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高中数学第二章平面向量2.5向量的应用2课时训练含解析


§2.5

向量的应用(二)

课时目标 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程, 体会向量是一 种处理物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.

1.力向量 力向量与前面学过的自由向量有区别. (1)相同点:力和向量都既要考虑________又要考虑________. (2)不同点:向量与________无关,力和____________有关,大小和方向相同的两个力, 如果____________不同,那么它们是不相等的. 2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是________. (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算,运动的叠加亦用 到向量的合成. (3)动量 mν 是________________. (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的____________.

一、填空题 1.已知向量 a 表示“向东航行 1 km”,向量 b 表示“向南航行 1 km”,则 a+b 表示 向________航行________ km. 2.用力 F 推动一物体水平运动 s m,设 F 与水平面的夹角为 θ ,则对物体所做的功为 ________. 3.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们夹角为 90°时,合力大小为 20 N,则当它们 的夹角为 120°时,合力大小为________N. 4. 共点力 F1=(lg 2, lg 2), F2=(lg 5, lg 2)作用在物体 M 上, 产生位移 s=(2lg 5,1), 则共点力对物体做的功 W 为________. 5.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知 F1,F2 成 90°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为________. 6.质点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 ν =(4,-3)(即点 P 的运动方向与 ν 相同,且每秒移动的距离为|ν |个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后 点 P 的坐标为________. 7.已知作用在点 A 的三个力 f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且 A(1,1),则合力 f =f1+f2+f3 的终点坐标为________. 8.一个重 20 N 的物体从倾斜角 30°,斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端,则重 力做的功是________. 9.在水流速度为 4 千米/小时的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米/小时 的速度航行,则船实际航行的速度的大小为________千米/小时. 10.

如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速 靠岸过程中,下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号). ①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小;③船的浮力不断变小;④船的浮力保 持不变. 二、解答题
1

11.

如图所示,两根绳子把重 1 kg 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上,∠ACW=150°,∠BCW= 120°,求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计,g=10 N/kg).

12.已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5),作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动 到点 B(7,0). (1)求 F1,F2 分别对质点所做的功; (2)求 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功.

能力提升 13.

如图所示,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体,绳子与铅垂方向的 夹角为 θ ,绳子所受到的拉力为 F1. (1)求|F1|,|F2|随角 θ 的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,求角 θ 的取值范围.

2

14.已知 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2)开始,沿着与向量 e1+e2 相 同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|;另一动点 Q 从 Q0(-2,-1)开始,沿 着与向量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|,设 P、Q 在 t= → → 0 s 时分别在 P0、Q0 处,问当PQ⊥P0Q0时所需的时间 t 为多少?

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步:(1)问题的转化,把物理问题转化成数学问题;(2)模型的建立,建 立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获取, 求出数学模型的相关解; (4)问题的答案, 回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象. §2.5 向量的应用(二) 知识梳理 1.(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2.(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 作业设计 1.东南 2 2.|F|cos θ ·s 3.10 2 解析 |F1|=|F2|=|F|cos 45°=10 2, 当 θ = 120°,由平行四边形法则知: |F 合|=|F1|=|F2|=10 2 N. 4.2 解析 F1+F2=(1,2lg 2). ∴W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1) =2lg 5+2lg 2=2. 5.2 5 解析 因为力 F 是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2 2 2 2 2 为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F3| =|F1+F2| =|F1| +|F2| =4+16=20,∴ |F3|=2 5. 6.(10,-5) 解析 设(-10,10)为 A,设 5 秒后 P 点的坐标为 A1(x,y), → → 则AA1=(x+10,y-10),由题意有AA1=5ν . ? ? ?x+10=20 ?x=10 即(x+10,y-10)=(20,-15)? ? ?? . ?y-10=-15 ?y=-5 ? ? 7.(9,1) 解析 f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)
3

=(8,0), 设合力 f 的终点为 P(x,y),则 → → OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1). 8.10 J 解析 WG=G·s=|G|·|s|·cos 60° 1 =20×1× =10 J. 2 9.4 5

解析 如图用 v0 表示水流速度,v1 表示与水流垂直的方向的速度. 则 v0+v1 表示船实际航行速度, ∵|v0|=4,|v1|=8, 2 2 ∴解直角三角形|v0+v1|= 4 +8 =4 5. 10.①③ π 解析 设水的阻力为 f,绳的拉力为 F,F 与水平方向夹角为 θ (0<θ < ). 2 |f| 则|F|cos θ =|f|,∴|F|= . cos θ ∵θ 增大,cos θ 减小,∴|F|增大. ∵|F|sin θ 增大,∴船的浮力减小. 11.解

设 A、B 所受的力分别为 f1、f2, 10 N 的重力用 f 表示,则 f1+f2=f,以重力的作用点 C 为 f1、f2、f 的始点,作右图, → → → 使CE=f1,CF=f2,CG=f,则∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°= 60°. 3 → → ∴|CE|=|CG|·cos 30°=10× =5 3. 2 1 → → |CF|=|CG|·cos 60°=10× =5. 2 ∴在 A 处受力为 5 3 N,在 B 处受力为 5 N. → 12.解 (1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), → W1=F1·AB=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(J), → W2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J). ∴力 F1,F2 对质点所做的功分别为-99 J 和-3 J.

4

→ → (2)W=F·AB=(F1+F2)·AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =(9,-1)·(-13,-15) =9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15=-102(J). ∴合力 F 对质点所做的功为-102 J. 13.解

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得-G=F1+F2,|F1|= |G|tan θ , 当 θ 从 0°趋向于 90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大. |G | 1 (2)由|F1|= ,|F1|≤2|G|,得 cos θ ≥ . cos θ 2 又因为 0°≤θ <90°,所以 0°≤θ ≤60°. 14.解 e1+e2=(1,1),|e1+e2|= 2,其单位向量为( |3e1+2e2|= 13,其单位向量为( 3 13 , 2 13 ),如图.

|G| ,|F2|= cos θ

2 2 , );3e1+2e2=(3,2), 2 2

→ → 依题意,|P0P|= 2t,|Q0Q|= 13t, 2 2 → → ∴P0P=|P0P|( , )=(t,t), 2 2 3 2 → → Q0Q=|Q0Q|( , )=(3t,2t), 13 13 由 P0(-1,2),Q0(-2,-1), 得 P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1), → ∴P0Q0=(-1,-3), → PQ=(2t-1,t-3), → → → → ∵PQ⊥P0Q0,∴P0Q0·PQ=0, 即 2t-1+3t-9=0,解得 t=2. → → ∴当PQ⊥P0Q0时所需的时间为 2 s.

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