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2018秋新版高中数学北师大版必修2习题:第一章立体几何初步 1.5.2 Word版含解析

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5.2 平行关系的性质
1.已知直线 a∥平面 α,点 P∈α,则过点 P 且平行于直线 a 的直线() A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在平面 α 内 C.只有一条,在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 答案:C 2.平面 α∥平面 β,AB,CD 是夹在 α 和 β 间的两条线段,E,F 分别为 AB,CD 的中点,则 EF 与 α()

A.平行

B.相交

C.垂直

D.不能确定

解析:当 AB,CD 共面时,由中位线的性质可得 EF∥α;当 AB,CD 不共面时,连接 AD,并取 AD 的中点 M,连接 EM 与 FM,则可得 EM∥平面 β,且 FM∥平面 α.故平面 EFM∥平面 α,即 EF 与 α 平行.

答案:A

3.用平面 α 截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面 α 必定和这个三棱锥的()

A.底面平行

B.一个侧面平行

C.平行于两条相对的棱

D.仅与一条棱平行

解析:当平面 α 平行于某一个面时,截面为三角形,

故 A,B 错;当平面 α∥SA 时,如图所示.

SA?平面 SAB,平面 SAB∩α=DG,

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所以 SA∥DG,同理 SA∥EF,所以 DG∥EF,同理若 BC∥α 时得到 GF∥DE,因为截面是梯形,所以只能有 一条棱与之平行.

答案:D

4.给出下列三个命题: ①若平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,则 a∥b; ②若直线 a∥直线 b,a?平面 α,b?平面 β,则 α∥β; ③若直线 a∥平面 α,a∥平面 β,则 α∥β.

其中正确的命题的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:对于①,a,b 可能异面;对于②,α,β 可能相交;对于③,α,β 可能相交.

答案:A

5.若不共线的三点到平面 α 的距离相等,且三点都不在平面 α 内,则这三点确定的平面 β 与 α 的位置关系是()

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.无法确定

解析:若三点在平面 α 的同侧,则三点确定的平面 β 与已知平面 α 是平行的;若三点分别在 α 的异侧,则这三 点所确定的平面与平面 α 相交.故选 C.

答案:C

6.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,过 C,M,D1 作正方形的截面,则截面的面积为 ()

A.9

B.

C.18

D.

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解析:如图所示,由面面平行的性质知截面与平面 ABB1A1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线,所以截面是梯形 CD1MN,且 MN=,CD1=2,CN=D1M=,
所以梯形的高为 h=, 所以 S=×(+2)×. 答案:B 7.
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过 BD1 的平面分别与 AA1,CC1 交于 M,N,则四边形 BND1M 的形状 为. 解析:设过 BD1 的平面为 α,因为平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1,α∩平面 ABB1A1=BM,α∩平面 CDD1C1=D1N,所 以 BM∥D1N,同理可得 BN∥D1M,所以四边形 BND1M 为平行四边形. 答案:平行四边形 8.若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的长分别为 8 和 12,过 AB 的中点 E 且平行于 BD,AC 的截面是 四边形,则此四边形的周长为. 解析:如图所示,设截面为 EFGH,因为 AC∥平面 EFGH,平面 ACB∩平面 EFGH=EF,AC?平面 ABC,所以 AC ∥EF,同理可得 GH∥AC,所以 EF∥GH.同理 FG∥EH,故四边形 EFGH 为平行四边形,所以四边形的周长为 2(EF+EH)=AC+BD=20.
答案:20 9.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,平面 α∥平面 ABC,α 分别交线段 PA,PB,PC 于点 A',B',C'.若,求的值.

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解∵平面 α∥平面 ABC,平面 PAB∩平面 α=A'B',平面 PAB∩平面 ABC=AB, ∴A'B'∥AB. 同理可得 B'C'∥BC,A'C'∥AC. ∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB, ∴△A'B'C'∽△ABC. 又 PA'∶A'A=2∶3, ∴PA'∶PA=2∶5, ∴A'B'∶AB=2∶5. ∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶25,即.
★10.如图,已知平面 α∥平面 β,线段 PQ,PF,QC 分别交平面 α 于 A,B,C 点,交平面 β 于 D,F,E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是 72,试求△DEF 的面积.提示:S△DEF=·DF·DE·sin∠ EDF,S△ABC=·AB·AC·sin∠CAB
解因为平面 α∥平面 β, 所以 AB∥DF,AC∥DE, 所以∠CAB=∠EDF. 在△PDF 中,AB∥DF, DF=·AB=AB,

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同理 DE=AC. S△DEF=AB·AC·sin∠CAB=S△ABC=96. ★11.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点.
(1)若 E 为 A1C1 的中点,求证:DE∥平面 ABB1A1; (2)若 E 为 A1C1 上一点,且 A1B∥平面 B1DE,求的值. (1)证明取 B1C1 的中点 G,连接 EG,GD,如图所示,
则 EG∥A1B1,DG∥BB1. 又 EG∩DG=G, 所以平面 DEG∥平面 ABB1A1. 因为 DE?平面 DEG, 所以 DE∥平面 ABB1A1. (2)解设 B1D 交 BC1 于点 F, 则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B?平面 A1BC1, 所以 A1B∥EF, 所以. 又, 所以.

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