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福建省宁德市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


宁德市 2013—2014 学年度第一学期高一期末考试 数学(必修 1、3)试题(A)
(考试时间:120 分钟 试卷总分 150 分) 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差:

1 s 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为样本平均数.

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

? . ? ? y ? bx ,a

2

i

? nx

2

第 I 卷 (选择题 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置. 1.以下赋值语句书写正确的是 A. 2 ? a B. a ? a ? 1 C. a ? b ? 2 D. a ? 1 ? a

2.下列式子中,不正确 的是 ... A. 3 ?{x | x ? 4} C. {0} ? ? ? B. {?3} R ? {?3} D. {?1} ? {x | x ? 0} 甲 乙 9.3 6.2
第3题

3.某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛 中所得的平均环数 x 及其方差 s 如表所示,若从中 选送一人参加决赛,则最佳人选是 A.甲 C.丙 B.乙 D.丁
2

丙 9.3 5.7

丁 9.2 6.4

x

9.1 5.7

s2

4.函数 f ( x) ? lg x ? 1 ? 2x 的定义域为

1 A. (0, ] 2

1 B. (0, ) 2

1 C. [ , ??) 2

D. [2, ??)

5. 某学校有教师 160 人, 其中高级、 中级和初级职称的教师分别有 32 人、 64 人和 64 人. 为 了了解教师的身体状况, 用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本. 若所抽取的样本中 中级职称教师有 16 人,则 n 的值为 A.32 B.36
x

C.38

D.40

6. 在同一坐标系中,函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? log a x 的图象可以是
y y
1 -1

y
1 1

y
1

1

1 1

O

x

O

x

O

x

O 1

x

A.

B.

C.

D.

7.将某选手的 7 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低 分,剩余 5 个得分的平均分为 91,现场做的 7 个得分 的茎叶图(如图)后来有一个数据模糊,无法辨认, 在图中用 x 表示,则 x 的值为 A.0 C.5
3

8 9

6 3

8 0

4
开始

x 6

第7题

B.4 D.7
3

T ? 1, i ? 1

8.设函数 f ( x) ? 4 x ? x ? 8 ,用二分法求方程 4 x ? x ? 8 ? 0 的近似 根过程中,计算得到 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,则方程的根落在区间 A. (1,1.5) C. (2, 2.5) B. (1.5, 2) D. (2.5,3)
i>5? 是 输出 T 结束 第9题 否

i ? i ?1

1 1 1 1 9.如图所示的程序框图,若执行的运算是 1? ? ? ? ,则在 2 3 4 5
空白的执行框中,应该填入 A. T ? T ? i B. T ? T ? (i ? 1)

1 C. T ? T ? i ?1

1 D. T ? T ? i

10 . 已 知 函 数 f ( x) ? x , g ( x) 为 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , g ( x)? 2x? 2 x .记
?a, a? b .给出下列关于函数 F ( x) ? max{ f ( x), g ( x)}( x ? R) 的说法: m a? xa b? ,?? ?b, a ? b
2 ①当 x ? 3 时,F ? x ? ? x ? 2x ; ②函数 F ? x ? 为奇函数; ③函数 F ? x ? 在 [-1,1] 上为增函数;

④函数 F ? x ? 的最小值为 ?1 ,无最大值. 其中正确的是 A.①②④ B.①③④ C.①③ D.②④ 第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11.已知幂函数 f ( x) ? x? 在 [1, 2] 上的最大值与最小值的和为 5 ,则 ? = 12.已知函数 f ( x) 的定义域和值域都是 {1, 2,3, 4,5} ,其对应关 系如下表所示,则 f ( f (4)) ? . 4 1 5 2 n=5 s=0 WHILE s<14 s=s+n n=n-1 WEND PRINT n END .

x
f ( x)

1 5

2 4

3 3

2

13.运行如图所示的程序,其输出的结果为


第 13 题

14 .如图,在 Rt △ ABC 中, AB ? 4 , BC ? 3 ,点 P 在边 BC 上 沿 B ? C 运 动 , 则 ?ABP 的 面 积 小 于 4 的 概 率 为 . C P

?1, x ? M 15.函数 f M ( x ) 的定义域为 R,且定义如下: f M ( x) ? ? (其中 M 是非空实数集) .若 ??1, x ? M A B 第 14 题 非空实数集 A, B 满足 A B ? ? ,则函数 g ( x) ? f A B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) 的值域为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 16. (本题满分 13 分) (Ⅰ)已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} , A ? {1, 4,5} , B ? {2,3,5} ,记 M ? (? U A) 求集合 M ,并写出 M 的所有子集; (Ⅱ)求值: lg 4 ? lg 25 ? 4
? 1 2

B,

? (4 ? ??? .

17. (本题满分 13 分) 运行右图所示的程序框图,当输入实数 x 的值为 ?1 时,输出的函数值为 2 ;当输入实数

x 的值为 3 时,输出的函数值为 7 .
(Ⅰ)求实数 a , b 的值;并写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求满足不等式 f ( x ) ? 1 的 x 的取值范围.
开始

输入 x 否

x<0? 是

f ( x) ? a x ?1

f ( x) ? bx

输出 f ( x)

3

结束

18.(本题满分 13 分) 研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量 y (吨)与气温 x (℃)之间的关系,随 机统计并制作了 5 天该小区居民用水量与当天气温的对应表: 日期 气温 x (℃) 用水量 y (吨) 9月5日 18 57 10 月 3 日 15 46 10 月 8 日 11 36 11 月 16 日 9 37 12 月 21 日 -3 24

(Ⅰ) 若从这随机统计的 5 天中任取 2 天, 求这 2 天中有且只有 1 天用水量低于 40 吨的 概率(列出所有的基本事件) ;
? ? 1.4 ,试求出 a ? ?a ? 的值,并预测当地 ? ? bx ? 中的 b (Ⅱ)由表中数据求得线性回归方程 y

气温为 5℃时,该生活小区的用水量.

19. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? a , g ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 [?1, 2m] 上不 具有 单调性,求实数 m 的取值范围; . .. (Ⅱ)若 f (1) ? g(1) . (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)设 t1 ?

1 f ( x) , t2 ? g ( x) , t3 ? 2x ,当 x ? (0,1) 时,试比较 t1 , t 2 , t3 的大小. 2

20. (本题满分 14 分) 某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况, 得出如下该种产品日需求量的频率分布
4

直方图. (Ⅰ)求图中 a 的值,并估计日需求量的众数; (Ⅱ)某日,经销商购进 130 件该种产品,根据近期市场行情,当天每售出 1 件能获利 3 0 元,未售出的部分,每件亏损 20 元.设当天的需求量为 x 件( 100 ? x ? 150 ),纯利润 为 S 元. (ⅰ)将 S 表示为 x 的函数; (ⅱ)根据直方图估计当天纯利润 S 不少于 3400 元的概率.
频率/组距
0.030

a
0.017 0.015 0.013

100 110 120 130 140 150 需求量 x/件

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 4x ?

a ? b(a, b ? R) 为奇函数. x

(Ⅰ)若 f (1) ? 5 ,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? t 在 ?1, 4? 上恒成立,求实数 t 的最小值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求证:函数 g ( x) ? f (2x ) ? c(c ? R) 在 (??, ?1] 上至多有一个零点.

5

宁德市 2013—2014 学年度第一学期高一期末抽考 数学(必修 1、3)试题参考答案及评分标准(A) (1)本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可参照本答 案的评分标准的精神进行评分. (2)对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 立意,可酌情给分,但原则上不超过后面应得的分数的一半;如果有较严重的错误,就不给 分. (3)解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. (4)评分只给整数分,选择题和填空题均不给中间分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.A 9.D 10.B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

11. 2

12.5

13.1

14.

2 3

15. {0}

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16.(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ U ? {1, 2,3, 4,5,6} , A ? {1, 4,5} , ∴? U A ? {2,3,6} ,?????????????????????????2 分 ∴ M ? (? U A)
B ? {2,3,6} {2,3,5} ? {2,3} .??????????????4 分
6

∴ M 的所有子集为: ?,{2},{3},{2,3} .????????????????7 分 (说明:子集少一个扣一分,少两个不给分. ) (Ⅱ) lg 4 ? lg 25 ? 4
? 1 2

? (4 ? ???

? lg100 ?
?2? ?

1 4

? 1 ??????????????????????????3 分

1 ? 1 ????????????????????????????5 分 2

3 .??????????????????????????????6 分 2

17. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ x ? ?1 ? 0 , ∴ f (?1) ? ?b ? 2 , ∴ b ? ?2 .??????????????????????????????2 分 ∵x?3?0, ∴ f (3) ? a3 ? 1 ? 7 , ∴ a ? 2 .??????????????????????????????4 分
?2 x ? 1, x ? 0 ∴ f ( x) ? ? .????????????????????????6 分 ??2 x, x ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

1 ①当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x ? 1 ,∴ x ? ? ????????????????8 分 2
②当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 1 ? 1,∴ x ? 1 ????????????????11 分

1 ∴满足不等式 f ( x ) ? 1 的 x 的取值范围为 {x x ? ? 或 x ? 1} .????????13 分 2
(说明:结果写成区间或不等式都对.) 18. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设在抽样的 5 天中用水量低于 40 吨的三天为 ai (i ? 1,2,3) ,用水量不低于 40 吨的两天为 bi (i ? 1,2) , 那么 5 天任取 2 天的基本事件是: (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , a3 ) ,

(a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (b1 , b2 ) ,共计 10 个. (a2 , a3 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) ,
??????????????????????????????????3 分 设“从 5 天中任取 2 天,有且只有 1 天用水量低于 40 吨”为事件 A ,包括的基本事件

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , 为 (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) 共 6 个,??5 分
则 p ( A) ?

3 . 5
3 .??????7 分 5

∴从 5 天中任取 2 天,有且只有 1 天用水量低于 40 吨的概率为

(学生由列表或画树状图得出 20 个基本事件, 并由此得出正确结论得满分; 没有列出基 本事件且结论正确给 3 分)
7

(Ⅱ)依题意可知

x?

18 ? 15 ? 11 ? 9 ? (?3) ? 10 , 5

y?

57 ? 46 ? 36 ? 37 ? 24 ? 40 ,???????????????????9 分 5

? ? 1.4 , ∵线性回归直线过点 (x , y ) ,且 b
? ? 26 ,????????????????11 分 ∴把点 (10, 40) 代入直线方程,得 a

? ? 1.4 x ? 26 ∴y

又 x ? 5 时, y ? 1.4 ? 5 ? 26 ? 33 ∴可预测当地气温为 5℃时,居民生活用水量为 33 吨.???????????13 分 19. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? 2x2 ? 4x ? a 开口向上,对称轴为 x ? 1 , ∴函数 f ( x) 在 (??,1] 单调递减,在 [1, ??) 单调递增,??????????2 分 ∵函数 f ( x) 在 [?1, 2m] 上不单调 ∴ 2m ? 1 ,得 m ?

1 , 2

1 2 (Ⅱ) (ⅰ)∵ f (1) ? g (1) ,

∴实数 m 的取值范围为 ( , ??) ????????????????????5 分

∴ ?2 ? a ? 0 ∴实数 a 的值为 2 .?????????????????????????8 分 1 (ⅱ)∵ t1 ? f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ,????????????????9 分 2 t2 ? g ( x) ? log2 x ,
t3 ? 2x ,

∴当 x ? (0,1) 时, t1 ? (0,1) , t2 ? (??,0) , t3 ? (1, 2) ,????????????12 分 ∴ t2 ? t1 ? t3 .?????????????????????????????13 分 20.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由直方图可知: (0.013+0.015+0.017+ a +0.030)×10=1, ∴ a ? 0.025 .????????????????????????????2 分 120 ? 130 ∵ ? 125, 2 ∴估计日需求量的众数为 125 件. ???????????????????4 分 (Ⅱ) (ⅰ)当 100 ? x ? 130 时, S ? 30 x ? 20(130 ? x) ? 50 x ? 2600, ?????6 分 当 130 ? x ? 150 时, S ? 30 ? 130 ? 3900, ????????????????8 分
?50 x ? 2600,100 ? x ? 130 ∴S ?? .????????????????????9 分 130 ? x ? 150 ?3900, (ⅱ)若 S ? 3400 由 50 x ? 2600 ? 3400 得 x ? 120 ,

∵ 100 ? x ? 150 , ∴ 120 ? x ? 150 .???????????????????????????11 分
8

∴由直方图可知当 120 ? x ? 150 时的频率是 (0.030 ? 0.025 ? 0.015) ? 10 ? 0.7 , ∴可估计当天纯利润 S 不少于 3400 元的概率是 0.7.????????????14 分 21.(本题满分 14 分) a 解:(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? 4x ? ? b(a, b ? R) 为奇函数, x a a ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 ?4 x ? ? b ? ?4 x ? ? b , x x ∴ b ? 0 ,??????????????????????????????2 分 又 f (1) ? 4 ? a ? b ? 5 , ∴ a ?1

1 ∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 4 x ? .?????????????????4 分 x 2 (Ⅱ) a ? ?2 , f ( x) ? 4 x ? . x 2 ∵函数 y ? 4 x, y ? ? 在 [1, 4] 均单调递增, x ∴函数 f ( x) 在 [1, 4] 单调递增,??????????????????????6 分
31 .??????????????????7 分 2 ∵不等式 f ( x ) ? t 在 ?1, 4? 上恒成立,
∴当 x ??1,4? 时, f ( x)max ? f (4) ? ∴t ?

31 , 2 31 .????????????????????????9 分 2
x

∴实数 t 的最小值为

(Ⅲ)证明: g ( x) ? 4 ? 2 ? 设 x1 ? x2 ? ?1 ,

a ?c, 2x

a a ? c) ? (4 ? 2 x2 ? x2 ? c) x1 2 2 2 x1 ? x2 x2 2 x2 ? x1 x1 4?2 ? a ?2 ? 4?2 ? a?2 ? x1 ? x2 2 x1 ? x2 x1 4?2 (2 ? 2 x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? (4 ? 2 x1 ?
(4 ? 2 x1 ? x2 ? a)(2 x1 ? 2 x2 ) ? ???????????? 2 x1 ? x2
????????11 分 ∵ x1 ? x2 ? ?1 , ∴ x1 ? x2 ? ?2, 4 ? 2 1 ∴ 4? 2 1
x ? x2

x ? x2

? 4 ? 2?2 ? 1,

∵ a ? 1 ,即 ?a ? ?1 ,

? a ? 0 ,又 2x1 ? 2x2 ? 0, 2x1 ? x2 ? 0 ,

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 )
9

∴函数 g ( x) 在 ( ??, ?1] 单调递减,????????????????????13 分 又 c ? R ,结合函数图像知函数 g ( x) 在 ( ??, ?1] 上至多有一个零点.?????14分

10


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