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3.1.1直线的倾斜角与斜率学案


沧源民族中学

高一年级数学(必修二)学案

第十九周

2012 年 1 月 2 日

第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率(2 课时)
主备教师:李劲东 一、学习目标 1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率 3、掌握过两点的直线的斜率公式。 二、问题与例题 问题一:在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率? 问题 1: 在平面直角坐标系中过一点 P 能确定几条直线?观察并思考这些直线有 什么共同点和不同点呢? 如图,过点 P 在直角坐标系中可以作出无数条直线。 这些直线的主要的共同点是都过点 P, 不同点是这些直线与 X 轴的倾斜程度不同

由此可以定义直线的倾斜角 直线倾斜角的定义: 并且当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 0 。 如图 ? 为直线 l 的倾斜角

直线 l 的倾斜角分别为:锐角、直角、钝角、 0? 角。 由直线倾斜角的定义可知:直线倾斜角的范围是 0? ≤ ? < 180?


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2012 年 1 月 2 日

问题 2:探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置? 1. 已知直线过点 P 能确定直线的位置吗?

2. 已知直线的倾斜角是 45 时,能确定直线的位置吗?

?

3. 当直线过定点 p 并已知它倾斜角是 45 ,能确定直线的位置吗? 如图:

?

例 1:如图所示,直线 l 的倾斜角是多少度(



A. 45?

B 135

?

C 0?

D. 不存在

变式训练:已知一条直线在第一象限过一点 M,其倾斜角是 30? ,作出这条直线

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2012 年 1 月 2 日

问题二:什么是斜率如何理解斜率? 问题 1: 日常生活中我们描述人走的快慢、 汽车行驶的快慢都是用速率来表示的, 也就是用路程与时间的比来表示的; 我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢? 学生思考并进行讨论学习 如果我们以前进量所在的直线为 x 轴,点 o 为原点建平面直角坐标系,? 就是直 线的倾斜角,也就是说我们可以用倾斜角 ? 的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度(比)=升高量/前进量 即坡度就是倾斜角 ? 的正切值,这个正切值我们称为直线的斜率, 因此 直线斜率的定义: 斜率通常用小写的字母 k 表示,所以 k= tan ? ( ? ≠ 90? , ? = 90? 正切值不存在)
问题 2:探究当 ? 在 0 度到 90 度变化时,斜率是如何变化的?当 ? 在 90 度到 180 度范

围变化时,倾斜角的变化又如何? 下面请同学们计算:当直线斜率是以下角时,直线斜率是多少?
30 45 60 135 150 ? = 0?、 ?、 ?、 ?,? =120?、 ?、 ?

例 2:已知一条直线与 X 轴平行,则这条直线的斜率 k 的值是() A.0 B - 3
C 1 D 不存在

变式训练:正三角形 ABC 在直角坐标系中的位置如图所示,求出三条边所在直 线的倾斜角和斜率

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问题三:已知直线上的两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,且直线 P1P2 与 x 轴不垂直,即 x1≠ x2,直线 P1P2 的斜率是什么? 下图中 P1P2 的水平距离是多少,垂直距离是多少?怎样表示 ? 的正切? y y P2 2, 2) (x y P2 2, 2) (x y

P1(x1,y1)

P1(x1,y1)

?

?

X

X

o
y ? y1 两点间斜率的计算公式 k ? 2 (x1≠x2)。 x2 ? x1

o
(2)

(1)

例 3、已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

变式练习:求经过下列两点直线的倾斜角。 (1) A(2,1) 、 ,B(3,1) ; (2) C(2,1) 、 ,D(2,6)

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2012 年 1 月 2 日

三、目标检测
1.判断下列说法是否正确 (1)在坐标系中,每条直线都有倾斜角 (2)在坐标系中,每条直线都有斜率 (3)一条直线与 x 轴的夹角就是直线的倾斜角 (4)一条直线的倾斜角越大它的斜率越大 (5 两条直线的倾斜角相等,他们的斜率也相等 (6)两条直线的斜率相等,他们的倾斜角相等 2.已知直线的斜率,求它们的倾斜角

(1) k ? 3
四、配餐作业

(2) k ?

3

3

(3) k ? ?1

A组
1、 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) (2) ? =60°;(3) ? =90°; (4) ? = ? =0°;

3? 4

2、若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为

,倾斜角为 。

1 3、已知两点 A(x,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为 ,则 x= 2

B组
4、判断正误: ①直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan? ( ②直线的斜率值为 tan ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ) )

③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率(

④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不存在 5、直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A. ) D.-

? 4

B.

5? 4

C.

? 5? 或 4 4

? 4
)

6、顺次连结 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是( A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对

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C组

7、如图,直线 l1 的倾斜角 ? 1 =30°,直线 l1 ⊥ l 2 ,求 l1 、 l 2 的斜率.
y l2

l1 ?2 x

?1

O

8、求证:点 A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条 直线上。

五:学后反思

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