垂线段是 A1D1.A1C1 和 BC 的公垂线段 是 .
2

,E、F 分别是 AD、BC 的中点,且 .

,异面直线 AC

答案:C1C 8. 已知异面直线 a 与 b 所成的角是 5 0 ,空间有一定点 P,则过点 P 与 a, 所成的角都是 3 0 的直线有 b 条。 答案:2 三. 解答题(本大题共 3 小题,满分 34 分) 9. (10 分)在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,已知 AB=2, BC=AA1=1,求异面直线 B D 1 与 AC 所成角的余 弦值的大小。 解:在长方体 的一旁补上一个全等的长方体 ,连 BF、D1F, 则 BF//AC,于是 BF 与 BD1 所成的角(或其补角)即为 AC 与 BD1 所成的角,如图,设 在三角形 中,由余弦定理得:
0 0

异面直线所成角的范围是

,故异面直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值应为 c o s ( ? ? ? ) ?

30 10

10. (12 分)已知四面体 S ? ABC 的所有棱长均为 a .求: (1)异面直线 SC 、 AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长; (2)异面直线 EF 和 SA 所成的角. 解: (1)如图,分别取 SC 、 AB 的中点 E 、 F ,连结 SF 、 CF . 由已知,得 ? SAB ≌ ? CAB .∴ SF ? CF , E 是 SC 的中点, ∴ EF ? SC .同理可证 EF ? AB ∴ EF 是 SC 、 AB 的公垂线段. 在 Rt ? SEF 中, SF ?
3 2 a , SE ?
1 2 a .∴ EF ?

SF

2

? SE

2

=

3 4

a ?
2

1 4

a

2

?

2 2

a.

(2)取 AC 的中点 G ,连结 EG ,则 EG // SA .∴ EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和
SA 所成的角.连结 FG ,在 Rt ? EFG 中, EG ?

1 2

a , GF ?

1 2

a , EF ?

2 2

a .由余弦定理,得

1 cos ? GEF ? EG
2

? EF

2

? GF

2

a ?
2

2 4

a ?
2

1 4

a

2

2 ? EG ? EF

? 4 2? 1 2

?

2 2

. ? GEF ? 45 . ∴ 故异面直线 EF 和 SA 所

?

a?

2 2

a

成的角为 45 . 11. (12 分)已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P、Q 在双曲线的右支上,点 M(m,0)到直线 AP 的距离为 1.

?

(1)若直线 AP 的斜率为 k,且 | k |? [

3 3

,

3 ] ,求实数 m 的取值范围;

(2)当 m ?

2 ? 1 时, ? A P Q 的内心恰好是点 M ,求此双曲线的方程。

3

y

解:(1)由条件得直线 AP 的方程 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0
P

| mk ? k | ? ?1 M O x 2 A | mk ? k | ?1 k ? ?1 2 | mk ? k | 2 k ?1 1 k ?1 ? ?1 Q 即 | m ? 1 |? ? 1? 2 2 k ?1 2 |k | k | mk ? k | k ?1 1 ? ?1 即 | m ? 1 |? ? 1? 2 2 | m k 2? k | k ?1 1 3 2 3k k ? 1 ? 1 即 | m ? 1 |? ? ? 1 ? 2 ?| k |? [ | k | 3 ], ? , ? | m ? 1 |? 2 , 2 k ?1 |k | k 2 3 3 k ?1 1 3 2 3 2 即 | m ? 1 |? ? 1? 2 ?| k |? [ , 3 ], ? ? | m ? 1 |? 2 , k| k ? 1 1 2 | k |? [ 13?, k 3 ], ? 2 3 ? | m ?解| ? 2 , 3 ? 1 ? m ? 3 或 -1 ? m ? 1 - 2 3 3 即 | m ? 1 |? ? 得3 ?| 1 2 |k | 3 3 3 k 3 2 3 2 3 3 2 3 解得 ? 1 ? m ? 3 或 -1 ? m ? 1 ?| k |? [ , 3 ], ? 2 3 ? | m ? 1 | ? 2 , 2 3 2 3 2 3 3 2 3 , 的 ]?3 [1+ 3] ? 13 ?| k |? [ 3 , 3 解? 3 ? ?m ? 1 | ?? 23 或 -1 ? m? m- 取 值 范 围 是 [ -1,1], 得 | 1?m , 3 3 3 3 33 2 3 2 3 2 3 2 3 , ? m 的 取 值 范 围 是 [ -1,1] ? [1+ 3] 解得 ? 1 ? m ? 3 或 -1 ? m ? 1 2 3 2 33 2 33 2 3 3 3 ? 的 或 -1 范 围 1 ] ? [1+ , 3] 解得 ? 1 ? mm? 3取 值 ? m ?是 -[-1,13 3 3 3 2 3 2 3 ? m 的 取 值 范 围 是 [ -1,1] ? [1+ , 3] 2 3 2 3 ? m 的 取 值 范 围 是 [-1,1- 3 ] ? y 2 [1+ 3 , 3] 3 2 3 ( 2 +1,) , A (1, 0 ) 得 | A M | ? 2 ,又因为 M 点是 0 (2)可设双曲线方程为 x ? 2 ? 1( b ? 0 ) 由 M b
? A P Q 的内心, 到 AP 的距离是 1, M 所以 ? M A P = 4 5 , 直线 AM 是 ? P A Q 的角平分线, M 到 AQ,PQ 且
0

因为点 M 到直线 AP 的距离为 1,如图

的距离均为 1.因此 k A P ? 1, k A Q ? ? 1, (不妨设 P 在第一象限),则直线 PQ 方程为 x ? 2 ?
( 程 y ? x ? 1 所以解得 P 的坐标是 2 ? 2) P 点坐标代入 x ? 将
2

2 , 直线 AP 的方

2 ,1+

y b

2 2

? 1得 b ?
2

2 ?3 2 ?1

所以所求的双

曲线方程为 x ?
2

( 2 ? 3) 2 2 y ? 1即 x ? 2 ( 2 ?1

2 -1) y ? 1
2

4


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