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高二数学选修2-2综合测试卷(答案)


高二数学选修 2-2 综合测试卷
一、选择题 1.在复平面内,复数 z ? i (1 ? 2i ) 对应的点位于 A.第一象限 2.定积分 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (B)

?

π 2 0

sin 2

x dx 的值等于( A ) 2
B.

A.

π 1 ? 4 2

π 1 ? 4 2

C.

1 π ? 2 4

D.

π ?1 2
a x ? a? x , 2

3 .类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数, S ( x) ?
a x ? a? x ,其中 a ? 0 ,且 a ? 1,下面正确的运算公式是( D ) 2 ① S ( x ? y) ? S ( x)C( y) ? C( x)S ( y) ; ② S ( x ? y) ? S ( x)C( y) ? C( x)S ( y) ; ③ C( x ? y) ? C( x)C( y) ? S ( x)S ( y) ; ④ C( x ? y) ? C( x)C( y) ? S ( x)S ( y) ; C ( x) ?

A.①③

B.②④

C.①④

D.①②③④

4.已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? m(m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值 3 ,那么此函数在 [?2, 2] 上的 最小值为( A ) A. -37 B.-29 C.-5 D.-11

5.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 (C ) A.? 1 ? a ? 2
2

B.? 3 ? a ? 6

C a ? ?3 或 a ? 6

D.a ? ?1 或 a ? 2
? ?? ? 4?

6. 设 P 为曲线 C:y ? x ? 2 x ? 3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? , 则点 P 横坐标的取值范围为( )

? ? A. ? ?1, 2 ?
7.设曲线 y ?

? ?

1?

0? B. ? ?1,

1? C. ? 0,

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( ) x ?1 1 1 A.2 B. C. ? D. ?2 2 2 8. 已知可导函数 f ( x )( x ? R) 的导函数 f ' ( x ) 满足 f ' ( x ) ? f ( x ) ,则当 a ? 0 时,
f (a ) 和 e a f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为
A. f (a ) ? e f (0)
a

( A)
a

B. f (a ) ? e f (0)

-1-

C. f (a ) ? e f (0)
a

D. f (a ) ? e f (0)
a

9.给出以下命题: ⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ?

2? 0

sin x dx ? 4 ;

⑶已知 F ?( x) ? f ( x) ,且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( B ) A.1 B.2

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

C.3

D.0

10.已知函数 f ( x) ? x2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3,数列 ? 的前 n 项和为 S n ,则 S2011 的值为(D )

? 1 ? ? ? f (n) ?

A.

2008 2009

B.

2009 2010

C.

2010 2011

D.

2011 2012

二、填空题 11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若将 此 若 干 个 圈 依 此 规 律 继 续 下 去 , 得 到 一 系 列 的 圈 , 那 么 在 前 120 个 圈 中 的 ● 的 个 数 是 14。 12.若函数 f ( x) ? 答案: ?1 ? m ≤ 0 13.已知 f (n) ? 1 ? 于 答案: .
1 1 1 ? ? ? ? k ?1 2k ? 1 2k ? 2 2 1 1 1 n ? ? ? ? (n ? N? ) ,用数学归纳法证明 f (2n ) ? 时, f (2k ?1 ) ? f (2k ) 等 2 3 n 2

4x 在区间 (m, 2m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 x ?1
2



14. 15. 三、解答题 16、已知复数 z 满足 z ? z ? z i ? 解.由已知得 z
2

2

?

?

3?i ( i 为虚数单位) .求 z . 2? i

? z ? z i ? 1? i,

?

?

设 z ? x ? yi, ? x , y ? R? 代人上式得 x ? y ? 2 xi ? 1 ? i
2 2

-2-

1 ? x ? ? ? ?x ? y ? 1 ? 2 所以 ? ,解得 ? 2 x ? ? 1 ? ?y ? ? 3 ? 2 ?
2 2

故z ? ?

1 3 ? i 2 2

17. (1)求证:(1) a 2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ; 证明: (1) ∵ a2 ? b2 ? 2ab ,

a 2 ? 3 ? 2 3a , b2 ? 3 ? 2 3b
;

将此三式相加得 2 (a 2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b , ∴ a 2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) . (2)已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x 2 ? 2 y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0. 证明: (反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 ,

π π π ,b ? y 2 ? 2z ? , c ? z 2 ? 2x ? 2 3 6 π π π ?a ? b ? c ? (x2 ? 2 y ? ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? (z 2 ? 2x ? ) 2 3 6 2 2 2 ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? π ? 3 ? 0
因为 a ? x 2 ? 2 y ? 即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,故假设错误,原命题成立. 18、设函数 f ( x ) ?

x3 ? x 2 ? 3 x ? 3a(a ? 0) (12 分) 3

(1)如果 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x ) 上一个动点,求以 P 为切点的切线斜率取得最小值时 的切线方程; (2)若 x ? [a , 3a] 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 解: (1)设切线斜率为 k,则 k ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 3.当x=1时,k有最小值-4 。
' 2

又 f (1) ? ?

29 29 (6 分) , 所以切线方程为y ? ? ?49 x ? 1),即12 x ? 3 y ? 17 ? 0 。 3 3
-3-

若x ? [a, 3a]时,f ( x ) ? 0恒成立,则:
? 0 ? a ? 3 ? 3a ? 0 ? a ? 3a ? 3 ? a?3 (1)或 ? (2)或 ? (3) ? f (3) ? 0 f ( a ) ? 0 ? f (3a ) ? 0 ? ?
(1) , (2)无解,由(3)解得 a ? 6 ,综上所述。 19.设函数 f ( x) ? (e ? 1) x, g ( x) ? e . ( e 是自然对数的底数)
x

(Ⅰ)判断函数 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) 零点的个数,并说明理由; (Ⅱ)设数列 ? an ? 满足: a1 ? (0,1) ,且 f (an ?1 ) ? g (an ), n ? N ,
?

①求证: 0 ? an ? 1 ; ②比较 an 与 (e ? 1)an ?1 的大小. 解: (Ⅰ) H ?( x) ? (e ? 1) ? e
x

令 H ?( x) ? 0,????x0 ? ln(e ? 1) 当 x(??, x0 ) 时, H ?( x) ? 0,?? H ( x) 在 x(??, x0 ) 上是增函数 当 x( x0 , ??) 时, H ?( x) ? 0,?? H ( x) 在 x( x0 , ??) 上是减函数 …………….2 分 从而 H ( x) max ? H (0) ? (e ? 1) x0 ? 1 ? e
x0

? (e ? 1) ln(e ? 1) ? e ? 2 ………….4 分

注意到函数 k (t ) ? t ln t ? t ? 1 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 从而 k (t ) ? k (1) ? 0, 又e ? 1 ? 1 从而 H ( x0 ) ? 0 综上可知: H ( x) 有两个零点. ………………………………………………….6 分 (Ⅱ)因为 f (an ?1 ) ? g (an ), 即 (e ? 1)an ?1 ? 1 ? e 所以 an ?1 ?
an

1 (ean ? 1) e ?1

………………………………………………….7 分

①下面用数学归纳法证明 an ? (0,1) .
-4-

当 n ? 1 时, a1 ? (0,1) ,不等式成立. 假设 n ? k 时, ak ? (0,1) 那么 ak ?1 ?

1 (eak ? 1) e ?1

?1 ? eak ? e????? 0? eak ? 1 ? e? 1

?0 ?

1 ( eak ? 1 ) ? 1 e ?1

即 ak ?1 ? (0,1) 这表明 n ? k ? 1 时,不等式成立. 所以对 n ? N , an ? (0,1) ②因为 (e ? 1)an ?1 ? an ? e n ? 1 ? an
a

?

考虑函数 p( x) ? e ? 1 ? x????(0 ? x ? 1) p?( x) ? e ? 1 ? 0
x x

从而 p ( x) 在 (0,1) 上是增函数

p( x) ? p(0) ? 0
所以 (e ? 1)an ?1 ? an ? 0 即 (e ? 1)an ?1 ? an 20. 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图像在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,问:m 在什么范 围取值时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 g( x ) ? x ? x [
3 2

m ? f ' ( x )] 在区间 ( t ,3) 上总存在 2

极值? (Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x ) ? ( p ? 2) x ?

p ? 2e ? 3 ,若在区间 [1, e ] 上至少存在一个 x

x 0 ,使得 h( x 0 ) ? f ( x 0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

-5-

解(Ι )由 f ' ( x ) ?

a(1 ? x ) ( x ? 0) 知: x

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; (Ⅱ)由 f ' ( x ) ? ?

a 2 ? 1 得到 a ? ?2 ,故 f ( x ) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3, f ' ( x ) ? 2 ? , 2 x

g( x ) ? x 3 ? x 2 [

m m ? f ' ( x )] ? x 3 ? ( 2 ? ) x 2 ? 2 x , g' ( x ) ? 3 x 2 ? (4 ? m ) x ? 2 2 2
? g' ( 2) ? 0 ,解得: ? g' ( 3) ? 0

因为 g ( x ) 在区间 ( t ,3) 上总存在极值,且 1 ? t ? 2 ,所以 ?

?

37 37 ? m ? ?9 ,故当 ? ? m ? ?9 时,对于任意的 t ? [1,2] ,函数 3 3 m ? f ' ( x )] 在区间 ( t ,3) 上总存在极值。 2 p 2e ? ? 2 ln x x x

g( x ) ? x 3 ? x 2 [

(Ⅲ) f ( x ) ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ,令 F ( x ) ? h( x ) ? f ( x ) ? px ?

①当 p ? 0 时,由 x ? [1, e] 得到 px ? p ? 0,? 得 h( x 0 ) ? f ( x 0 ) 成立;

2e ? 2 ln x ? 0, 所以在 [1, e ] 上不存在 x 0 ,使 x

② 当

px 2 ? 2 x ? p ? 2e p ? 0 时 , F '( x) ? x2

, 因 为

x ? [1, e] , 所 以

2e ? 2 x ? 0, px 2 ? p ? 0 , F ' ( x ) ? 0 在 [1, e ] 上恒成立,故 F ( x ) 在 [1, e ] 上单调递增。

F ( x ) max ? F (e ) ? pe ?

p p 4e ,所以 p 的 ? 4 ,由题意可知 pe ? ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 e e e ?1

取植范围是 (

4e ,??) 。 e ?1
2

21.已知 a ? 0 ,设函数 f ( x) ? a ln x ? 2 a ? x ? 2a , g ( x) ? (I)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值;

1 (x ? 2 a )2 . 2

( II ) 若 e 是 自 然 对 数 的 底 数 , 当 a ? e 时 , 是 否 存 在 常 数 k 、 b , 使 得 不 等 式

-6-

f ( x) ? kx ? b ? g ( x) 对于任意的正实数 x 都成立?若存在,求出 k 、 b 的值,若不存在,请说
明理由. 解: (I)∵ h( x) ? a ln x ?

1 2 x ( x ? 0) , 2 a ( x ? a )( x ? a ) ∴ h?( x) ? ? x ? ? . x x x (0, a ) + h ?( x) h( x ) ?
∴当 x ? a 时,函数 h( x ) 取最大值

………………(2 分)

a 0
极大值

( a ,??) -

?
………………(4 分)

a ln a ? a ; 2 (II)当 a ? e 时, h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值是 0,
即 f ( x) ? g ( x) ,当且仅当 x ? e 时取等号,

………………(6 分)

e 函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在 x ? e 处有且仅有一个公共点 ( e , ) , 2 e ∵ f ?( x) ? ? 2 e ,函数 f ( x) 的图象在 x ? e 处切线斜率是 k f ? ? e , x
∵ g ?( x) ? x ? 2 e ,函数 g ( x) 的图象在 x ? e 处切线斜率是 k g ? ? e , ∴ f ( x) 和 g ( x) 的图象在 x ? e 处有公共切线方程为 y ? ? e x ?

3e , 2 ………………(8 分)

设 F ( x) ? f ( x) ? ( ? e x ?

x

F '( x) F ( x)

3e e e e (x ? e ) ) ? e ln x ? e x ? , F ?( x) ? ? e ? ? x x 2 2 e (0, e ) ( e ,??) + 0 ?
极大值

? 3e ∴当 x ? e 时,函数 F ( x) 取得最大值 0 ,∴ f ( x) ? ? e x ? 恒成立; 2 ………………(10 分) 3e 1 e 1 ∵ g ( x) ? ( ? e x ? ) ? x 2 ? e x ? ? ( x ? e ) 2 ? 0 , 2 2 2 2 3e ∴ g ( x) ? ? e x ? 在 x ? R 时恒成立; 2 3e ∴当 a ? e 时, k ? ? e , b ? . ………………(12 分) 2

-7-


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