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《概率论》教学大纲


概 率 论

教 学 大 纲

数学与计算科学系 2006 年 12 月

《概率论》课程教学大纲 概率论》 The Course Syllabus of Probability
一、课程基本信息(Basic Course Information) ( ) 课程代码:105012 Course Code: 105012 课程名称:概率论 Course Name: Probability s 课程类型:学科基础课 Course Type: Fundamental Course 学 时:54

Period: 54 学 分:2

Credit: 2 适用对象:信息与计算科学本科专业、数学与应用数学本科专业 Target Students: Undergraduate Majoring in Information and Computing Science、Mathematics and Applied Mathematics 考核方式:考试 Assessment: Examination 先修课程:数学分析、高等代数 Preparatory Courses: Mathematics Analysis、Higher Algebra 二、课程简介:(Brief Course Introduction) 概率论是研究大量随机现象客观规律性的一门数学课程。 随着现代科学技术 的迅速发展,概率论也得到了蓬勃的发展。它不仅形成了结构宏大的理论,而且 在科学研究、工程技术和经济管理等众多领域有着愈来愈广泛的应用。由于其应 用的广泛性,概率论被列为信息与计算科学本科专业、数学与应用数学本科专业 的学科基础课。 本课程通过各个教学环节, 逐步培养学生处理随机现象的能力和综合运用所 学知识分析、解决有关实际问题的能力,为学生学习后续课程和进一步获得近、

1

现代科学技术知识奠定必要的数学基础。 Probability is a mathematics course which studies the objective laws of abundance of random phenomenon. As modern scientific technologies develop rapidly, Probability also flourishes. Not only has a grandiose framework of its theories been formed, but also it has became more and more wildly applied to various fields such as scientific investigations, engineering technologies and economic management etc. On account of its universality in application, Probability has been ranked into one of the basic courses of Information and Science Computing, and Mathematics and Applied Mathematics. Through a succession of teaching segments, this course shades lights on gradually cultivating the students’ competence in dealing random phenomena and solving practical problems by synthetically using what has been learned in this course. It would prepare the students with essential mathematics knowledge for learning succeeding curricula and acquiring modern scientific and technological knowledge.

三、课程性质与教学目的 概率论是信息与计算科学本科专业、 数学与应用数学本科专业的学科基础课 之一,属必修课。 本课程的教学目的在于:使学生通过学习,掌握概率论的基本概念、基本思 想与基本方法,掌握几种常见的随机模型,为学习后续课程和进一步获得近现代 科学技术知识奠定必要的随机数学基础; 培养学生处理随机现象的能力和综合运 用所学知识分析、解决有关实际问题的能力,培养学生的科学思维与辩证思维能 力。

四、教学内容及要求 本大纲力图体现信息与计算科学专业、数学与应用数学专业教学改革的需 要, 注重学科的系统性、 完整性和科学性, 也力图兼顾教学上的灵活性和适用性。 本大纲将基本要求分为由低到高的三个等级,即对概念和理论性的知识,由 低到高分别用“知道”“了解”“理解”三级区分,对运算、方法和技巧方面的 、 、

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知识,由低到高分别用“会或能”“掌握”“熟练掌握”三级区分。 、 、

第一章

随机事件与概率

(一)目的与要求 1. 理解随机事件、随机事件的频率、概率、独立性、条件概率等概念。 2. 掌握随机事件的运算,熟练掌握概率的基本性质、概率的乘法公式。 3. 掌握全概率公式、贝叶斯公式,会求解有关问题。 4. 掌握古典概型和几何概型,会计算这两种概型中某些较为复杂的事件的 概率。

(二)教学内容

第一节

随机事件及其运算

1.

主要内容:随机试验;样本空间;随机事件;事件间的关系;事件的运 算;事件域。

2.

基本概念和知识点:随机试验;样本空间;随机事件;事件的关系与运 算;事件域。

3.

问题与应用(能力要求) :理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; 掌握事件间的关系和运算;能完整写出某些较为简单的随机试验的样本 空间,能写出只含两个或三个样本点的随机试验的事件域,能写出由事 件 A 生成的事件域。

第二节

概率的定义及其确定方法

1. 主要内容:概率的公理化定义;确定概率的频率方法;确定概率的古典 方法;确定概率的几何方法。 2. 基本概念和知识点:概率的公理化定义;频率;古典概率;几何概率。 3. 问题与应用(能力要求) :理解概率的公理化定义;能明确某些较为复 杂的古典概型中的样本点是什么,样本空间是什么,正确计算相关的古

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典概率。

第三节

概率的性质

1. 主要内容:概率的可加性;概率的单调性;加法公式;概率的连续性。 2. 基本概念和知识点:概率的有限可加性与次可加性;概率的单调性;加 法公式(多除少补原理) ;概率的连续性。 3. 问题与应用(能力要求) :熟练掌握概率的基本性质;能正确运用概率 的性质简化概率运算。

第四节

条件概率

1. 主要内容:条件概率的定义;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 2. 基本概念和知识点:条件概率;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 3. 问题与应用(能力要求) :理解条件概率的定义;掌握乘法公式、全概 率公式、贝叶斯公式;能正确运用全概率公式、贝叶斯公式求某些复杂 事件的概率。

第五节

独立性

1. 主要内容:事件的独立性;试验的独立性。 2. 基本概念和知识点:两个事件的相互独立性;多个事件的相互独立性; 试验的独立性。 3. 问题与应用(能力要求) :理解独立性的意义;能正确运用事件的独立 性简化概率运算、求出某些复杂事件的概率。

(三)思考与实践 本章重点是随机事件的概念及概率的定义、性质、求法,条件概率与事件的 独立性,全概率公式、贝叶斯公式等,这些都是概率论的入门知识,要求学生加 强相关练习,把各种概念的联系和区别搞清楚。 茆诗松、程依明、濮晓龙编著《概率论与数理统计教程》为指定教学用书。 课后练习为第一章所附习题。范大茵等编《概率论与数理统计》 、魏宗舒、汪振

4

鹏、吕乃等编《概率论与数理统计教程》为指定教学参考书。盛骤、谢式千、潘 承毅编的《概率论与数理统计习题全解指南》为指定教学辅导书。 学生应认真阅读教材,完成适量课外作业。

(四)教学方法与手段 本章以教师讲授为主,辅之以课堂练习及课外作业、答疑。建议用多媒体教 学。

第二章

随机变量及其分布

(一)目的与要求 1. 理解和掌握随机变量、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的

概率密度、随机变量的分布函数等概念。 2. 会求简单的随机变量函数的分布。

熟练掌握几种常见的离散型和连续型随机变量的分布, 会求几种简单的随机 变量函数的分布,会查正态分布表。 3. 理解随机变量的期望、方差的概念,熟练掌握几种常见的随机变量的期

望与方差的求法,会求随机变量函数的期望。 4. 理解和掌握切贝雪夫不等式。

(二)教学内容

第一节

随机变量及其分布

1. 主要内容:随机变量;随机变量的分布。 2. 基本概念和知识点:随机变量的概念;随机变量的分布函数;离散型随 机变量的概率分布列;连续型随机变量的概率分布密度函数。 3. 问题与应用(能力要求) :理解随机变量及其分布的概念;能根据具体 情况定义适当的随机变量,并通过求出相应随机变量的分布解决相关应 用问题。

5

第二节

随机变量的数学期望

1. 主要内容:数学期望。 2. 基本概念和知识点:数学期望的定义;数学期望的求法;数学期望的线 性、保号性。 3. 问题与应用(能力要求) :理解随机变量数学期望的概率意义,掌握随 机变量数学期望的定义,并能通过求出随机变量的数学期望解答相关应 用问题。

第三节

随机变量的方差与标准差

1. 主要内容:方差;切贝雪夫不等式。 2. 基本概念和知识点: 方差与标准差的定义; 方差的求法; 方差的非线性、 最小性;切贝雪夫不等式。 3. 问题与应用(能力要求) :理解随机变量方差的概率意义,掌握方差的 求法;了解切贝雪夫不等式的意义,能证明切贝雪夫不等式。

第四节

常用离散型分布

1. 主要内容:二项分布;泊松分布;几何分布。 2. 基本概念和知识点:二项分布;泊松分布;泊松定理;超几何分布;几 何分布。 3. 问题与应用(能力要求) :了解二项分布、超几何分布、泊松分布产生 的实际背景;掌握泊松定理提供的近似计算方法;会证明几何分布的无 记忆性。

第五节

常用连续型分布

1. 主要内容:均匀分布;正态分布;指数分布;伽玛分布。 2. 基本概念和知识点:均匀分布;正态分布;指数分布;伽玛分布;对数 正态分布。 3. 问题与应用(能力要求) :了解正态分布产生的实际背景;熟练掌握一 般正态分布与标准正态分布之间的转换关系;会用正态分布表进行近似

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计算;会证明指数分布的无记忆性。

第六节

随机变量函数的分布

1. 主要内容:随机变量函数的分布。 2. 基本概念和知识点:离散型随机变量函数的分布及其求法;连续型随机 变量函数的分布及其求法(密度函数公式、分布函数法) 。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握随机变量函数的分布的概念,会求随机 变量的较为复杂的函数的分布,如标准正态变量的平方的分布。

第七节

分布的其他特征数

1. 主要内容:k 阶矩;分位数。 2. 基本概念和知识点:k 阶矩;变异系数;分位数;中位数。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握随机变量的 k 阶矩、分位数的概念,会 通过查表求标准正态变量的分位数。

(三)思考与实践 本章重点在于随机变量的概念及随机变量的分布,这是概率论入门的难点, 也是能否学好概率论的关键。要求学生加强这些方面的练习,把各种概念的联系 与区别弄清楚,大多数学生学习上所遇到的困难往往都是概念混淆造成的。要用 较多的课外练习来巩固和提高知识的掌握程度。 茆诗松、程依明、濮晓龙编著《概率论与数理统计教程》为指定教学用书。 课后练习为第二章所附习题。范大茵等编《概率论与数理统计》 、魏宗舒、汪振 鹏、吕乃等编《概率论与数理统计教程》为指定教学参考书。盛骤、谢式千、潘 承毅编的《概率论与数理统计习题全解指南》为指定教学辅导书。 学生应认真阅读教材,完成适量课外作业。

(四)教学方法与手段 本章以教师讲授为主,辅之以课堂练习、课外作业、答疑辅导。建议用多媒 体教学。

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第三章

多维随机变量及其分布

(一)目的与要求 1. 理解多维随机变量及其联合分布(离散型变量的联合分布列、连续型变

量的联合分布密度)的概念,掌握几种常用的多维分布。 2. 3. 4. 5. 掌握边际分布的求法,理解随机变量之间的独立性。 会求多维随机变量的函数的分布。 会求多维随机变量的数字特征(期望、方差、协方差、相关系数等) 。 理解条件分布与条件期望的概念,会求条件分布、条件期望。

(二)教学内容

第一节

多维随机变量及其联合分布

1. 主要内容:多维随机变量;多维随机变量的联合分布。 2. 基本概念和知识点:多维随机变量;多维随机变量的联合分布函数;离 散型随机变量的联合分布列;连续型随机变量的联合分布密度函数;常 用多维分布。 3. 问题与应用(能力要求) :会求简单的离散型二维分布;掌握二维均匀 分布的密度函数;了解二维正态分布。

第二节

边际分布与随机变量的独立性

1. 主要内容:边际分布;随机变量的独立性。 2. 基本概念和知识点:边际分布函数;离散型随机变量的边际分布列;连 续型随机变量的边际密度函数;随机变量间的独立性。 3. 问题与应用(能力要求) :理解和掌握随机变量的边际分布与随机变量 的独立性概念;会求边际分布;能利用独立性简化求二维随机变量的边 际分布和联合分布的有关问题。

第三节

多维随机变量函数的分布

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1. 主要内容:多维离散型随机变量的函数的分布。 2. 基本概念和知识点:多维离散型随机变量的函数的分布;最大值与最小 值的分布;卷积公式;变量变换法。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握卷积公式;会求多维离散型随机变量的 函数的分布、最大值和最小值的分布。

第四节

多维随机变量的数字特征

1. 主要内容:多维随机变量的数学期望;协方差;相关系数。 2. 基本概念和知识点:多维随机变量的数学期望、协方差和相关系数的概 念和求法。 3. 问题与应用(能力要求) :理解多维随机变量的数学期望、协方差和相 关系数的意义;掌握简单的多维随机变量的数学期望、协方差和相关系 数的求法。

第五节

条件分布与条件期望

1. 主要内容:条件分布;条件期望。 2. 基本概念和知识点:条件分布、条件期望的定义与求法。 3. 问题与应用(能力要求) :理解条件分布与条件期望的概念;会求条件 分布与条件期望。

(三)思考与实践 本章的重点是多维随机变量,联合分布(离散型变量的联合分布列、连续型 变量的联合分布密度) 的概念, 二维均匀分布与二维正态分布, 边际分布的求法, 多个随机变量的独立性,多维随机变量的函数的分布,多维随机变量的数字特征 (期望、方差、协方差、相关系数等) ,条件分布与条件期望,难点是条件分布 与条件期望。要求学生把概念弄清楚,通过适当的课外练习来巩固和提高知识的 掌握程度。 茆诗松、程依明、濮晓龙编著《概率论与数理统计教程》为指定教学用书。 课后练习为第三章所附习题。范大茵等编《概率论与数理统计》 、魏宗舒、汪振

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鹏、吕乃等编《概率论与数理统计教程》为指定教学参考书。盛骤、谢式千、潘 承毅编的《概率论与数理统计习题全解指南》为指定教学辅导书。 学生应认真阅读教材,完成适量课外作业。

(四)教学方法与手段 本章以教师讲授为主,辅之以课堂练习和课外作业、作业讲评和答疑。建议 用多媒体教学。

第四章

大数定律与中心极限定理

(一)目的与要求 1. 掌握特征函数的概念和性质。 2. 理解依概率收敛与依分布收敛的意义。 3. 理解大数定律的意义,掌握几个常用的大数定律。 4. 理解中心极限定理的意义,掌握几个常用的中心极限定理。 5. 能运用中心极限定理解决一些实际问题。

(二)教学内容

第一节

特征函数

1. 主要内容:特征函数。 2. 基本概念和知识点:特征函数的定义;特征函数的性质。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握特征函数的定义;了解唯一性定理的意 义;掌握利用特征函数求矩的方法。

第二节

随机变量序列的两种收敛性

1. 主要内容:随机变量序列的两种收敛性。 2. 基本概念和知识点:依概率收敛;依分布收敛;分布函数的弱收敛;两 种收敛性的关系。

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3. 问题与应用(能力要求) :掌握两种收敛性的概念;知道判断弱收敛的 方法。

第三节

大数定律

1. 主要内容:大数定律。 2. 基本概念和知识点:切贝雪夫大数律,伯努利大数律,辛钦大数律。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握随机序列服从大数定律的概念;理解大 数定律的意义。

第四节

中心极限定理

1. 主要内容:中心极限定理。 2. 基本概念和知识点:独立随机变量和;独立同分布条件下的中心极限定 理;二项分布的正态近似;独立不同分布条件下的中心极限定理。 3. 问题与应用(能力要求) :掌握随机序列服从中心极限定理的概念;理 解中心极限定理的概率意义;能利用中心极限定理解决某些实际问题。

(三)思考与实践 本章的重点在于大数定律和中心极限定理,难点是随机变量序列的收敛性, 在学习本章时,很多学生会遇到困难,教师要增加课后作业讲评时间,对学生进 行适当的个别辅导。 茆诗松、程依明、濮晓龙编著《概率论与数理统计教程》为指定教学用书。 课后练习为第四章所附习题。范大茵等编《概率论与数理统计》 、魏宗舒、汪振 鹏、吕乃等编《概率论与数理统计教程》为指定教学参考书。盛骤、谢式千、潘 承毅编的《概率论与数理统计习题全解指南》为指定教学辅导书。 学生应认真阅读教材,完成适量课外作业。

(四)教学方法与手段 本章以教师讲授为主,辅之以课堂练习、课外作业辅导和答疑。建议用多媒 体教学。

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五:各教学环节学时分配

章 一 二 三 四 备注

章节内容 随机事件与概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 大数定律与中心极限定理 8 16 14 8

讲课时数

习题课时数 2 2 2 2

六、推介教材和教学参考资源

(一) 教材 1. 茆诗松、程依明、濮晓龙编著:概率论与数理统计教程,高等教育出版

社, 2004.7 第 1 版,普通高等教育“十五”国家及规划教材。 2. 版。 3. 魏宗舒、汪振鹏、吕乃刚:概率论与数理统计教程,高等教育出版社, 范大茵等编,概率论与数理统计,浙江大学出版社,2003 年 6 月第 2

1983 第一版, 2002“十五”国家级规划教材;2003 高等教育百门精品课程教材建 设项目。

(二) 参考书 1. [美]E. 勒克斯著,黄志远等译,概率论与数理统计(引论),人民教育 出版社,1982 年 2 月第 1 版。 2. 3. 4. 复旦大学编,概率论,人民教育出版社,1982 年 4 月第 1 版。 王梓坤,概率论基础及其应用,科学出版社,1976 年第 1 版。 M. 费史著,王福保译,概率论及数理统计,上海科学技术出版社,1962

年第 1 版。

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七、其他说明

大纲修订人:解保华 大纲审定人:向子贵

修订日期:2006 年 12 月 审定日期:2006 年 12 月

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