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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 理 新人教A版


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos αsin β sin(α± β)= sin αcos β± ; sin αsin β cos(α?β)= cos αcos β± ;
tan α± tan β tan(α± β)= 1?tan αtan β

.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 2 2 cos α - sin α 2cos α - 1 1 - 2sin α cos 2α= = = 2tan α 1-tan2α tan 2α= .



1 .在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易 错.

2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 所对应的角 α+β 不是 2 唯一的.

[试一试]
1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为 2 A.- 2 3 C. 2 2 B. 2 D.1 ( )

答案:B

α 3 2.(2013· 江西高考)若sin = ,则cos α= 2 3 2 A.- 3 1 C. 3 1 B.- 3 2 D. 3

(

)

? 3? α 3 ?2 2 α 解析:因为 sin = ,所以 cos α=1-2sin =1-2×? ? 3 ? 2 3 2 ? ?

1 = . 3

答案:C

1.公式的常用变形

(1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β);
1+cos 2α 1-cos 2α 2 (2)cos α= ,sin α= ; 2 2
2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± 4 ? ?

2.角的变换技巧
2α=(α+β)+(α-β);

α+β α-β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2
? α-β ? β? ?α =?α+2?-?2+β?. 2 ? ? ? ?

3.三角公式关系

[练一练]
1.已知
? ?π ? 2 π? 3 tan?α-6 ?= ,tan?6+β?= ,则 ? ? 7 ? ? 5

tan(α+β)的值为 (

)

29 A. 41

1 B. 29

1 C. 41

D.1

答案:D

? π? 2 2? 2.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos α+4?= 3 ? ?

(

)

1 A. 6

1 B. 3
2?

1 C. 2

2 D. 3

π? 解析:法一:cos α+4? ? ?
? π?? 1 1? 1 ? ? ? ? = 1+cos 2α+2 = (1-sin 2α)= . 2? 6 ? ?? 2 ? π? 法二: cos?α+4 ?= ? ?
2

?

? π? 1 2 2 2? cos α- sin α, 所以 cos α+4?= (cos α 2 2 ? ? 2

1 1 1 -sin α) = (1-2sin αcos α)= (1-sin 2α)= . 2 2 6 答案:A

?π ? 3 1.已知sin α= ,α∈?2,π?,则 5 ? ?

=________. ? π? 2sin?α+4? ? ?

cos 2α

cos2α-sin2α 解析: = ? =cos α-sin α, ? ? π? 2 ? 2 2sin?α+4 ? 2? sin α+ cos α? ? ? ? 2 ? 2 ? cos 2α
?π ? 3 4 7 ? ? ∵sin α= ,α∈ 2,π ,∴cos α=- .∴原式=- . 5 5 5 ? ? 7 答案:- 5

2.(2013· 四川高考)设sin 2α=-sin 的值是________.

?π ? α,α∈?2,π?,则tan ? ?



1 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=- ,又 2
?π ? α∈ ?2,π? ,∴sin ? ?

3 α= ,tan α=- 3 ,∴tan 2α= 2

-2 3 2tan α 2 = 2= 3. 1-tan α 1-?- 3?

答案: 3

?1 π? ? 3.已知函数 f(x)=2sin 3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f ? 4 ?的值; ? ?

? ? π? π? 10 6 ? ? ? ? (2)设 α,β∈ 0,2 ,f 3α+2 = ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? 13 ?1 ?5π? ?5π π? π? π 解:(1)∵f(x)=2sin?3x-6 ?,∴f ? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. 4 ? ? ? ? ? ?
? π? ? (2)∵α,β∈ 0,2 ?,f ? ? ? π? 10 6 ?3α+ ?= ,f(3β+2π)= , 2 ? 13 5 ?

? π? 6 10 5 3 ∴2sin α= ,2sin?β+2 ?= .即sin α= ,cos β= . 13 13 5 ? ? 5

12 4 ∴cos α= ,sin β= .∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 13 5 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65

[类题通法]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广, 可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用两角和与 差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成 统一角和角与角转换的目的.

[典例]

(1)(2013· 长春二模)在△ABC 中,若 tan A· tan B= ( 1 D.- 2 )

tan A+tan B+1,则 cos C 的值是 2 A.- 2 2 B. 2 1 C. 2

能否求出tan(A+B)?

提醒:C=π-(A+B)

[ 解析] (1)由 tan A tan B = tan A + tan B +1,可得 tan A +tan B =-1,即 tan(A +B )=-1, 1-tan A tan B 3π π 2 所以 A +B = ,则 C= ,cos C= .故选 B. 4 4 2

[ 典例] 1 A.- 2
统 一 角

sin 110°sin 20° (2) 2 的值为 2 cos 155°-sin 155° 1 3 B. C. 2 2
110° 155° 70° 310° 20° 50°

(

) D.- 3 2

统一为40°

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° [ 解析] = cos 310° cos2155°-sin 2155° 1 cos 20°sin 20° 2sin 40° 1 = = = . 故选 B. [答案] (1)B (2)B cos 50° sin 40° 2

[类题通法]
运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1 -tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.

[针对训练] ? ? π? π? 4 3 1.(2014· 赣州模拟)已知 sin?α+6 ?+cos α= ,则 sin?α+3 ?的 5 ? ? ? ?
值为 4 A. 5 3 B. 5 3 C. 2 ( 3 D. 5 )

3 3 4 3 解析:由条件得 sin α+ cos α= , 2 2 5 1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5
? π? 4 ∴sin?α+3 ?= . ? ? 5

答案:A

3π 2.若α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 tan α+tan β 3π 解析:-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β
∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2.

答案:2

3 [ 典例] (2014· 常州一模)已知α ,β均为锐角,且 sin α = , 5 1 tan(α -β)=- . β与α、(α-β)有什么关系 3 (1)求 sin(α -β)的值;(2)求 cos β的值.
确定α-β的范围,进而求sin(α-β).
π π π [ 解] (1)∵α, β∈(0, ),从而- <α -β< . 2 2 2 1 又∵tan(α -β )=- <0 , 3 π 10 ∴- <α -β<0. ∴sin(α -β )=- . 2 10
β=α-(α-β)

3 10 (2)由(1)可得,cos(α -β )= . 10 3 4 ∵α 为锐角,且 sin α= ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β=cos[ α -( α -β)] =cos αcos( α- β)+sin α sin(α -β ) 10 4 3 10 3 - 9 10 = × + × . 10 = 5 10 5 50

在本例条件下,求sin(α-2β)的值.
10 3 10 解:∵sin(α-β)=- ,cos(α-β)= , 10 10 9 10 13 10 cos β= ,sin β= . 50 50 ∴ sin(α- 2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α- β)cos β- 24 cos(α-β)sin β=- . 25

[类题通法]
1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个 “已知角”的和或差的形式;

2 .当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”;
3.注意角变换技巧.

[针对训练] ? ? 1 ? ? π π 2 ? ? 1.设 tan??α+β??= ,tan?β-4 ?= ,则 tan?α+4 ?= 5 ? ? 4 ? ?
13 A. 18 3 C. 22 13 B. 22 1 D. 6

(

)

? ? π? π? 解析:tan?α+4?=tan(α+β)-?β-4 ? ? ? ? ? ? π? tan?α+β?-tan?β- 4? 3 ? ? = = . ? π? 22 1+tan?α+β?tan?β- 4? ? ?

答案:C

2. 设 α 为锐角, 若
解析:因为 α 所以 cos

? π? 4 cos?α+6 ?= , 则 5 ? ?

? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

? π? 4 为锐角,cos?α+6 ?= , ? ? 5 ? π? 24 2?α+6 ?= , ? ? 25

? π? 3 sin?α+6 ?= ,sin ? ? 5

? π? 7 2?α+6 ?= , ? ? 25 ? ? ? π? π ? π? ? sin?2α+12?=sin?2?α+ 6 ?-4 ? ? ? ? ? ? ? ?

所以

24 2 7 2 17 2 = × - × = . 25 2 25 2 50

17 2 答案: 50

[课堂练通考点]
?π ? 3 1.(2014· 青岛高三期末)已知sin?4 +x?= ,则sin ? ? 5

2x的值为 ( )

7 C.- 25 ? ? π? π ? ? ? 解析: sin 2x=sin?2 x+4?-2 ? ? ? ? ? ?

24 A.- 25

24 B. 25

7 D. 25

? ? ? ? π? ? π? ? 7 2 ? ? ? ? ? ? ? ? =-cos 2 x+4 =- 1-2sin x+4 =- . 25 ? ? ?? ? ? ??

答案:C

? π? 2.已知cos?x-6 ?=- ? ?

? π? 3 ,则cos x+cos?x-3 ?的值是 3 ? ?

(

)

2 3 A.- 3 C.-1
解析: cos

2 3 B. ± 3 D.± 1
? π? x+cos?x-3 ?=cos ? ?

1 3 3 x+ cos x+ sin x= cos x+ 2 2 2

? 3 ? ? π? 3 1 ? ? sin x= 3? cos x+ sin x?= 3cos?x-6 ?=-1. 2 2 ? ? ? 2 ?

答案:C

2sin -1 ?π? 2 3.若f(α)=2tan α- α α ,则f ?12?=________. ? ? sin cos 2 2
-cos α 2sin α 2cos α 4 解析:∵f(α)=2tan α- = + = , 1 cos α sin α sin 2α sin α 2
?π? ∴f?12?= ? ?



4

π sin 6

=8.

答案:8

1 1 4.已知cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则tan αtan β的值为______. 6 3 1 解析:因为 cos(α+β)= , 6
1 所以 cos αcos β-sin αsin β= . 6 1 1 因为 cos(α-β)= ,所以 cos αcos β+sin αsin β= . 3 3 1 ①+②得 cos αcosβ= . 4 1 sin αsin β 1 ②-①得 sin αsin β= . 所以 tan αtan β= = . 12 cos αcos β 3 ① ②

1 答案: 3

5.已知

?π ? α∈?2,π?,且 ? ?

α α 6 sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求 cos β 的值. 5 ? ?

α α 6 解:(1)因为 sin +cos = , 2 2 2 1 两边同时平方,得 sin α= . 2 π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2

π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- , 2 2 2 π π 3 4 故- <α-β< .又sin(α-β)=- ,得cos(α-β)= . 2 2 5 5 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 4 1 ? 3? =- × + ×?-5? 2 5 2 ? ? 4 3+3 =- . 10


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