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2019年高考数学(理)一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案编辑版

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [ 考纲传真 ] ( 教师用书独具 )1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2. 会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式 .3. 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系 .4. 能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换 ( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆 ). ( 对应学生用书第 57 页 ) [ 基础知识填充 ] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( α± β ) = sin α cos β ±cos α sin β ; (2)cos( α± β ) = cos α cos β ?sin α sin β; tan α ±tan β (3)tan( α± β ) =1?tan αtan . β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 α= 2sin α cos α ; (2)cos 2 α = cos 2 α - sin 2 2 α = 2cos α - 1= 1- 2sin 2 α; 2tan α (3)tan 2 α= 1- tan2 α . 3.有关公式的变形、逆用 (1)tan α±tan β= tan( α ± β )(1 ?tan α tan β ) ; (2)cos 2 1+ cos 2 α= 2 α , sin 2 1- cos α= 2 2 α , sin sin 2 α α cos α = 2 ; (3)1 + sin 2 α = (sin α + cos α ) 2, 1- sin 2 α =(sin α -cos α ) 2, π sin α±cos α= 2sin α ± 4 . [ 知识拓展 ] 1.辅助角公式 b asin α + bcos α = a2+ b2sin( α + φ ) 其中 tan φ= a . 2. sin 15 °= 6- 4 2 , cos 15 °= 6+ 4 2 , tan 15 °= 2- 3. α sin α 1- cos α 3. tan 2 = 1+ cos α = sin α . 2tan α 1- tan2 α 4. sin 2 α= 1+ tan2 α , cos 2 α = 1+ tan2 . α [ 基本能力自测 ] 1. ( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误. ( 正确的打“√”,错误的打“×” ) (1) 存在实数 α , β,使等式 sin( α +β ) = sin α + sin β 成立. ( ) (2) 在锐角△ ABC中, sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定. ( ) tan α+ tan β (3) 公式 tan( α + β ) = 1- tan α tan β 可以变形为 tan α + tan β = tan( α + β )(1 - tan α tan β ) ,且对任意角 α, β 都成立. ( ) (4) y= 3sin x+ 4cos x 的最大值是 7.( ) [ 答案 ] (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. ( 教材改编 )sin 20 °cos 10 °- cos 160 °sin 10 °= ( ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.- 2 1 D. 2 D [sin 20 °cos 10 °- cos 160 °sin 10 °= sin 20 °cos 10 °+ cos 20 °sin 10 ° 1 =sin(20 °+ 10° ) = sin 30 °= 2,故选 D. ] 4 3. (2017 ·全国卷Ⅲ ) 已知 sin α - cos α = 3,则 sin 2 α = ( ) 7 A.- 9 2 B.- 9 2 C. 9 7 D. 9 4 A [ ∵ sin α - cos α = 3, ∴ (sin α - cos α ) 2= 1-2sin 16 α cos α = 1-sin 2 α= 9 , 7 ∴ sin 2 α =- . 故选 A.] 9 4.函数 f ( x) = 3sin x+ cos x 的最小值为 ________. π -2 [ 函数 f ( x) = 2sin x+ 6 的最小值是- 2.] 5.若锐角 α , β 满足 tan α+ tan β= 3 - 3tan α tan β,则 α +β = ________. π 3 [ 由已知可得 tan α + tan 1- tan α tan β β = 3,即 tan( α + β ) = 3. 又 α + β∈ (0 , π) , 所以 α +β = π 3 .] ( 对应学生用书第 58 页 ) 三角公式的基本应用 (1)(2017 ·山西长治二中等五校第四次联考 π cos θ + 4 的值为 ( ) 2 ) 若 cos θ = 3, θ 为第四象限角,则 2+ 10 A. 6 2 2+ 10 B. 6 2- 10 C. 6 2 2- 10 D. 6 4 (2)(2018 ·南宁、钦州第二次适应性考试 ) 若锐角 α , β 满足 sin α = , tan( α 5 2 - β ) =3,则 tan β= ________. 6 2 5 π (1) B (2) 17 [(1) 因为 cos θ =3,θ 为第四象限角, 则 sin θ =- 3 ,故 cos θ+ 4 2 2 = 2 cos θ- sin 2 θ= 2 2× 23+ 5 3 2 = 2+ 6 10 ,故选 B. 4