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黑龙江省佳木斯市桦南县高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值(1) 导学案 新人教A版必修1

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§1.3.1

单调性与最大(小)值(1)

学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P27~ P29,找出疑惑之处) 引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢?

复习 1:观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律: ① 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ② 能否看出函数的最大、最小值? ③ 函数图象是否具有某种对称性?

复习 2:画出函数 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 2 的图象.

小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:单调性相关概念 思考:根据 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 2 ( x ? 0) 的图象进行讨论:随 x 的增大,函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?

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新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 反思: ① 图象如何表示单调增、单调减? ② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ③ 函数 f ( x) ? x 2 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 试试:如图,定义在[-5,5]上的 f(x),根据图象说出单调区间及单调性.

.

※ 典型例题 例 1 根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明. 1 (1) f ( x) ? ?3x ? 2 ; (2) f ( x) ? . x

k (k ? 0) 的单调性. x k 例 2 物理学中的玻意耳定律 p ? (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

变式:指出 y ? kx ? b 、 y ?

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小结: ① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号; ② 证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最简; 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论. ※ 动手试试 练 1.求证 f ( x) ? x ?
1 的(0,1)上是减函数,在 [1, ??) 是增函数. x

练 2. 指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x) ?| x | ; (2) f ( x) ? x3 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义; 2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法). 3. 证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论. ※ 知识拓展 函数 f ( x) ? x ?
a (a ? 0) 的增区间有 [ a , ??) 、 (??, ? a ] ,减区间有 (0, a ] 、 [? a , 0) . x

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
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1. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的单调增区间是( ) A. (??,1] B. [1, ??) C. R D.不存在 2. 如果函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上单调递减,则( ) A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 3. 在区间 (??, 0) 上为增函数的是( ) 2 A. y ? ?2 x B. y ? x C. y ?| x | D. y ? ? x 2 4. 函数 y ? ? x3 ? 1 的单调性是 5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | 的单调递增区间是 课后作业 1 1. 讨论 f ( x) ? 的单调性并证明. x?a . ,单调递减区间是 .

2. 讨论 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调性并证明.

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