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方差分析(高等教育出版社).ppt_图文

第 6 章 方差分析与试验设计
统计学是有关收集和分析带有随
机性误差的数据的科学和艺术。

第 6 章 方差分析与试验设计
6.1 方差分析引论
6.2 单因素方差分析

6.3 双因素方差分析 6.4 试验设计初步

我看出来了:方差分 析提高了检验的效率 ,也增加了分析的可 靠性。

中 国 人 口 统 计 年 鉴

中 国 市 场 统 计 年 鉴

学习目标
1. 掌握单因素方差分析的方法及应用 2. 理解多重比较的意义 3. 解释方差分析的概念 4. 掌握双因素方差分析的方法及应用 5. 掌握试验设计的基本原理和方法 6. 解释方差分析的基本思想和原理

6.1 方差分析引论
一、方差分析及其有关术语
二、方差分析的基本思想和原理

三、方差分析的基本假定
四、问题的一般提法

一、方差分析及其有关术语
(一)什么是方差分析?
1. 检验多个总体均值是否相等
通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等

2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
?

一个或多个分类尺度的自变量

?
?

两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个间隔或比率尺度的因变量
单因素方差分析:涉及一个分类的自变量 双因素方差分析:涉及两个分类的自变量

3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
? ?

案例:为了对几个行业的服务质量进行评价,消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共23家企业投诉的次数如下表:
消费者对四个行业的投诉次数
行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业

1 2 3 4 5 6 7

57 66 49 40 34 53 44

68 39 29 45 56 51

31 49 21 34 40

44 51 65 77 58

案例分析(方差分析结论)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异, 也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显 著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投 诉次数的均值是否相等 3. 若它们的均值相等,则意味着“行业”对投诉次

数是没有影响的,即它们之间的服务质量没有显
著差异;若均值不全相等,则意味着“行业”对 投诉次数是有影响的,它们之间的服务质量有显 著差异

(二)方差分析中的有关术语
1. 因素或因子 ? 所要检验的对象 ? 要分析行业对投诉次数是否有影响,行业是要检验
的因素或因子

2. 水平或处理 ? 因子的不同表现 ? 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子
的水平

3. 观察值 ? 在每个因素水平下得到的样本数据 ? 每个行业被投诉的次数就是观察值

4. 试验 ? 这里只涉及一个因素,因此称为单因素四水平的
试验

5. 总体 ? 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ? 比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可
以看作是四个总体

6. 样本数据 ? 被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据

二、方差分析的基本思想和原理
(一)散点图
80 60

? ? ? ? ? ? ? ±? ?

40 20 0 0

零售业 1

旅游业 2

航空公司 3

4 家电制造 5 ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ± ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解读散点图
1. 从散点图上可以看出
? ?

不同行业被投诉的次数是有明显差异的 同一个行业,不同企业被投诉的次数也明显不同
?

家电制造被投诉的次数较高,航空公司被投诉的次数 较低。

2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
?

如果行业与被投诉次数之间没有关系,那么它们 被投诉的次数应该差不多相同,在散点图上所呈 现的模式也就应该很接近

(二)误差来源
1. 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据来证明 不同行业对被投诉的次数之间有显著的差异。
2. 随机误差与系统误差 ( 1 )随机误差:同一行业(或同一总体),样 本的观察值是不同的。这种差异也可能是由于抽 样的随机性所造成的。因为企业是随机的,因此他们
之间的差异可以看成是随机因素的影响所造成的。)

( 2 )系统误差:不同行业(或不同总体),样 本的观察值也是不同的。这种差异也可能是由于 抽样的随机性所造成的,也可能是由于行业本身 所造成的。

3. 组内误差和组间误差
(1)组内误差:同一总体下各样本数据之间的误差。
如所抽7各零售企业被投诉次数之间的误差。 (2)组间误差:不同总体下各样本数据之间的误差。

如所抽零售业、旅游业等行业之间被投诉次数之间的误差。
(3)组内误差和组间误差之间的关系:组内误差只包括随机误差,组间 误差既包括随机误差,也包括系统误差。 如果不同行业对投诉次数没有影响,此时组间误差只包含随机误 差,不包括系统误差。这时,组间误差和组内误差经过平方后的数值比 就应该会接近1。 反之,如果不同行业对投诉次数有影响,此时组间误差不仅包含 了随机误差,还会包括系统误差。这时,组间误差经过平方后的数值就 会大于组内误差经过平方后的数值,他们之间的比值就会大于1。这一比 值达到某种程度时,可以说因素的不同总体之间存在着显著差异,也就 是自变量对因变量有影响。

4.方差分析:判断行业对投诉次数是否有显著影响,实
质就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起, 并需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著,就需要

进行方差分析。
⊙比较两类误差,以检验均值是否相等 ⊙比较的基础是方差比 ⊙如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差,则均值就 是不相等的;反之,均值就是相等的

⊙误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的

(三)比较两类误差

1. 随机误差
? ? ?
因素的同一水平(总体)下,样本各观察值之间的差异 比如,同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响,称为随机误差

2. 系统误差
? 因素的不同水平(不同总体)下,各观察值之间的差异 ? 比如,不同行业之间的被投诉次数之间的差异 ? 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的,也可能
是由于行业本身所造成的,后者所形成的误差是由系 统性因素造成的,称为系统误差

(四)两类方差
1. 数据的误差用平方和表示,称为方差 2. 组内方差 ? 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ? 比如,零售业被投诉次数的方差 ? 组内方差只包含随机误差 3. 组间方差 ? 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ? 比如,四个行业被投诉次数之间的方差 ? 组间方差既包括随机误差,也包括系统误差

方差的比较:
1. 若不同行业对投诉次数没有影响,则组间误差中只包含随
机误差,没有系统误差。这时,组间误差与组内误差经过 平均后的数值就应该很接近,它们的比值就会接近1

2. 若不同行业对投诉次数有影响,在组间误差中除了包含随
机误差外,还会包含有系统误差,这时组间误差平均后的 数值就会大于组内误差平均后的数值,它们之间的比值就 会大于1

3. 当这个比值大到某种程度时,就可以说不同水平之间存在

着显著差异,也就是自变量对因变量有影响 ? 判断行业对投诉次数是否有显著影响,实际上也就是检验被投
诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主 要是系统误差,说明不同行业对投诉次数有显著影响

三、方差分析的基本假定
(一)基本假定
1.每个总体都应服从正态分布 ? 对于因素的每一个水平,其观察值是来自服从正态分布总

? 2. 各个总体的方差必须相同 ? 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 ? 比如,四个行业被投诉次数的方差都相等 3. 观察值是独立的 ? 如,每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立

体的简单随机样本 比如,每个行业被投诉的次数必需服从正态分布

(二)基本假定的应用描述
1. 在上述假定条件下,判断行业对投诉次数是否 有显著影响,实际上也就是检验具有同方差的 四个正态总体的均值是否相等 2. 如果四个总体的均值相等,可以期望四个样本 的均值也会很接近

? 四个样本的均值越接近,推断四个总体均值相等
的证据也就越充分

? 样本均值越不同,推断总体均值不同的证据就越
充分

案例分析1--原假设成立
? 如果原假设成立,即H0 : m1 = m2 = m3 = m4
? ?

四个行业被投诉次数的均值都相等
意味着每个样本都来自均值为?m、方差为? 2的同一 正态总体
f(X)

m1 ? m2 ? m3 ? m4

X

案例分析2—被择假设成立
?若备择假设成立,即H1 : mi (i=1,2,3,4)不全相等
? ?

至少有一个总体的均值是不同的 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体

f(X)

m3 ? m1 ? m2 ? m4

X

四、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平,每个水平的均值分别用m1 , m2, ?, mk 表示 2. 要检验 k 个水平 ( 总体 ) 的均值是否相等,需要提出如 下假设: ? H0 : m1 ? m2 ? …? mk ? H1 : m1 , m2 , ?,mk 不全相等 3. 设m1为零售业被投诉次数的均值,m2为旅游业被投诉 次数的均值,m3为航空公司被投诉次数的均值,m4为 家电制造业被投诉次数的均值,提出的假设为 ? H0 : m1 ? m2 ? m3 ? m4 ? H1 : m1 , m2 , m3 , m4 不全相等

6.2 单因素方差分析
一、数据结构 二、分析步骤 三、用Excel进行方差分析 四、方差分析中的多重比较

一、单因素方差分析的数据结构
观察值 ( j ) 因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak

1 2 : :

n

x11 x21 x12 x22 : : : : x1n????????????x2n

… … : : …

xk1 xk2 : : xkn

二、分析步骤
(一)提出假设
1. 一般提法

? H0 : m1 = m2 =…= mk ? 自变量对因变量没有显著影响 ? H1 : m1 ,m2 ,… ,mk不全相等 ? 自变量对因变量有显著影响
2. 注意:拒绝原假设,只表明至少有两个总体的 均值不相等,并不意味着所有的均值都不相等

(二)构造检验的统计量 1.计算水平的均值
(1)假定从第i 个总体中抽取一个容量为 ni 的简单 随机样本,第i个总体的样本均值为该样本的全 部观察值总和除以观察值的个数 (2)计算公式为

xi ?

?x
j ?1

ni

ij

ni

(i ? 1,2,?, k )

式中: ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值

2.计算全部察值的总均值 (1)全部观察值的总和除以观察值的总个数

(2) 计算公式为

x?

?? x
i ?1 j ?1

k

ni

ij

n n 式中:n ? n1 ? n2 ? ? ? nk

?

?n x
i ?1

k

i i

案例分析

(3)计算误差平方和

1)计算总误差平方和 SST
①全部观察值 x ij与总平均值 x 的离差平方和 ②反映全部观察值的离散状况 ③其计算公式为

SST ? ?? ?xij ? x ?
k ni i ?1 j ?1

2

? 前例的计算结果:
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295

2)计算水平项平方和 SSA
①各组平均值 xi (i ? 1,2,?, k )与总平均值

的离

差平方和
② 反映各总体的样本均值之间的差异程度,又

称组间平方和
③该平方和既包括随机误差,也包括系统误差
④计算公式为
SSA ? ?? ?xi ? x ? ? ? ni ?xi ? x ?
2 i ?1 j ?1 i ?1 k ni k 2

? 前例的计算结果:SSA = 1456.608696

3)计算误差项平方和 SSE
①每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平 方和 ②反映每个样本各观察值的离散状况,又称组内平方 和

③该平方和反映的是随机误差的大小
④计算公式为
SSE ? ?? ?xij ? xi ?
k ni i ?1 j ?1 2

? 前例的计算结果:SSE = 2708

三个平方和的关系:
? 总 离 差 平 方 和 (SST) 、 误 差 项 离 差 平 方 和 (SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关 系

?? ?x
k ni i ?1 j ?1

ij

? x ? ? ? n ?x
2 k i ?1 i

i

? x ? ? ?? ?x
2 k ni i ?1 j ?1

ij

? x?

2

SST = SSA + SSE
? 前例的计算结果:
4164.608696=1456.608696+2708

三个平方和的作用:
1. SST反映全部数据总的误差程度; SSE反映随机误差 的大小;SSA反映随机误差和系统误差的大小 2. 如果原假设成立,则表明没有系统误差,组间平方 和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以 自由度后的均方差异就不会太大;如果组间均方显 著地大于组内均方,说明各水平 ( 总体 ) 之间的差异 不仅有随机误差,还有系统误差 3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响,实际上就 是比较组间方差与组内方差之间差异的大小

(4)构造检验的统计量(计算均方MS)
① 各误差平方和的大小与观察值的多少有关,为消 除观察值多少对误差平方和大小的影响,需要将 其平均,这就是均方,也称为方差 ② 计算方法是用误差平方和除以相应的自由度

③ 三个平方和对应的自由度分别是

? SST 的自由度为n-1,其中n为全部观察值的个


? SSA 的自由度为 k-1 ,其中 k 为因素水平 ( 总体 )
的个数

? SSE 的自由度为n-k

构造检验的统计量(计算均方 MS)
1. 组间方差:SSA的均方,记为MSA,计算公 式为 SSA 1456.608696 MSA ? 前例计算结果:MSA ? ? 485.536232 4 ?1 k ?1 2. 组内方差: SSE的均方,记为MSE,计算公 式为

SSE MSE ? n?k

前例计算结果:MSE ?

2708 ? 142.526316 23 ? 4

构造检验的统计量(计算检验统计量 F )
1. 将MSA和MSE进行对比,即得到所需要的检 验统计量F 2. 当H0为真时,二者的比值服从分子自由度为 k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布,即

MSA F? ~ F (k ? 1, n ? k ) MSE
485.536232 前例计算结果:F ? ? 3.406643 142.526316

构造检验的统计量(F分布与拒绝域)
如果均值相等, F=MSA/MSE?1
不能拒绝H0
0

拒绝H0

a?
F

Fa(k-1,n-k)
F 分布

(三)统计决策
? 将统计量的值F与给定的显著性水平a的临界 值Fa进行比较,作出对原假设H0的决策 ? 根据给定的显著性水平a,在F分布表中查找与
第一自由度df1=k-1、第二自由度df2=n-k 相应的 临界值 Fa

? 若F>Fa ,则拒绝原假设H0 ,表明均值之间的
差异是显著的,所检验的因素对观察值有显著 影响

? 若F<Fa ,则不能拒绝原假设H0 ,表明所检验
的因素对观察值没有显著影响

(四)单因素方差分析表(基本结构)

单因素方差分析(例题分析)

三、用Excel进行方差分析
?

用Excel进行方差分析(Excel检验步骤)

第1步:选择“工具 ”下拉菜单 第2步:选择“数据分析 ”选项 第3步:在分析工具中选择“单因素方差分析 ” , 然后选择“确定 ” 第4步:当对话框出现时
在“输入区域 ”方框内键入数据单元格区域 在a方框内键入0.05(可根据需要确定) 在“输出选项 ”中选择输出区域

?用Excel进行方差分析

四、方差分析中的多重比较
(一)多重比较的意义 (二)多重比较的方法

差分析中的多重比较
1. 可采用Fisher提出的最小显著差异方法,简写 为LSD 2. LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的 t 检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来 代替)而得到的 3. 通过对总体均值之间的配对比较来进一步检 验到底哪些均值之间存在差异

方差分析中的多重比较(步骤)
1. 提出假设 ? H0: mi = mj (第i个总体的均值等于第j个总体的均值)

?

H1: mi ? mj (第i个总体的均值不等于第j个总体的均 值)

2. 计算检验的统计量: xi ? x j 3. 计算LSD ?1 1 LSD ? ta 2 MSE ? ? ?n n j ? i

? ? ? ?

4. 决策:若 xi ? x j ? LSD ,拒绝H0;

若 xi ? x j ? LSD ,不拒绝H0

方差分析中的多重比较(例题分析)

? 第1步:提出假设 ? 检验1:H 0:m1 ? m 2 ,H1:m1 ? m 2 ? 检验2:H 0:m1 ? m3 ,H1:m1 ? m3 0:m1 ? m 4 ,H 1:m1 ? m 4 H ? 检验3: ? 检验4: H 0:m 2 ? m 3 ,H1:m 2 ? m 3 ? 检验5: H 0:m 2 ? m 4 ,H1:m 2 ? m 4 ? 检验6: H 0:m 3 ? m 4 ,H1:m 3 ? m 4

方差分析中的多重比较(例题分析)

? 第2步:计算检验统计量 ? 检验1: x1 ? x2 ? 49 ? 48 ? 1 ? 检验2: x1 ? x3 ? 49 ? 35 ? 14 ? 检验3: x1 ? x4 ? 49 ? 59 ? 10 ? 检验4: x2 ? x3 ? 48 ? 35 ? 13 ? 检验5: x2 ? x4 ? 48 ? 59 ? 11 ? 检验6: x3 ? x4 ? 35 ? 59 ? 24

方差分析中的多重比较(例题分析)

? 第3步:计算LSD 1 1 ? 检验1: LSD ? 2.093 ? 142.526316 ? ( ? ) ? 13.90 7 6 1 ? 检验2:LSD ? 2.093 ? 142.526316 ? ( 1 ? ) ? 10.23 7 5 ? 检验3:LSD ? LSD ? 10.23 1 1 ? 检验4:LSD ? 2.093 ? 142.526316 ? ( 6 ? 5) ? 15.13 ? 检验5:LSD ? LSD ? 15.13 1 1 LSD ? 2 . 093 ? 142 . 526316 ? ( ? ) ? 15.80 ? 检验6: 5 5
1 2

3

2

4

5

4

6

方差分析中的多重比较(例题分析)

? 第4步:作出决策
x1 ? x2 ? 1 ? 13.90
x1 ? x4 ? 10 ? 10.23
x2 ? x3 ? 13 ? 15.13 x2 ? x4 ? 11 ? 15.13
x3 ? x4 ? 24 ? 15.80
零售业与旅游业均值之间没有显著差异

x1 ? x3 ? 14 ? 10.23 零售业与航空公司均值之间有显著差异
零售业与家电业均值之间没有显著差异 旅游业与航空业均值之间没有显著差异 旅游业与家电业均值之间没有显著差异 航空业与家电业均值有显著差异