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鄂州市第二中学2011-2012学年上学期高三期中考试高三数学试卷(理科)答案


鄂州市第二中学 2011-2012 学年上学期高三期中考试

高三数学(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. A 2. C 3. A 4. C 5.D 6. C 7. B 8. A 9. D 10.B

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.
10 2

12. a ? 4 ? a ? 2 ?

?

13.4

14. 6

15. ?③④

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 解: (1)? a // b ,?
? ? 3 4 c o s x ? s in x ? 0 , ? ta n x ? ? 3 4

c o s x ? s in 2 x ?
2

c o s x ? 2 s in x c o s x
2

s in x ? c o s x
2 2

?

1 ? 2 ta n x 1 ? ta n x
2

?

8 5
7? 24

……………….6 分
) ? 2x ?

(2) f ( x ) ? 2 ( a ? b ) ? b ?
? 2

?

?

?

2 s in ( 2 x ?

?
4

)+

3 2

,? x ? ( 0 ,

?
4

?(

?
4

,

5? 6

),

所以最大值是 ?

? 2 ?

?

3 2

,

2 ?

3? ? ……………….12 分 2?
3

17. 解: (1)? S 6 ? 3 6 ? d ? 2 ? a n ? 2 n ? 1 ? q ?

b 4 ? b5 b1 ? b 2

? 8 ? q ? 2 ? bn ? 2

n ?1

…………….6 分 (2) c n ? 1+ a n ? b n = 1 + (2 n -3 ) ? 2
n -1

, 由 错 位 相 减 法 得 T n ? ( 2 n ? 3) ? 2 ? n ? 3 .
n

…………….12 分 18.解 (1) ? f ( x ) ? e ?
' x

1 x ?1

( x ? 0 ), 法 一 : 令 g ( x ) ? e ?
x

1 x ?1

, g ( x) ? e ?
' x

1 ( x ? 1)
2

? 0

? g ( x ) 在 ? 0, ? ? 单 增 , g ( x ) ? g ( 0 ) = 0 , f ( x ) 在 ? 0 , ? ? 单 增 + ? + 法 二 : 先 证 明 e ? x ? 1, x ? 1 ?
x

1 x ?1

?e ?
x

1 x ?1

? f ( x ) 在 ? 0, ? ? 单 增 +

f ( x ) 在 ? 0, ? ? 单 增 ,所以最小值为 f (0 ) =1………….6 分 +

(2)

500×1000x ?1 2 1 19. 解: (1)当 0<x<80(x∈N)时, L(x)= -?3x +10x?-250=- x2+40x-250. ? 10000 3 50×1000x ? 10000 10000 当 x≥80(x∈N)时,L(x)= -?51x+ x -1450?-250=1200-?x+ x ?, ? ? ? 10000

?-3x +40x-250 ?0<x<80,x∈N ? ∴L(x)=? 10000 ?1200-?x+ x ? ?x≥80,x∈N ? ? ?
1
2 * *

……………………….6 分

1 (2)当 0<x<80,x∈N*时,L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950, 当 x≥80,x∈N*时, 10000 ∵L(x)=120-?x+ x ?≤1200-2 ? ? 10000 x· =1200-200=1000, x

10000 ∴当且仅当 x= ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000>950. x 综上所述,当 x=100 时 L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商 品的生产中所获利润最大.……………………….6 分

20. (1) n ? 1 ? 2 a n ? a n ? 1 . ( n ? 2 ),? a n ? 1 ? a n ? a n ? a n ? 1 ? ? ? a 2 ? a 1 ? 1,? a n ? 1 ? a n ? 1 解: a
且 a 2 - a 1 =1 ? a n ? n , ……………………….3 分
( 2) Sn = n n+1 , 只 需 比 较 n + 1 和 2 ? 1的 大 小 , 即 比 较 n + 2 与 2 的 大 小 . ?
n n

当 n = 1 时 , S n ? Tn ; n = 2 时 , S n ? Tn ; n = 3 时 , S n ? Tn , 用 数 学 归 纳 法 或 二 项 式 定 理 证 明 ;

……………………….8 分

(3)假设存在正整数 k , n 使得 ka n ? 2 ? a n 与 ka n ? 3 ? a n ? 1 有大于 1 的公约数 d , 则 d 也是 ( ka n ? 3 ? a n ? 1 ) ? ( ka n ? 2 ? a n ) 即 k ( a n ? 3 ? a n ? 2 ) ? ( a n ? 1 ? a n ) 的约数 依题设有 a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ? 1 , a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? d 是 k a n ? 1 ? a n ? 1 的约数 从而 d 是 ka n ? 2 ? a n 与 k a n ? 1 ? a n ? 1 的公约数同理可得 d 是 ka n ? a n ? 2 的约数依次类推,d 是
ka 4 ? a 2 与 k a 3 ? a 1 的约数……11 分, a 1 ? 1, a 2 ? 0, 故 a 3 ? 1, a 4 ? 1,

于是 ka 4 ? a 2 ? k , ka 3 ? a 1 ? k ? 1,

又∵ k ? 1 ? k ? 1,

从而 d 是 k 与 1 的约数,即 d 为 1 的约数,这与 d ? 1 矛盾故不存在 k , n 使 ka n ? 2 ? a n 与
ka n ? 3 ? a n ? 1 有大于 1 的公约数. ……………………….13 分

21.解: (1)? g ? ( x ) ? e

1? x

? xe

1? x

? e

x ?1

(1 ? x )

? g ( x ) 在区间 ( 0 ,1 ] 上单调递增,在区间
2?e

[1, e ) 上单调递减,且 g ( 0 ) ? 0 , g (1) ? 1 ? g ( e ) ? e
? g ( x ) 的值域 T 为 ( 0 ,1 ]

………………………….3 分

(2)则由(1)可得 t ? (0,1] ,原问题等价于:对任意的 t ? (0,1] f ( x ) ? t 在 [1, e ] 上 总 有 两 个 不 同 的 实 根 , 故 f ( x ) 在 [1, e ] 不 可 能 是 单 调 函 数 ……………………………………5 分
? f ?( x ) ? a ? ,1 ] x x e 当 a ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 [1, e ] 上单调递增,不合题意 1 (1 ? x ? e ) 1 ?[ 1

当a ? 当1 ?

1 e 1 a

时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 [1, e ] 上单调递减,不合题意
? e即 1 e 1 e ? a ? 1 时,
f ( x ) 在区间 [1 ,

1 a

] 上单调递减;

f ( x ) 在区间 [

1 a

, e ] 上单

递增,由上可得 a ? ( ,1 ) ,此时必有 f ( x ) 的最小值小于等于 0 且 f ( x ) 的最大值大于等于 1, 而由 f ( x ) min ? f ( ) ? 2 ? ln a ? 0 可得 a ?
a 1 1 e
2

,则 a ? ?
ln x1 ? ln x 2 x1 ? x 2

综上,满足条件的 a 不存在。……………………………………………..8 分
(3) k AB ? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? (ln x1 ? ln x 2 ) x1 ? x 2 ? a?

, ……..10 分



f ?( x 0 ) ? f ?(

x1 ? x 2 2

) ? a ?

2 x1 ? x 2

,故有

ln x 1 ? ln x 2 x1 ? x 2

?

2 x1 ? x 2

即 ln

x1 x2

?

2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2

2( ?

x1 x2 x1

? 1)

,令 t ?
?1
1 t

x1 x2

? ( 0 ,1 ) ,则上式化为 ln t ?

4 t ?1

?2 ? 0,

x2

令 F (t ) ? ln t ?

4 t ?1

? 2 ,则由 F ? ( t ) ?

?

4 ( t ? 1)
4
2

?

( t ? 1)

2

t ( t ? 1)

? 0 可得 F (t ) 在 ( 0 ,1) 上单调

递增,故 F ( t ) ? F (1) ? 0 ,即方程 ln t ?

t ?1

? 2 ? 0 无解,所以不存在。14 分


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