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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类 1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 ? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ? π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ? 【相关高考 1】(湖南文)已知函数 求:(I)函数 f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间. 【相关高考 2】(湖南理)已知函数 1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ? (I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 2 y 2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值; ?π ? ( 2 )已知点 A ? , 0 ? ,点 P ?2 ? y0 ? 3 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 P PA 的中点,当 O A x 3 ?π ? , x0 ? ,π ? 时,求 x0 的值. ? 2 ?2 ? 【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数 π? π? ?x ? ? , (I) 求函数 f ( x ) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ? π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 2 的值域; (II)(文)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 (理)若对任意的 a ? R ,函数 必证明),并求函数 y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不 y ? f ( x),x ? R 的单调增区间. 【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数 A? ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ? y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值. 1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14 3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα= 【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)= ?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ? sin(x ? ? .(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ? 2 ) 3 , 求f(a)。 5 【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan 求 f( x )的最大值及最小正周期; (2) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1) 4 ? 的值. 5 4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知 ? 2b sin A . 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? 4 . 5 (Ⅰ)求 sin ?? ? B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ? A? 1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 4 5 【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan 边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 5.三角与平面向量 17 ,求最小边的边长. 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ? ? ??? ? ??? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 ?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ? 【相关高考 1】(陕西)设函数 其中向量 a f ?x ? ? a ? b , ? ?4 ? ? ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? ,2 ? , (Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ? 6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30 ? AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值. 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于 ? 甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2

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