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湖北省襄阳市四校2016


湖北省襄阳市四校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分:第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题. 第Ⅰ卷 ( 共 60 分) 一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,请从 A,B,C,D 四个选项中,选 出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分.) 1.抛物线 y ? 2 x2 的焦点坐标是( A. ( , 0) ) C. ( , 0)

1 2

B. (0, )

1 2

1 8

D. (0, ) )

1 8

2 2 2.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都为零”的否命题是( 2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a , b 都不为零 2 2 C.若 a , b 都不为零,则 a ? b ? 0

2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a , b 不都为零 2 2 D.若 a , b 不都为零,则 a ? b ? 0

3.曲线 y ? sin x 在 x ? 0 处的切线的倾斜角为( A.

) D.

y

? 2

B.

? 3
y

C.

? 4

? 6

0 ) y

a

b

4.已知 y ? x ? f ? ? x ? 的图象如右所示,则 f ? x ? 的一个可能图象是( y 0 y

x

a

x

0

b
x 0

a

x

0

b

x

A.

B.

C.

D. )

2 2 5.椭圆 my ? x ? 1 的一个顶点在抛物线 y ?

1 2 x 的准线上,则椭圆的离心率( 2
C .4 ) D. (1, ??) 2 D.

A.

63 8

B.

3 2

5 2

6.函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调递增区间是( A. (??,1) B. (0, e) C. (0,1)

1

7.一动圆 P 与圆 A : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 B : ( x ?1)2 ? y2 ? r 2 r ? 3或0 ? r ? 1 内切,那么动圆的圆心 P 的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 ) D.抛物线

?

?

C.椭圆或双曲线一支

x 2 8. 已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f ? x ? ? 2 ? f ? ? 0 ? ? x ? 1 ,则 f ? 0 ? 的值为(

?

?



A. ln 2

B. 0

C. 1

D. 1 ? ln 2 ) D.焦距相等

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的( ? ? 1 与曲线 9.曲线 25t 9t 25 9
A.长轴长相等 10.设双曲线 B.短轴长相等 C.离心率相等

x2 y2 1 1 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 只有一个公共点,则双曲线 2 2 2 a b
). B. 5 C. 2 D. 5

的离心率为( A.

2

11. 已知命题 p1 : 函数 y ? ex ? e? x 在 R 为增函数, 则 p2 :函数 y ? ex ? e? x 在 ? 0,1? 为减函数. 命题 p1 ? p2 ; p1 ? p2 ; p1 ? ? p2 ; ?p1 ? p2 中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

12.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? a ? m ? 0 ? 的 ? ? 1 和双曲线 m2 n 2 a 2 b2

实线部分组成,已知两曲线有共同焦点 M、N;A、B 分别在左右两部分实线上运动,则

?ANB 周长的最小值为: (
A. 2?a ? m? C. 2?b ? n? B. ?a ? m ?



D. 2?a ? m?

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答题卷上) 13.双曲线 x ?
2

y2 ? ?1 的渐近线方程为___________. 9

ex 14.若函数 f ( x) ? 在 x ? a 处有极小值,则实数 a 等于_________. x
2 2 15.已知命题 p :“ ?x ???1,2? , x ? a ? 0 ”, 命题 q : “ ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”,

2

若命题“ p ? ? q ”为假命题,则实数 a 的取值范围为

.

16. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的 特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚,例如,某天文仪器厂设计制造的一种 反射式望远镜, 其光学系统的原理如图 (中心截口示意图) 所示, 其中, 一个反射镜 PO1Q 弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜 MO2 N 弧所在的曲线为双曲线的一个分支,已 知F 1 、 F2 是双曲线的两个焦点,其中 F2 同时又是抛物线的焦点, O 1 也是双曲线的左 顶点.若在如图所示的坐标系下,MO2 N 弧所在的曲线方程为标准方程,试根据图示尺 寸(单位:cm) ,写出反射镜 PO1Q 弧所在的抛物线方程为_________.

54

三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分,请将解答过程写在答题卷上
2 2 17.(本小题满分 10 分)已知命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 5a ? 0 ? a ? 0? ,

? x2 ? 5x ? 6 ? 0 q :实数 x 满足 ? 2 ? x ? 5x ? 6 ? 0
(1)若 q 为真命题,求实数 x 的取值范围. (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ?

a ln x ? a ? 0? , x

(1)写出 f ? x ? 的定义域. (2)求 f ? x ? 的单调区间.

3

x3 ? 19. (本小题满分 12 分)设命题 p : ?x ? ??1,1? , x3 ?

3 2 x ? 2 ? a . 命题 q : ?x ? ??1,1? , 2

3 2 x ? 2 ? a . 如果命题“ p ∨ q ”为真命题, “ p ∧ q ”为假命题,求实数 a 的 2

取值范围.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点 M 、 N .若以椭 a2 b2

圆的焦点为顶点,以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 L 为过椭圆右焦点 N 的直线,交椭圆于 P 、 Q 两点,当 ?MPQ 周长为 8 时; 求 ?MPQ 面积的最大值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ?1 ? m 2 ? x ? 0 ? m ? 1? 3

(1)求函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点; (2)若 f ( x ) 恰好有三个零点,求实数 m 取值范围.

22. (本题满分 12 分) 已知:抛物线 m : y 2 ? 2 px 焦点为 F , 以 F 为圆心的圆 F 过原点 O , 过 F 引 斜 率 为 k 的 直 线 与 抛 物 线 m 和 圆 F 从 上 至 下 顺 次 交 于 A 、 B 、 C 、 D. 若

AB ? CD ? 4 .
(1) 求抛物线方程. (2)当为 k 何值时, ?AOB 、 ?BOC 、 ?COD 的面积成等差数列; (3)设 M 为抛物线上任一点, 过 M 点作抛物线的准线的垂线, 垂足为 H.在圆 F 上是否存 在点 N,使 MH ? MN 的最大值,若存在,求出 MH ? MN 的最大值;若不存在, 说明理由. y A B O C H D M
4

F

N

x

数学(文)参考答案 一、选择题 12. DBCDB CCDCA BA

BM ? BN ? 2a AM ? AN ? 2m

? l ? AB ? BN ? AN ? AB ? 2a ? BM ? AM ? 2m

? AB ? AM ? BM ? l ? 2a ? 2m
当且仅当 M、A、B 共线时, ?ANB 周长的最小 第 12 题图 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? ?3x 14.1 15. a ? ?2 16. y 2 ? 920( x ? 88)

16.解:由题意知:连接 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点. 对于抛物线,有

p ? 176 ? 54 ? 230 ,所以, p ? 460, 2 p ? 920 . 2

因为双曲线的实轴长为 2a ? 176 ? a ? 88 因为抛物线的顶点横坐标是 ?88 . 所以,所求抛物线的方程为 y 2 ? 920( x ? 88) . 三、解答题 17.解: (1) x ? 5x ? 6 ? 0 ? ?1 ? x ? 6
2

x2 ? 5x ? 6 ? 0 ? x ? 3 或 x ? 2
? 3 ? x ? 6 或 ?1 ? x ? 2
(5 分) (2) ? p 是 ? q 的充分不必要条件 ? q 是 p 的充分不必要条件 化简 p : x ? ? ?a,5a ?? a ? 0? , 设 A ? ? ?a,5a ? ; B ? ??1,2? ? ?3,6? 则B ? A且 A ? B ? ?

??a ? ?1 ? 5a ? 6

?a ?

6 5

(10 分)

18. 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? . (3 分) (2) f ? ? x ? ?

a ?1 ? ln x ? ? 0 ,得 x ? e , (5 分) x2

①当 a ? 0 时,在 ? 0, e ? 上 f ? ? x ? ? 0 ;在 ? e, ??? 上 f ? ? x ? ? 0

? f ? x ? 的递增区间为 ? 0, e ? ;递减区间为 ? e, ???

(9 分)

②当 a ? 0 时,在 ? 0, e ? 上 f ? ? x ? ? 0 ;在 ? e, ??? 上 f ? ? x ? ? 0
5

? f ? x ? 的递增区间为 ? e, ??? ;递减区间为 ? 0, e ?
3 19.解:设 f ? x ? ? x ?

(12 分)

3 2 x ? 2 ? f ? ? x ? ? 3x 2 ? 3x ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 1 2

x

x ? ?1

? ?1,0?
?

x?0

? 0,1?
?

x ?1

f ? ? x?
f ? x?
? 1 2

2

3 2
(6 分)

f ? x ? 有最大值 2 ;最小值 ?

1 2

则命题 p : 成立得 a ? 2 ;命题 q : 成立得 a ? ?

1 2

由命题“ p ∨ q ”为真命题, “ p ∧ q ”为假命题。则 p, q 一真一假 若 p 真 q 假,则 ?

1 ? a ? 2 ;若 q 真 p 假,则 a ? ? 2 1 ?a?2 2
(12 分)

所以,实数 a 的取值范围为 ?

20.(1)由题意双曲线为

x2 y 2 ? ? 1 为等轴双曲线 c 2 b2
2 2
(4 分)

则 b ? c ? a ? 2c ,得椭圆的离心率为 e ?

(2) ?MPQ 周长为 4 a ? 8,可得:椭圆为:

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

(6 分)

2 2 设 PQ 为 x ? ny ? 2 代入椭圆得 n ? 2 y ? 2 2ny ? 2 ? 0

?

?

(8 分)

? 2 2n y1 ? y2 ? ? 2 ? ? n ?2 ?? ? y1 ? y 2 ? ? y ?y ?? 2 ? 1 2 n2 ? 2 ?

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2

?

4 2 ? n2 ? 1 n2 ? 2

? y1 ? y2 ? ? S? ?

? y1 ? y2 ?

2

4 n2 ? 1 ? 4 y1 y2 ? 2 n ?2
(10 分)

1 4 2 n2 ? 1 MN y1 ? y2 ? 2 n2 ? 2

6

令 t ? n ? 1 ? 1 ;则 S ? ?
2

4 2t 4 2 (显然当 t ? 1 即 n ? 0 时最大) (12 分) ? ?2 2. t2 ? 2 t ? 1 t
1 ? ?? . ? S ? ? ? MN sin ? ? PQ , ? 2 ? 2?

法二:由对称性,不妨设 PQ 的倾斜角为 ? ? ? 0,

?MPQ 周长为 4a ? 8,可得:椭圆为:
设 PQ 为 x ? ny ? 2 其中 n ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

1 2 2 代入椭圆得 ? n ? 2 ? y ? 2 2ny ? 2 ? 0 tan ? 2 2n 2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ; y1 ? y2 ? ? 2 n ?2 n ?2
又焦点弦 PQ ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? e ny1 ? 2 ? e ny2 ? 2

?

? ?

?

? 2a ? 2 2e ? ne ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? 2?
? S? ?

2 2n 2 n ? y1 ? y2 ? ? 2 ? 2 2 n ?2

2 4 ? 2 1 ? 2 tan ? 1 ? sin 2 ?

4 2 sin ? 4 2 ? ? 2 2 ,显然 ? ? 90? 时取最大. 2 1 ? sin ? sin ? ? 1 sin ?

法三: ?MPQ 周长为 4 a ? 8,可得:椭圆为:

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

由对称性,不妨设 PQ 的倾斜角为 ? ? ? 0,

1 ? ?? ? S ? ? MN sin ? ? PQ , . ? ? 2 ? 2?
2)

又 PQ ?

2 eP eP (其中 e ? 2 , P ? b ? ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos ? 2 c

PQ ?

1 1 2 4 ? ? ? 1 1 ? sin 2 ? 2 2 2 1? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 2 2
2 2

21.解:(1) f ? ? x ? ? x ? 2x ?1 ? m ? 0 得 x1 ? 1 ? m ; x2 ? 1 ? m

y

f ? ? x?
1? m x

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??,1? m?
?

?1? m,1? m? ?1? m, ???
?

?

o 1? m

7

f ? x ? 在 ? ??,1? m? 和 ?1? m, ??? 上为增函数;在 ?1? m,1? m? 上为减函数
(也可由 f ? ? x ? 的图像得单调性) 函数 f ( x ) 的极大值点为 x ? 1 ? m ,极小值点为 x ? 1 ? m (2)若 f ( x ) 恰好有三个零点,则 ? (6 分)

? 1 ? f ?1 ? m ? ? 0 又 0 ? m ? 1 得 ? m ? 1 (12 分) 2 ? ? f ?1 ? m ? ? 0

22.解:(1)由题意 F ?

p p? ?p ? ? ,0 ? , r ? ;直线 AD 为 y ? k ? x ? ? 2 2? ?2 ? ?

p? p? ? ? AB ? AF ? BF ? ? xA ? ? ? r ? xA ; CD ? DF ? CF ? ? xD ? ? ? r ? xD 2? 2? ? ?

? y 2 ? 2 px p2k 2 ? 2 2 2 ?0 联立 ? p ? 得 k x ? ? k ? 2 ? px ? ? 4 ?y ? k ? x ? 2 ? ? ? ?

? ? 2 ? xA ? xD ? ? 2 ? 1? p ? ? ?k ? 由违达定理得 ? 2 p ? xA ? xD ? ? ? 4
∴抛物线方程 y ? 8x
2

∴ AB ? CD ? x A xD ?

??? ? ??? ?

p2 ?4? p ? 4 4

??5 分

(2) ? 由 ?AOB 、 ?BOC 、 ?COD 的面积成等差数列 得 BC ?

AB ? CD ? 4 ? xA ? xD ? 8 (即弦长 AD ? 12 ) 2
∴k ? 2?k ? ? 2
2

∴?

? 2 ? ? 1? p ? 8 2 ?k ?

??9 分

p p 2p 2 1 ? ? ? 12 ? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 (或 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? 3 3) 2 ? tan ? ? 2 ? k ? ? 2 AD ?
(3)由定义 MH ? MN ? MF ? MN ? NF ? 4 ∴存在点 N,使 MH ? MN 的取得最大值为 4 ??12 分

8


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