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高中数学第2章2.4.2等比数列的性质知能优化训练新人教A版必修


高中数学 第 2 章 2.4.2 等比数列的性质知能优化训练 新人 教 A 版必修 5
1.在等比数列{an}中,a1=5,a9a10=100,则 a18=( ) A.18 B.19 C.20 D.21 答案:C 2.(2010 年高考北京卷)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5, 则 m=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析:选 C.在等比数列{an}中, 10 10 ∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a5 1q =q . 又∵am=qm-1,∴m-1=10,∴m=11. 3.各项均为实数的等比数列{an}中,a2=1,a4=9,则 a3=________. 答案:±3 4.已知等比数列{an}中,a2a6a10=1,求 a3a9. 3 解:法一:∵a2a10=a2 6,∴a2a6a10=a6=1. 2 ∴a6=1.∴a3a9=a6=1. 法二:设公比为 q, 5 9 3 15 则 a2a6a10=a1q·a1q ·a1q =a1q =1, ∴a1q5=1. 2 8 5 2 ∴a3a9=a1q ·a1q =(a1q ) =1. 一、选择题 1 1.已知{an}是等比数列,a6=2,a3= ,则公比 q 等于( 4 1 A.- B.-2 2 1 C.2 D. 2 )

a6 a3 2.已知等比数列{an}中,a3=-4,a6=54,则 a9 等于(
解析:选 C.∵{an}是等比数列,∴ =q3=8.∴q=2.

)

A.54 B.-81 C.-729 D.729 2 2 解析:选 C.∵a3·a9=a6,∴-4a9=54 ,∴a9=-729. 3. 将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2, a2a3, a3a4, …. 则此数列( ) A.是公比为 q 的等比数列 B.是公比为 q2 的等比数列 3 C.是公比为 q 的等比数列 D.不一定是等比数列 解析: 选 B.设新数列为{bn}, 则{bn}的通项公式为 bn=anan+1.所以 数列{bn}是公比为 q2 的等比数列. 4.在等比数列{an}中,an>0,若 a1a2a3…a2012=22012,则 a2a2011=(

an+1an+2 an+2 2 = =q , anan+1 an
)
1

A.2 B.4 1005 C.2 D.21006 解析:选 B.a1a2a3…a2012=22012,∴(a1a2012)1006=22012=41006,∴a1a2012=4,∴a2a2011=4. 5. (2011 年海口市调研)在等比数列{an}中, a3a4a5=3, a6a7a8=24, 则 a9a10a11=( ) A.48 B.72 C.144 D.192

a6a7a8 9 =q =8(q 为公比), a3a4a5 ∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192. 6.在等比数列{an}中,首项 a1<0,要使数列{an}对任意正整数 n 都有 an+1>an,则公
解析:选 D.∵ 比 q 应满足( ) A.q>1 B.0<q<1 1 C. <q<1 D.-1<q<0 2 解析:选 B.an+1-an=a1qn-1(q-1)>0 对任意正整数 n 都成立,而 a1<0,只能 0<q<1. 二、填空题 7.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b,c),则 ad= ________. 解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2, ∴b=1,c=2, ∴ad=bc=2. 答案:2 8.在等比数列{an}中,an>0,若 a1a5=16,a4=8,则 a5=________. 解析:∵an>0,a1a5=16,∴a3=4. 又∵a2 4=a3a5,∴a5=16. 答案:16 9.在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则 =________. 解析:因为 a7a11=a4a14=6,又 a4+a14=5,所以?

a20 a10

?a4=2 ?a14=3

或?

?a4=3 ?a14=2

.所以 =

a20 a10

a14 a20 3 a20 2 q10= ,所以 = 或 = . a4 a10 2 a10 3
3 2 答案: 或 2 3 三、解答题 10.已知数列{an}为等比数列. (1)若 a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求 an; (2)若 a3a5=18,a4a8=72,求公比 q. 解:(1)∵a1a2a3=a3 2=216,∴a2=6, ∴a1a3=36 且 a1+a3=21-a2=15. ∴a1,a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12. 当 a1=3 时,q= =2,an=3·2n-1; 1 1 n-1 3-n 当 a1=12 时,q= ,an=12·( ) =3·2 . 2 2 3 4 4 (2)∵a4a8=a3q·a5q =a3a5q =18q =72, ∴q4=4,∴q=± 2.
2

a2 a1

8 27 11.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列.求插入的三个数的乘积. 3 2 解:法一:设这个等比数列为{an},其公比为 q, 8 27 8 4 4 则 a1= ,a5= =a1q = ·q . 3 2 3 81 9 ∴q4= ,q2= . 16 4 6 ∴a2·a3·a4=a1q·a1q2·a1q3=a3 1·q 8 9 =( )3·( )3=63=216. 3 4 法二:设这个等比数列为{an},公比为 q, 8 27 则 a1= ,a5= ,插入三项分别为 a2,a3,a4. 3 2 由题意 a1,a3,a5 也成等比数列, 8 27 ∴a2 =36, 3= × 3 2 故 a3=6, 3 ∴a2·a3·a4=a2 3·a3=a3=216. 12.已知三个数成等比数列,其和为 28,其积为 512,求这三个数. 解:设这三个数为 、q、aq,则

a q

a ? ?q+a+aq=28 ?a ? ?q·a·aq=512

, ②



由②得 a=8.把 a=8 代入①得: 2 1 +2q=5,解得 q=2 或 . q 2 ∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.

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