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新课标高中数学必修+选修知识点精华归纳-03-三角函数(恒等变换)与解三角形(精心排版校正)


三角函数 & 三角恒等变换 & 解三角形
三角函数(必修 4 第一章)
§1 任意角 1、正角、负角、象限角、坐标轴上的角等概念. 2、角与角的关系: ? , ? 终边 ? , ? 关系( k ? Z ) 相同 共线 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 关于 ? 终边对称 1、 诱导公式一: 2、 诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
3、诱导公式三:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , tan?? ? 2k? ? ? tan? .
4、诱导公式四:

? ? ? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? ?? ? k? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2? ? ? ? 2k?

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
5、诱导公式五:

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
6、诱导公式六:

§2 弧度制 1、与半径等长的弧所对的圆心角即 1 弧度的角.

l n?R ? ? R,? ? . r 180 2 n?R 1 ? lR . 3、扇形面积公式: S ? 360 2
2、弧长公式: l ? §3 任意角的三角函数 1、设 ? 为一任意角, 其终边与单位圆交于点 P ? x, y ? , 那么: sin ? ? y ,cos ? ? x, tan ? ? 2、 设点 A? x , y

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

奇变偶不变,符号看象限:前者指 ? ? k ?

则函数名变,偶则不变;后者指将 ? 视为锐角,看在 哪个象限,由此象限内该函数符号决定正负. §6 正弦/余弦/正切函数的图象和性质 1、图象:

? 中若 k 为奇 2

? 为角 ? 终边上任意一点,那么:(设

y x

r ? x2 ? y 2 ) y x y x sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? r r x y y 3、 sin ? , cos? , tan ? 在四个象
限的符号和三角函数线的画法:

???? ???? ? 余弦线: OM ??? ? 正切线: AT
正弦线: MP

P

T

O

M

Ax

4、 特殊角的三角函数值

?
? 12

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

2? 3

§4 同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ? §5 三角函数的诱导公式( k ? Z )

2、正弦/余弦/正切/余切函数的相关性质:定义域、值 域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单 调性、周期性. 3、五点法作图:对称轴/极值点/零点 4、周期函数:对于函数 f ( x ) ,若存在一非零常数 T , 使得当 x 取定义域内的每一个值时,均有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则函数 f ( x) 就称为周期函数,非 零常数 T 称为此函数的周期.

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质( k ? Z )

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域 最值 周期性 奇偶性

R
[-1,1]

R
[-1,1]

?x | x ? k? ? ? / 2, k ? Z?
R


x ? 2k? ? ? / 2时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? / 2时,ymin ? ?1

x ? 2k? 时,ymax ? 1; x ? 2k? ? ? 时,ymin ? ?1

T ? 2?


T ? 2?


T ??


?2k? ? ? / 2,2k? ? ? / 2? : ?
单调性

?2k? ? ? ,2k? ? : ? ?2k? ,2k? ? ? ? : ?
对称轴方程: x ? k? 对称中心: k? ? ?

?2k? ? ? / 2,2k? ? 3? / 2? : ?
对称轴方程: x ? k? ? ?

? k? ? ? / 2, k? ? ? / 2? : ?
对称轴:无

/2

对称性

对称中心: k? , 0

?

?

?

/ 2, 0?

对称中心:

? k? / 2, 0?

§7 函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象 1、 y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? : 振幅 A ,周期 T ? 率f ?

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 y ? sin(? x ? ? ), y ? cos(? x ? ? ) 的 周 期 为 ⑴

2?

1 ? ? . T 2? 2、y ? sin x 与 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B 的图象之间的平
移伸缩变换 ① 先平移后伸缩:

?

,初相 ? ,相位 ?x ? ? ,频

T?

? 2? ; y ? tan(? x ? ? ) ( x ? k? ? , k ? Z ) 的周 2 |? |

? . ? x ? R A, ?,?为常且A ? 0? . ; |? | ( ? ) ⑵ 对 于 y ? As i n? x ? 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来
期为 T ? 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.求 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,只 需令 ? x ? ? ? k? ?

y ? sin x ????? y ? sin ? x ? ? ? ? 左+右- ? ?
平移 ? 个单位 横坐标不变 ????? y ? A sin ? x ? ? ? 纵坐标 ? A 纵坐标不变 ????? y ? A sin ?? x ? ? ? 横坐标? 1/ ?

( k ? Z ) 与 ? x ? ? ? k? (k ? Z ) 解 2 出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征: A ?

?

????? y ? A sin ?? x ? ? ? ? B ?上 +下- ? ?
平移 B 个单位



先伸缩后平移:

要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max .? 2 2

y ? sin x ?????
横坐标不变 纵坐标 ? A 纵坐标不变 ????? 横坐标? 1/? 平移 ? /? 个单位 平移 B 个单位

y ? A sin x y ? A sin ?? x ?

§8 三角函数模型的简单应用 课本例题.

?????? y ? A sin ?? x ? ? ? ? 左+右- ? ????? y ? A sin ?? x ? ? ? ? B ?上 +下- ? ?

三角恒等变换(必修 4 第三章)
§1 积化和差与和差化积

sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? tan? ?tan ? tan ?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? . tan? ?tan ? tan ?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? .
§2 倍角公式 1、 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? sin ? cos? ? 1 sin 2? 2 2 2 2、 cos2? ? cos ? ? sin ?
变形

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C; a b c ? sin A ? ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C.
应用:⑴ 已知△两角和任一边,求其它元素; ⑵ 已知△两边和其中一边的对角, 求其它元素。 2、余弦定理:

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? cos B ? , ? 2ac ? ? a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . ? 2ab ?

? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 变形 升幂: ? 2 ?1 ? cos 2? ? 2sin ? ? ?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂: ? ?sin 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2

应用:⑴已知△两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知△三边,求其它元素。 3、面积公式:

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 2 S ?ABC 内切圆半径: r ? a?b?c S ?ABC ?
4、射影定理: a ? b cos C ? c cos B 5、利用 ?ABC 中,

? 2 tan ? ; 1 ? tan2 ? sin 2? ? 2 tan ? ; 1 ? tan2 ? 2 cos 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ? sin 2? 1 ? cos 2? ? 4、 tan ? ? 1 ? cos 2? sin 2?
3、万能公式: tan 2? §3 简单的三角恒等变换 1、辅助角公式

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) : 2 2 2 ① sin A ? sin ? B ? C ? c o s ? ? c o B ?C A ?s ?

tan A ? ? tan ? B ? C ? A B?C A B?C cos ? sin ② sin ? cos 2 2 2 2 A B?C tan ? cot 2 2
③ a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ① 辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定 b ② tan ? ? a
2、常用策略: ① 结构同化:利用切弦互化、降次等化为同名/同角/ 同次三角函数; ② 常数代换: 1 ? sin x ? cos x ? tan 45 ? sin 90 ; 特殊角值等.
2 2 ? ?

sin 2 A ? sin 2 B ? A ? B或A ? B ?

?
2

.

④ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ⑤ 锐角 ?ABC 中, A ? B ?

? , sin A ? cos B , 2

cos A ? cos B , a 2 ? b2 ? c 2 ,钝角情况可类比得出.

解三角形 (必修 5 第一章)
1、正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
R : ?ABC 外接圆的半径


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