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掌握集合知识需要注意的几个问题


掌握集合知识需要注意的几个问题
珠海市第三中学 饶正宽 摘要:集合知识是整个高中数学的开篇内容,能否学好集合,对学生进入高中后 的学习会有深远的影响。集合是分类思想的极好载体,其本质就是分类。集合不 光为其他分支提供了的工具, 也提供了重要的思想方法。因此在高中阶段掌握好 集合就显得非常重要了。 本文从掌握集合知识需要注意的五个方面入手,一一介 绍在集合知识部分的难点和易错点等,从而加深学生对集合部分内容的掌握。 关键词:集合 问题 考点 集合知识是整个高中数学的第一部分内容,集合语言是现代数学的基本语 言,在高中数学课程中,它是学习掌握和使用数学语言的基础。对后面内容的学 习有深刻的影响。 整块内容新符号、 新概念多, 和其他章节的知识交汇多, 因此, 要掌握好这一章内容,应该注意一下几点: 一. 注意集合的表示方法。 在高中阶段, 我们所接触的集合的表示方法主要有列举法、描述法和图示法, 而这些方法在表示集合时都有特定的要求,在解题时, 一定要注意根据实际情况 选择不同的表示方法。比如,在用描述法表示集合时,要分清代表元素的含义。 例 1 . 用 列 举 法 表 示 集 合 A= y y ? x 2 ? 1, x ? 2, x ? Z ? ________ ; B= ( x, y ) y ? x 2 ? 1, x ? 2, x ? Z ? ________ ; A ? B ? _______ 。 解析:很显然,满足条件的 x 有-2,-1,0,1,2 五个,而第一个集合代表元素 为 y, 因此, 它表示函数 y ? x 2 ? 1 的值域, 是数集; 第二个集合代表元素为 ? x, y ? , 它表示函数 y ? x 2 ? 1 图像上的点,是点集。从而,将 x 的值分别代入表达式中, 第一空应填 ?? 1,0,3? ;第二空应填 ?(?2,3), (?1,0), ?0,?1?, ?1,0?, ?2,3??;第三空应填 ? 。 二. 注意空集概念的理解。 空集是不含任何元素的集合,它属于有限集,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集。由于空集的特殊性,要特别注意 ? , ? ? ?,0, ?0?之间的区别。 例 2. 下列各式中,正确的个数是( )

?

?

?

?

?? (1)? ? ?0? (2)? ? ?0? (3)? ? ?0? (4)0= ?0? (5)0 ? ?0? (6)? ? ?
解析: ? 是不含任何元素的集合; ?? ?是以 ? 为元素的集合,它含有一个元素;0 是一个元素; ?0? 是以 0 为元素的集合。因此,根据集合与集合、元素与集合之 间的关系判断, (1) , (3) , (4)错, (2) , (5) , (6)对。

三. 利用好两种工具——数轴、韦恩图。 在解决集合运算等问题时, 利用数轴和韦恩图的直观性, 帮助分析理解题目, 往往能快速的解决问题,提高解题效率。 例 3. (2010 天津文数)设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? ?x 1 ? x ? 5, x ? R?,若
A ? B ? ? 。则实数 a 的取值范围是

?

?

(A) ?a | 0 ? a ? 6? (C) ?a | a ? 0, 或a ? 6?

(B) ?a | a ? 2, 或a ? 4? (D) ?a | 2 ? a ? 4?

分析:直接解答本题难以区分数的大小关系,借助数轴的形象直观,立即就能看 出它们的大小关系。 解析:本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算,属于中等题。 由

x ? a ?1 ,得 ?1 ? x ? a ? 1 ,

即a ? 1 ? x ? a ? 1





由图可知 a ? 1 ? 1或a ? 1 ? 5 所以 a ? 0或a ? 6 , 故答案选 C。 例 4 (2010 辽宁理数)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, ( CU B)∩A={9},则 A= (A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} 分析: 本题考查了集合之间的关系、 集合的交集、 补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集 合问题的能力。 解析: 因为 A∩B={3},所以 3 ? A ,又因为 ( CU B)∩A={9},所以 9 ? A ,所以选 D。 如果借助 Venn 图(如右图) ,就一目了然了。 四. 注意集合在高考中的考点。 在高考中集合主要考察三点: (1)集合的含义与表示; (2)集合间的基本关 系; (3)集合的基本运算。尤以集合的运算考得最多。 例 5. (2010 江西理数)2.若集合 A= ? x | x ? 1,x ? R? , B= ? y | y ? x 2,x ? R? , 则 A ? B =( A. C. ) B. (D){3,9}

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

D. ?

解析:考查集合中交集的运算以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合

A、B; A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 0},解得 A ? B ? ?x 0 ? x ? 1?。 五.关注集合与其它知识的交汇。 集合语言能简洁、 准确的表达数学内容,有利于发展学生运用数学语言的能 力,集合内容和其它章节的知识多有交汇, 因此要注意集合与函数、不等式、 解析几何等内容的联系。 例 6(2010 湖北理数) .设集合 A ? {? x, y ? |
A ? B 的子集的个数是 A.4 B.3 C .2

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 4 16

D.1

解析: 画出椭圆

x y ? ? 1 和指数函数 y ? 3x 图象,可知其有两个不同交点,记为 4 16

2

2

A1、A2, A ? B 的子集应为 ?,? A1? ,? A2 ? ,? A1 , A2 ? 共四种,故选 A. 例 7 ( 2012 广 东 文 数 ) . 设 0 ? a ? 1 , 集 合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A B 。 (1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点。 解析: (1)对于方程 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 判别式 ? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ?1) 因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0
1 ① 当 1 ? a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ; 3 1 ② 当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) (1, ??) ; 3 1 当 a ? 时, ? ? 0 ,设方程 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则 3

x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? 4 4

B ? {x | x ? x1或x ? x2}
③ 当0 ? a ?
1 3 时, x1 ? x2 ? (1 ? a ) ? 0 , x1x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2

此时, D ? ( x, x1 ) ( x2 , ??)
? (0, 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ) ( , ??) 4 4

(2) f ?( x) ? 6x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x) 在区间 [a,1] 上为减函数,在区间 (??, a ] 和 [1, ??) 上为增函数
1 ? a ?1 3 ② x ? a 是极点 ? a ? A, a ? B ? 0 ? a ? 1 1 1 综上可得: 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 极值点为 a , ? a ? 1 时,函数 f ( x) 极值点 3 3 为1 与 a 。

① x ? 1 是极点 ? 1? B ?


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