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江苏省徐州市2010-2011学年度第一学期高二数学期末考试理科试题及答案

江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试

高二数学(理)试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是 ▲ . ▲ . ▲ .

2.命题“ ?x ? R, x 2 + 1 ? 0 ”的否定是

3.过点 A ? 3,2 ? 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程是

4.已知直线 l1 : 2 x ? my ? 3 ? 0 与直线 l2 : 3x ? y ? 1 ? 0 相互垂直,则实数 m 等于 ▲ . 5.已知正四棱柱的底面边长是 3 ,侧面的对角线长是 3 5 ,则这个正四棱柱的侧面积 为 ▲ .

6.已知点 A?8, ?6? 与圆 C : x 2 + y 2 ? 25 , P 是圆 C 上任意一点,则 AP 的最小值 是 ▲ .

7.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则实数 m 等于 m 4
▲ . ▲ .





8.棱长为 1 的正方体的外接球的表面积为

9.曲线 f ? x ? ? 2x2 ? x3 在 x ? 1 处的切线方程为

10.已知向量 a ? ? ?2,3,2? , b ? ?1, ?5, ?1? ,则 ma + b 与 2a ? 3b 相互垂直的充要条件 为 11.椭圆 ▲ .

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过点 F1 且垂直于 x 轴的弦的 a2 b2
▲ .

弦长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

12.设 ? , ? 为两个不重合的平面, l , m , n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若

m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n , l ? ? ; 则 ②若 l ? m, m ? ? , n ? ? , l ? n ; 则 ③若 ? ? ? ,l ? ? ,
则 l ? ? ;④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ? ? .其中正确命题的序号是 ▲ .

??? ??? ???? ? ? 13.设 F 为抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点,点 A, B, C 在此抛物线上,若 FA + FB + FC? 0 ,则
??? ??? ??? ? ? ? FA + FB + FC?
▲ .

14.如图,有一块半椭圆形的钢板,其长半轴长为 2r ,短半轴长 为 r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆 的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,则梯形 ABCD 的面积 S 的 最大值为 ▲ .
(第 14 题图)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知过点 A? ?1,4? 的圆的圆心为 C ? 3,1? . ⑴求圆 C 的方程; ⑵若过点 B ? 2, ?1? 的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.

16.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是正方形, ? 平面 ABCD , ? AB ? 2 , PA PA 且 E , F 分别是 BC , CD 的中点. ⑴求证:平面 PEF ? 平面 PAC ; ⑵求三棱锥 P ? EFC 的体积.

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,一条直线 l 经过点 F1 与椭圆交于 A, B 两点. 4 3

⑴求 ?ABF2 的周长; ⑵若 l 的倾斜角为

? ,求 ?ABF2 的面积. 4

18.(本小题满分 16 分) 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 p ? L ? 关于行驶速度 v ? km / h ? 的函数解析式 可以表示为: p ?

1 3 v3 ? v ? 8? 0 ? v ≤120? .已知甲、乙两地相距 100km ,设汽 128000 80

车的行驶速度为 x(km / h) ,从甲地到乙地所需时间为 t ? h ? ,耗油量为 y ? L ? . ⑴求函数 t ? g ? x ? 及 y ? f ? x ? ; ⑵求当 x 为多少时, y 取得最小值,并求出这个最小值.

19.(本小题满分 16 分) 在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC

? BD ? 2AE , M 是 AB 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:
⑴求证: CM ? EM ; ⑵求 CM 与平面 CDE 所成角的大小.

(第 19 题图)

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 g ? x ? ?

1 + ln x 在 ?1, +? ? 上为增函数,且 ? ? ? 0, ?? , f ? x ? ? mx ? x? ? sin

m ?1 ? ln x ? m ?R ? . x
⑴求 ? 的值; ⑵若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, +? ? 上为单调函数,求实数 m 的取值范围; ⑶设 h ? x ? ?

2e ,若在 ?1,e? 上至少存在一个 x 0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? h ? x0 ? 成立, x

求实数 m 的取值范围.

江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试

高二数学(理)答案与评分标准
一、填空题: 1. 1,0 ? ?

? 2. x ?R, x2 + 1≤ 0

3.2 x ? y ? 4 ? 0

6 4.

72 5.

5 6.

7. 4

3? 8.

9. x ? y ? 0 10. 二、解答题:

17 13

11.

1 2

12.②③④ 13. 12

14.

3 3 2 r 2

15.⑴圆 C 半径 r 即为 AC ,所以 r ? AC ?
2 2

? ?1 ? 3?

2

+ ? 4 ? 1? ? 5 ,?????2 分
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 3? + ? y ? 1? ? 25 .??????????????6 分 ⑵圆心 C 到直线 l 的距离为 52 ? 2 5

?

?

2

? 5 ,??????????????8 分

当直线 l 垂直于 x 轴时,方程为 x ? 2 ,不满足条件,所以直线 l 的斜率存在,10 分 设直线 l 的方程为 y + 1 ? k ? x ? 2? ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 , 由

3k ? 1 ? 2k ? 1 k 2 + ? ?1?
2

1 ? 5 ,解得 k ? ? ,所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 .?14 分 2

16.⑴连结 BD ,因为 ABCD 是正方形,所以 BD ? AC , 因为 E , F 分别是 BC , CD 的中点, 所以 EF ? BD ,所以 EF ? AC ,?????????4 分 因为 PA ? 平面 ABCD , EF ? 平面 ABCD , 所以 EF ? PA,因为 PA ? AC ? A , 所以 EF ? 平面PAC , 因为 EF ? 平面 PEF ,所以平面 PEF ? 平面 PAC .??????????8 分 ⑵ VP? EFC ? S?EFC ? PA ? ? ?1?1? 2 ?

1 3

1 1 3 2

1 .??????????????14 分 3

17.由椭圆的定义,得 AF1 ? AF2 ? 2a, BF1 ? BF2 ? 2a ,又 AF ? BF ? AB , 1 1 所以, ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a .
2 又因为 a ? 4 ,所以 a ? 2 ,故 ?ABF2 点周长为 8 .????????????6 分

⑵由条件,得 F1 (?1 , 0) ,因为 AB 的倾斜角为

? ,所以 AB 斜率为1 , 4

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .?????????????????????8 分

? y ? x ? 1, ? 由 ? x2 y 2 消去 x ,得 7 y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ,??????????????10 分 ? ? 1, ? 3 ?4
3? 6 2 3?6 2 , y2 ? , 7 7 1 1 12 2 12 2 ? 所以, S?ABF2 ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? .??????????14 分 2 2 7 7 100 18.⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为 t ? g ? x ? ? ? 0 ? x ≤120? ,???2 分 x
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,解得 y1 ?

3 ? 1 ? 100 x3 ? x ? 8 ? ? 则 y ? f ? x ? ? pt ? ? 80 ? 128000 ? x

1 2 800 15 x ? ? ? 0 ? x ≤120? .???????????????8 分 1280 x 4 3 x 800 x ? 803 ? 2 ? ⑵ y? ? ,由 y ? ? 0 ,得 x ? 80 ,列出下表: 640 x 640 x 2 ?

x
f ?? x? f ? x?

? 0,80?
?


80
0

?80,120?
+


极小值 11.25

所以,当 x ? 80 时, y 取得极小值也是最小值 11.25 .??????????15 分 答:当汽车的行驶速度为 80km / h 时,耗油量最少为 11.25L .???????16 分 19.⑴分别以 CB, CA 所在直线为 x, y 轴,过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz .????????????????2 分 设 AE ? a ,则 M ? a, ?a,0? , E ? 0, ?2a, a ? , 所以 CM ? ? a, ?a,0? , EM ? ? a, a, ?a ? ,???4 分 所以 CM ? EM ? a ? a + ? ?a ? ? a + 0 ? ? ?a ? ? 0 , 所以 CM ? EM .??????????8 分

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

⑵ CE ? ? 0, ?2a, a ? , CD ? ? 2a,0,2a ? ,设平面 CDE 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,

??? ?

??? ?

??2ay ? az ? 0, ? z ? 2 y, 则有 ? 即? 令 y ? 1 ,则 n ? ? ?2,1, 2? ,???????12 分 ?2ax ? 2az ? 0, ? x ? ? z,
???? ? ???? ? CM ? n a ? ? ?2 ? + ? ? a ? ? 1 + 0 ? 2 2 cos CM , n ? ???? ? ?? ,???????14 分 ? 2 2a ? 3 CM n
所以,直线 CM 与平面 CDE 所成的角为 45? .?????????????16 分 20.⑴由题意, g ? ? x ? ? ?

1 1 x ? sin ? ? 1 + ≥ 0 在 ?1, +? ? 上恒成立,即 2 ≥0 . x ? ? x sin x ? sin ?
2

因为 ? ? ? 0, ?? ,所以 sin ? ? 0 ,故 x ? sin ? ? 1≥ 0 在 ?1, +? ? 上恒成立, 因为 y ? x ? sin ? ? 1 是增函数,所以只要 1 ? sin ? ? 1≥ 0 ,即 sin ? ≥ 1 ,

? .?????????????3 分 2 1 m ⑵由⑴得, g ? x ? ? + ln x ,所以 f ? x ? ? g ? x ? ? mx ? ? 2ln x . x x mx 2 ? 2 x + m m 令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? mx ? ? 2ln x ,则 F ? ? x ? ? . x2 x
所以 sin ? ? 1 ,因为 ? ? ? 0, ?? ,所以 ? ? 因为 F ? x ? 在其定义域内为单调函数, 所以 mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 在 ?1, +? ? 上恒成立,????5 分

mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 等价于 m x 2 + 1 ≥ 2 x ,即 m ≥


?

?

2x 在 ?1, +? ? 上恒成立, x +1
2

2x 2 2 ? ≤ ? 1 ,当且仅当 x ? 1 是等号成立,所以 m ≥ 1 .?7 分 1 x +1 x + 1 2 x? x x
2

对于 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 在 ?1, +? ? 上恒成立,设 ? ? x ? ? mx2 ? 2 x + m ,则 ①当 m ? 0 时, ?2 x ≤ 0 在 ?1, +? ? 上恒成立;

? m ? 0, ? ?1 ② ? ? 1, 解得 m ? 0 . m ? ?? ?1? ? 2m ? 2 ? 0, ?
所以 m ≤ 0 . 综上, m 的取值范围是 ? ??,0? ? ?1, +?? .????????????????10 分 ⑶设 H ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ? mx ?

m 2e ? 2ln x ? . x x

1? 2e ? ①当 m ≤ 0 时,因为 x ??1, e? ,所以 m ? x ? ? ≤ 0 ,且 ?2ln x ? ? 0, x? x ?
所以 H ? x ? ? 0 , 所以在 ?1,e? 上不存在一个 x 0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? h ? x0 ? 成立.????12 分 ②当 m ? 0 时, H ? ? x ? ? m +

m 2 2e mx 2 ? 2 x + m + 2e ? + ? , x2 x x2 x2

因为 x??1,e? ,所以 2e ? 2 x ≥ 0 ,又 mx 2 + m ? 0 , 所以 H ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 上恒成立, 所以 H ? x ? 在 ?1,e? 上是单调增函数, H ? x ?max ? H ? e ? ? me ? 所以只要 me ?

m ?4. e

4e m . ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 e ?1 e

? 4e ? , +? ? .???????????????????16 分 故 m 的取值范围是 ? 2 ? e ?1 ?


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