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2014届高考一轮复习数学5.2平面向量基本定理及坐标运算


第2讲

平面向量基本定理及坐标 运算

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考纲展示
1.了解平面向量的基本 定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向 量的加法、减法与数乘 运算. 4.理解用坐标表示的平 面向量共线的条件.

考纲解读
1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线 条件的应用是重点. 2.平面向量的坐标运算法则是平面向量运算的关 键,是高考考查的一个重点内容.通过坐标运算可将 几何问题转化为代数问题,可以解决平面几何、 解析 几何的一些问题,也能突出对数形结合思想的考查. 3.常以选择题、填空题的形式出现,难度为中、低档.

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1.两个向量的夹角
定义 已 知 两 个 非 零 向 量 a,b, 作 范围

OA=a,OB=b,则∠AOB=θ 叫做向量 a
与 b 的夹角(如图) 向量夹角 θ 的范围是 0° ≤θ≤180° ,当 θ=0° 180° 或 时,两向量共线,当 θ=90° 时, 两向量垂直,记作 a⊥b

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2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x,y,使 a=xi+yj,把 有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫 a 在 x 轴上的坐标, y 叫 a 在 y 轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标,即若OA=(x,y), 则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
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3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数 λ,那么 2 2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x1 + y1 . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= (x2 -x1 )2 + (y2 -y1 )2 . 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,a∥b? x1y2-x2y1=0.

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1.已知 e1,e2 是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是( A.a=0,b=e1+e2 C.a=e1-2e2,b=e1+e2 【答案】C B.a=3e1+3e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2

)

【解析】作为基底的一组向量必须是不共线的,由向量共线的充要条件 a=λb(b≠0)可知,只有 C 符合要求. 2.已知 a=(3x,2),b=(6,1),若 a∥b,则 x 等于( A.9 【答案】C 【解析】∵ a∥b,∴ 3x×1-2×6=0,解得 x=4.
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) C.4 D.
1 4

B.

1 9

3.若 a=(3,2),b=(0,-1),则 2b-a 的坐标是( A.(3,-4) C.(3,4) 【答案】D B.(-3,4) D.(-3,-4)

)

【解析】∵ 2b-a=2×(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4),故 2b-a 的坐标为(-3,-4). 4.已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与AB同向的单位向量是 ( A.
3 4 ,5 5 4 3 5 5

)

B. - , D.

3 4 5 5

C. - ,

4 3 ,5 5

【答案】A 【解析】∵ A(4,1),B(7,-3),AB=(3,-4),∴ 与AB同向的单位向量为
AB |AB|

=

3 4 ,5 5

.
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5.已知点 A(1,-2),若点 A,B 的中点坐标为(3,1)且AB与向量 a=(1,λ)共线,则 λ= 【答案】
3 2

.

【解析】由 AB 的中点坐标为(3,1)可知 B(5,4). ∴ =(4,6). AB 又∵ ∥a, AB ∴ 4λ-1× 6=0. ∴ . λ=
3 2

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T 题型一平 面向量基本定理

例 1 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的
中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示AB, AD. 直接用 c,d 表示AB, AD有难度,可换一个角度,由AB, AD表示 AM, AN,进而解方程组可求AB, AD.

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【解】方法一:设AB=a,AD=b, 则 a=AN + NB=d+ - b ,① b=AM + MD=c+ - a ,② 将②代入①得 a=d+ 得 a= d- c,代入②得
4 3 2 3 1 4 2 4 2 b=c+ d- c = c- d. 2 3 3 3 3 4 2 4 2 故AB = d- c,AD = c- d. 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2

c+ - a ,

1 2

方法二:设AB=a,AD=b, 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 所以BN = b,DM = a, 因而 c = b + a, d=
2 3 1 2 1 a + b, 2 1 2 1 2



a = (2d-c), b=
2 3

2 3 2 (2c-d), 3

即AB = (2d-c),AD = (2c-d).
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利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加、 减法及数乘进行 线性运算.

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1.在△ABC 中,AD = AB,DE∥BC,与边 AC 相交于点 E,△ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N,如图,设AB=a,AC=b,试用 a 和 b 表示DN. 【解】∵ = AB,DE∥BC,M 为 BC 中点, AD ∴ = BM = BC = (b-a). DN
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1 4 1 8 1 8 1 4

1 4

T 题型二向量 的坐标运算
例 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). 设AB=a,BC=b,CA=c. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n.
利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的 关系求解. 【解】由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵ mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=a=(5,-5), -6m + n = 5, m = -1, ∴ 解得 -3m + 8n = -5, n = -1.
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向量的坐标运算主要是利用加、 减、 数乘运算法则进行,若已知有向线 段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运 用及正确使用运算法则.

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2.(2012·广东卷,3)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=( A.(-2,-4) C.(6,10) 【答案】A 【解析】∵ =(2,3),CA=(4,7), BA ∴ = BA + AC = BA ? CA BC =(2,3)-(4,7)=(2-4,3-7) =(-2,-4). B.(2,4) D.(-6,-10)

)

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T 题型三向 量共线的坐标表示
例 3 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问
题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. 本题要利用向量的坐标及平行的条件,熟练掌握向量平行 的充要条件是解决本题的关键.

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【解】(1)∵ (a+kc)∥(2b-a), 又∵ a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴ (3+4k)-(-5)(2+k)=0.∴ 2× k=- . (2)∵ d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴ 4(x-4)-2(y-1) = 0, 解得 2 2 (x-4) + (y-1) = 1, y= 故 d=
20+ 5 5+2 5 , 5 5 16 13

x=4+

5 , 5 或 2 5 1+ 5

x = 4y=

5 , 5 2 5 1. 5



20- 5 5-2 5 , 5 5

.

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向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算,通 过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方 程思想在向量中的应用.

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3.已知 a=(1,0),b=(2,1), (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线. (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. 【解】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ∵ ka-b 与 a+2b 共线, ∴ 2(k-2)-(-1)× 5=0, 即 2k-4+5=0,得 k=- .
1 2

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(2)方法一:∵ A,B,C 三点共线, ∴ =λBC,即 2a+3b=λ(a+mb), AB ∴ 2 = λ, 3 解得 m= . 2 3 = mλ, 方法二:AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), ∵ A,B,C 三点共线, ∴ ∥ BC. AB ∴ 8m-3(2m+1)=0,即 2m-3=0. ∴ . m=
3 2

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思想方法
分类讨论、数形结合解向量坐标基本运算问题
例已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求 其第四个顶点的坐标.
【解】如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).

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(1)若四边形 ABCD1 为平行四边形,则AD1 = BC,而 AD1 =(x+1,y),BC=(-2,-5). x + 1 = -2, x = -3, 由AD1 = BC,得 ∴ ∴ 1(-3,-5). D y = -5. y = -5. (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB = CD2 . 而AB=(4,0),CD2 =(x-1,y+5). x = 5, x-1 = 4, 从而 解得 即 D2(5,-5). y = -5. y + 5 = 0. (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形,则AD3 = CB. 而AD3 =(x+1,y),CB=(2,5), x + 1 = 2, x = 1, 从而 解得 即 D3(1,5). y = 5, y = 5. 综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).
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1.本题考查向量坐标的基本运算,难度中等,但错误率较高,典型错误是 忽视了分类讨论.此外,有的学生不知道运用平行四边形的性质,找不到解决 问题的切入口. 2.向量本身就具有数形结合的特点,所以在解决此类问题时,要注意画 图,利用数形结合的思想求解.

3.错因分析:此题易解错的原因是思维定势,认为平行四边形只是图中所 示的一种情形,由此在解题构思中丢掉了两种情形.若题中给出的是平行四 边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求 D 点坐标, 就只有一种情况.
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1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于( A.(7,3) C.(1,7) 【答案】A B.(7,7) D.(1,3)

)

【解析】a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3). 2.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若(a+2b)与(3a+λb)平行,则 λ 的值等于( A.-6 【答案】B ∵ (a+2b)∥(3a+λb), ∴ 5(9+λ)-5(3+2λ)=0,解得 λ=6. B.6 C.2 D.-2 )

【解析】a+2b=(5,5),3a+λb=(3+2λ,9+λ).

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3.已知向量 e1 与 e2 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 等于( ) B.-3 C.0 D.2 A.3 【答案】A

【解析】∵ (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2, ∴ (3x-4y-6)e1+(2x-3y-3)e2=0, 从而 3x-4y-6 = 0, ① 2x-3y-3 = 0, ②

由①-②,得 x-y-3=0,即 x-y=3,故选 A.

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4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( A. 2,
7 2

) B. 2,1 2

C.(3,2) 【答案】A

D.(1,3)

【解析】设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3),又BC=2AD, x = 2, 4 = 2x, 7 ∴ ∴ 7 即点 D 坐标为 2, . 2 y= , 3 = 2(y-2). 2 5.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标 为 . 【答案】(-4,-2) 【解析】设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去),或 者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2).
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