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抛物线及其标准方程(优质课)_图文

抛物线及其标准方程 (一)

【情境设置】
y
N
M

y
N M F

F

o

F'

x

F'

o

x

当0<e <1时,是椭圆, 当e=1时,它又是什么曲线?

当e>1时,是双曲线。

【探索研究】
一、抛物线的定义
平面内与一个 定点F和一条直线l 的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的 焦点,直线l叫做抛 物线的准线.
l
N M

K

F

即:

M ︳ F︳ =1, 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 MN ︳ ︳

二、抛物线的标准方程 想 一 想 ?
步骤:
(1)建系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)证明

l
N

· · F
M

如何建立直角 坐标系?
求曲线方程的基 本步骤是怎样的?

二、抛物线的标准方程
y y=ax2

l
N

· · F
M

y=ax y=ax2+c 2+bx+c

o

x

思考: 抛物
线是一个怎样 的对称图形?

二、抛物线的标准方程
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 x轴,线段KF的中垂线为y轴 M N 设︱KF︱= p(p>0) p p 则F( 2 ,0),l:x = K o F 2 设点M的坐标为(x,y), 由定义可知,
l y

· ·

x

p p2+ 2= (x - ) y x+ 2 2
化简得

2 y

= 2px(p>0)

二、抛物线的标准方程
y

方 程 y2=2px(p>0) 叫做抛物线的标准方 程. 它表示的抛物线的 焦点在x轴的正半轴上, 坐 标 是 (p/2,0), 它 的 准线方程是x=-p/2.

l

K

o

F

x

其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离

方程y2 = 2px(p>0)表示抛物 线的焦点在 X轴的正半轴上
p p 焦点F( 2 ,0),准线l:x = 2

一条抛物线,由于它在坐标平 面内的位置不同,方程也不同,所 以抛物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?

二、抛物线的标准方程
l

y
F

l

o

F

x x

标准方程 焦点坐标 准线方程 x=-p/2 y2=2px(p>0) (p/2p/2) y=x2=2py(p>0) (0, ,0)
y

y 2=-2px 标准 x2=-2py x =2py 方程 (p>0) (p>0)
x

o

焦点 坐标 准线 方程

(0,/2,0) (0,-/2) ) (-p pp/2
y=-p///2 y=pp 22 x=

二、抛物线的标准方程
图形
l

标准方程 焦点坐标准线方程
x

y o
F

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

(p/2,0) (-p/2,0)

x=-p/2 x=p/2

yl
F

o y
F

x

l

o y

x

(0,p/2)
(0,-p/2)

y=-p/2
y=p/2

l

o
F

x

x2=-2py (p>0)

想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同形 式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系, 如何判断抛物线的焦点位置,开口方向?
判断方法: 初中学过的抛物线开口都是上下朝向的有x ,
2

所以有x 2开口上下朝向,有y 2时开口左右朝向, 一次项的系数为正开口朝坐标轴的正方向.

【例题讲解】
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程; 解:因为2p=6所以p=3, 3 故焦点坐标为(-,0) 2 3 准线方程为x=- -. 2 (2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; 1 2 1 解:方程可化为:x =- -y,故p=-,焦点坐标 6 12 1 1 为(0, --),准线方程为y= -. 24 24

例题讲解
例2. (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
解:(1)解:因为焦点在y轴的负半轴上,且p/2=2,所以p=4, 所以其标准方程为:x 2 = - 8y

【变形训练】
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F(3,0); (2)准线方程是x=1/4;

y2=12x
y2=-x

(3)焦点到准线的距离是2,且焦点在y轴上; x2=4y或x2=-4y 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y;

(3)2y2+5x=0;
(4)y=4ax2(a>0)

焦点(7,0), 焦点(0,3/16),准 准线x=-7 焦点(-5/8,0), 线y=-3/16 1/ ), 焦点(0, 16a 准线x=5/8 1/ ; 准线y=- 16a

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线方程

3、求标准方程:用待定系数法
4、注重数形结合的思想。

思考题:M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

【布置作业 】

P47 练习A 2

图形
l

标准方程 焦点坐标准线方程
x

y o
F

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0)

(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2) (0,-p/2)

x=-p/2
x=p/2 y=-p/2 y=p/2

yl
F

o y
F

x

l

o y

x

x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)

l

o
F

x

一.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛 物线的焦点定直线l 叫做抛物线的准线。

二.标准方程:
方程 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程 y2 其中 p 为正常数,它的几何意义是:
N

l y
M

K o

· · F

x

焦点到准线的距离


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