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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习(第5周)阶段测试卷 文


吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习(第 5 周)阶段测试卷 文
(第 5 周) (考试时间:120 分钟 满分 150 分) 拟题人:冯维丽 审题人:杨艳昌 2014.8.30 选题范围:【全国各地高三模拟优秀试题选练】(2) 一、选择题:(10×5=50 分) 1.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i, 则 | z | = A.0 B.1 C. 2 D. 2

2.已知 M ? {x | x ? ?2, x ? N}, N ? {x | log 2 x ? 1}, 则M A. {x | ?2 ? x ? 1} B. {x | ?2 ? x ? 2}

N=
D.{1}

C.{0,1}

? f ? x ? 1? , x ? 5 ? 3.已知 f ? x ? ? ? 1 ,则 f ? log3 255? = x ? 17 ? 3 , x ? 5 ?
A.
log 3 255 17

B.85

C. 5

D.15

4. "

a 2 ? b2 ? ?2"是 " a ? 0且b ? 0" 的 ab
B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也

A.必要不充分条件 不必要条件

5.函数 f ( x) ? lg(| x | ?1) 的大致图象是

6.设 {an } 是等差数列, a2 ? a4 ? 6 ,则这个数列的前 5 项和等于
1
1

A.12 7.下列命题正确的是 A.在(

B.13

C.15

D.18

? 5 , ? )内,存在 x,使 sin x ? cos x ? 2 4 ? 4 B.函数 y ? 2 sin( x ? ) 的图像的一条对称轴是 x ? ? 5 5
C.函数 y ?

? 1 的周期为 2 2 1 ? tan x

D. 函数 y ? 2sin x 的图像可以由函数 y ? 2sin(2 x ? 位得到

?
4

) 的图像向左平移

? 个单 8

8.向量 a ? (2,0),b ? ( x, y) ,若 b 与 b ? a 的夹角等于

?

?

?

?

?

? ? ,则 b 的最大值为 6
D.

A.4

B.2 3

C.2

4 3 3

?0 ? x ? 2, 4 ? 9.已知 x, y 满足约束条件 ?0 ? y ? 2, 如果z ? ax ? y 的最大值的最优解为 (2, ) , 3 ?3 y ? x ? 2, ?
则 a 的取值范围是 A. [ ,1]

1 3

B. ( ,1)

1 3

C. [ , ??)

1 3

D. ( , ??)

1 3

10 .已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于 y 轴对称,且 f ? x ? ? x 2 ?

1 x .则不等式 2

g ? x? ? f ? x? ? x ?4 的解集为
A. (??, 0] 题号 答案 二、填空题:(5×5=25 分) 11.2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1 -
2

B. ? 0, 2? 2 3 4 5

C. (??, 2] 6 7 8

D. [2, ??) 9 10

1

3

a 9 · a ?3 ÷

3

a13 a7

=
2

2

12.对于向量 a, b , c ,下列给出的条件中,能使 a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c 成立的序号是 ①b ? 0

? ? ?

? ? ?
?

? ? ?

?

?

② a // b

? ?

③ a // c

?

④ b // c

? ?

13.已知 13 ? 1,12 ? 1 ; 13 ? 23 ? 9,(1 ? 2) 2 ? 9 ; 13 ? 23 ? 33 ? 36,(1 ? 2 ? 3) 2 ? 36 ;
3 3 3 3 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100,(1 ? 2 ? 3 ? 4) 2 ? 100 ;……;则 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

? n3 ?

14.若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域 内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函 数,则实数 k 的 取值范围是 15.若函数 f ( x) ? x2 (n ? N*) 图像在点(1,1)处的切线为 l1 , l2 在 x 轴,y 轴上的 截距分别为 an , bn ,则数列 {25an ? bn } 的最大项为 三、解答题:(10+12+13=35 分) 16、 (本小题满分 10 分)递增的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 S 2 ? 6, S 4 ? 30 (1)求数列{ an }的通项公式。(2)若 b n = an log 1 an ,求数列{ bn }的前 n 项和为
2

Tn 。

3
3

17 .(本小题满分 12 分)在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足
(2a ? c) cos B ? b cos C ,

? sin B sin C ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 C .

(1)求角 B 的大小;(2)若 △ABC 为直角三角形,求实数 ? 的取值集合.

18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1 (1)求函数 f ( x) 的单调区间;
x

(a ? R, 且a为常数) .

(2)当 a ? 0 时,若方程 f ( x) ? 0 只有一解,求 a 的值; (3)若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? f (? x) ,求 a 的取值范围.

4
4

参考答案 一、选择题:(12×5=60 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 C

二、填空题:(5×5=25 分) 11. 0 ;12.① ③ ;13. (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 三、解答题:(10+12+13=35 分) 16、解析: (1) S 2 ? 6, S 4 ? 30 ? q ? ?2 ,∵数列 ?an ? 递增,∴ q ? 2 ? a1 ? 2 , ∴ an ? 2 n , (2) bn ? 2 log1 2 ? ?n ? 2 , Tn ? ?(1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n )
n n n 2

? n) 2 ;14.

[1 ,

3 ) ;15.16。 2

设 H n ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n …………..①

2H n ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ………..②
① ② 得 :

?Hn ? 21 ? 22 ? 23 ?
,

??2n ? n ? 2n?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2=Tn 1? 2

17.解析:(1)因为 (2a ? c) cos B ? b cos C , (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C , 由 正 弦 定 理 得 :
2 A s i ?B n c Co? s B s ? B i n C ?c o ? Cs B s i A n


c


o s s

因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

1 2

因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ?
2

?
3

( 2 ) 由 已 知 条 件 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? sin B sin C ,

? sin B sin C ? 1 ? cos A ? cos 2 B ? cos 2 C

可 得 ,
5

5

根 据 正 弦 定 理 知 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?bc , 所 以
cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? ? 2bc 2

再由余弦定理可得

?
2

因为 B ?

?
3

,且三角形为直角三角形,所以 A ?

?
6

或 A?

?
2

, 所 以 cos A ?

3 或 2

cos A ? 0 ,
所以 ? 的取值集合为 ? 3,0? 18.解析:(1)由已知得 f ?( x) ? e x ? a , 当 a ≥ 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, ??) 上是单调增函数. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x) 在 (ln(?a), ??) 上是单调增函数; 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x) 在 (??,ln(?a)) 上是单调减函数. 综上可得:当 a ≥ 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (??, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (ln(?a), ??) ,单调减区间是 (??,ln(?a)) . (2)由(1)知,当 a ? 0 , x ? ln(?a) 时, f ( x) 最小,即 f ( x)min ? f (ln(?a)) , 由方程 f ( x) ? 0 只有一解,得
f (ln( ? a )) ? 0 ,又注意到 f (0) ? 0 ,所以 ln(?a) ? 0

,解得

a ? ?1 .
x ?x ( 3 ) 当 x ≥0 时, f ( x) ≥ f (? x) 恒成立,即得 e ? ax ≥ e ? ax 恒成立,即得

e x ? e ? x ? 2ax ≥ 0 恒成立. 令 h( x ) ? e x ?

1 ? 2ax( x ≥0 ) , 即当 x ≥0 时, 又 h( x) ≥0 恒成立. ex

h?( x) ? e x ? e? x ? 2a ,且 h?( x) ≥2 e x ? e? x ?2 a ? 2 ? 2 a ,当 x ? 0 时等号成立.

①当 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立. ②当 a ? ?1 时,若 x ? 0 , h?( x) ? 0 ,若 x ? 0 , h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 [0, ??) 上是增函数,故 h( x) ≥ h(0) ? 0 恒成立. ③当 a ? ?1 时,方程 h?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln(?a ? a2 ? 1) ,

6
6

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,与 x ≥0 时, h( x) ≥ 0 恒成立矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 [?1, ??) .

7
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