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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1:第二章 2. 3 双曲线


双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程

预习课本 P52~55,思考并完成以下问题 1.平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线?双曲线的焦点、焦距分别是什么?

2.什么是双曲线的标准方程?

[新知初探] 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. [点睛] 平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1|-|MF2||= 2a,关键词“平面内”. 当 2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是分别以 F1,F2 为端点的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在 y 轴上 y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) F1(0,-c),

F2(0,c) a,b,c 的关系 c2=a2+b2

[点睛] (1)标准方程的代数特征:方程右边是 1,左边是关于 x,y 的平方差,并且分 母大小关系不确定. (2)a,b,c 三个量的关系: 标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这 里 b =c2-a2,与椭圆中 b2=a2-c2 相区别,且椭圆中 a>b>0,而双曲线中,a,b 大小不确 定. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 平面内到两定点的距离的差等于常数 ( 小于两定点间距离 ) 的点的轨迹是双曲线 ( ) x2 y2 (2)在双曲线标准方程 2- 2=1 中,a>0,b>0 且 a≠b( a b (3)双曲线标准方程中,a,b 的大小关系是 a>b( 答案:(1)× (2)× (3)× ) ) )
2

2.已知 F1(3,3),F2(-3,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=4,则 P 点的轨迹是( A.双曲线 C.不存在 答案:B 3.已知双曲线的 a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为________. 答案: x2 y2 y2 x2 - =1 或 - =1 25 24 25 24 B.双曲线的一支 D.一条射线

双曲线标准方程的认识 x2 y2 [典例] 已知方程 - =1 对应的图形是双曲线,那么 k 的取值范围是( k-5 |k|-2 A.k>5 C.k>2 或 k<-2 [解析] ∵方程对应的图形是双曲线, ∴(k-5)(|k|-2)>0.
?k-5>0, ?k-5<0, ? ? 即? 或? ? ? ?|k|-2>0, ?|k|-2<0.

)

B.k>5 或-2<k<2 D.-2<k<2

解得 k>5 或-2<k<2. [答案] B

x2 y2 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为 + =1,则当 mn<0 时, m n 方程表示双曲线.若?

?m>0, ? ? ?n<0,

则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线;若?

?m<0, ? ? ?n>0,

则方程表示

焦点在 y 轴上的双曲线.

[活学活用] 若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线 y2 x2 解析:选 C 原方程化为 2 - =1, k -1 k+1 ∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. 求双曲线的标准方程 [典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 4 10? ? (1)a=4,经过点 A 1,- ; 3 ? ? (2)经过点(3,0),(-6,-3). [解] (1)当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设所求标准方程为 - 2=1(b>0), 16 b 16 160 把 A 点的坐标代入,得 b2=- × <0,不符合题意; 15 9 当焦点在 y 轴上时, y2 x2 设所求标准方程为 - 2=1(b>0), 16 b 把 A 点的坐标代入,得 b2=9, ∴所求双曲线的标准方程为 y2 x2 - =1. 16 9 )

(2)设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3),
?9m+0=1, ? ∴? 解得 ? ?36m+9n=1,

?m=9, ? 1 ?n=-3,

1

x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 3

1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的 a,b,c,再写出双曲线的标准方程. x2 y2 y2 x2 (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 2- 2=1 或 2- 2=1(a,b 均为正数),然后 a b a b 根据条件求出待定的系数代入方程即可. 2.求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位:“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦 点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)定量:“定量”是指确定 a2,b2 的具体数值,常根据条件列方程求解. [活学活用] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与椭圆 x2 y2 + =1 有共同的焦点,且过点( 15,4); 27 36

(2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. x2 y2 解:(1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(0,-3), 27 36 y2 x2 F2(0,3),故可设双曲线的方程为 2- 2=1. a b a +b =9, 2 ? ? ? ?a =4, 2 2 由题意,知?4 ? 15? 解得? 2 ?b =5. ? 2- 2 =1, ? a b ? y2 x2 故双曲线的方程为 - =1. 4 5 (2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 λ - =1(其中 0<λ<6). 6-λ ∵双曲线经过点(-5,2), 25 4 ∴λ- =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). 6-λ
2 2

x2 ∴所求双曲线方程是 -y2=1. 5 双曲线定义的应用 x2 y2 [典例] 已知 F1, F2 分别是双曲线 - =1 的左、 右焦点, 若 P 是双曲线左支上的点, 9 16 且|PF1|· |PF2|=32.试求△F1PF2 的面积. [解] 因为 P 是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1|· |PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2 中,由余弦定理, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 得 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| = 100-100 =0,所以∠F1PF2=90° , 2|PF1|· |PF2|

1 1 所以 S△F1PF2= |PF1|· |PF2|= ×32=16. 2 2 [一题多变] 1.[变条件,变设问] 若本例中双曲线的标准方程不变,且其上一点 P 到焦点 F1 的距 离为 10.求点 P 到 F2 的距离. x2 y2 解:由双曲线的标准方程 - =1, 9 16 得 a=3,b=4,c=5. 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6, ∴|10-|PF2||=6, 解得|PF2|=4 或|PF2|=16. 2. [变条件 ] 若本例条件“|PF1|· |PF2|= 32”改成“|PF1|∶|PF2|= 2∶5”其它条件不

变,求△F1PF2 的面积. 解:由|PF1|∶|PF2|=2∶5, |PF2|-|PF1|=6, 可知|PF2|=10,|PF1|=4, 1 ∴S△F1PF2= ×4×4 6=8 6. 2

在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a 的应用; 与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧 和整体代换思想的应用.

层级一

学业水平达标 )

1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( A.双曲线 C.直线 B.双曲线的一支 D.一条射线

解析:选 D F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的 轨迹应为一条射线. 2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆
2 2

)

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

y x 解析:选 D 将方程化为 - =1, n n - - m m n 由 mn<0,知-m>0, 所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( A. C. 1 2 3 B. 2 D.5 )

7 2

解析:选 C 如图所示,点 P 是以 A,B 为焦点的双曲线的右支上的 3 7 点,当 P 在 M 处时,|PA|最小,最小值为 a+c= +2= . 2 2 x2 y2 x2 y2 4.椭圆 + 2=1 与双曲线 a - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a 2 A. 1 2 B.1 或-2 D.1 )

1 C.1 或 2 a>0, ? ? 2 解析:选 D 依题意知?0<a <4, ? ?4-a2=a+2,

解得 a=1.

5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( y A.x2- =1 3
2

)

x B. -y2=1 3

2

x2 C.y2- =1 3 解析:选 A 由双曲线定义知,

x2 y2 D. - =1 2 2

2a= ?2+2?2+32- ?2-2?2+32=5-3=2, ∴a=1. 又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3, y2 因此所求双曲线的标准方程为 x2- =1. 3 y2 x2 6.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线m- =1 的一个焦点,则 m=________. 9 y2 x2 解析: 由点 F(0,5)可知该双曲线m- =1 的焦点落在 y 轴上, 所以 m>0, 且 m+9=52, 9 解得 m=16. 答案:16 7.经过点 P(- 3,2 7) 和 Q(- 6 2,- 7),且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 ________________. 解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),
?9m+28n=1, ? 则? 解得 ?72m+49n=1, ?

?m=-75, ? 1 ?n=25,

1

y2 x2 故双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 答案: y2 x2 - =1 25 75

8.已知双曲线的两个焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),P 是双曲线上一点,且 PF1 ·PF2 =0,|PF1|· |PF2|=2,则双曲线的标准方程为________________. 解析:由题意可设双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由 PF1 ·PF2 =0,得 PF1⊥PF2.根据勾股定理得 |PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20. 根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=± 2a. 两边平方并代入|PF1|· |PF2|=2 得 20-2×2=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1, x2 所以双曲线方程为 -y2=1. 4

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

x2 答案: -y2=1 4 x2 y2 ? 5 ? 9.已知与双曲线 - =1 共焦点的双曲线过点 P - ,- 6 ,求该双曲线的标准 16 9 ? 2 ? 方程. x2 y2 解:已知双曲线 - =1,由 c2=a2+b2, 16 9 得 c2=16+9=25,∴c=5. x2 y2 设所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2, x2 y2 故双曲线方程可写为 2- =1. a 25-a2 ∵点 P -

? ?

5 ? ,- 6 在双曲线上, 2 ?



?- 5?2 ? 2 ? ?- 6?2
a2 - 25-a2

=1.

化简,得 4a4-129a2+125=0, 解得 a2=1 或 a2= 又当 a2= 125 . 4

125 125 25 时,b2=25-a2=25- =- <0,不合题意,舍去,故 a2=1,b2=24. 4 4 4 y2 =1. 24

∴所求双曲线的标准方程为 x2-

10.已知△ABC 的两个顶点 A,B 分别为椭圆 x2+5y2=5 的左焦点和右焦点,且三个 1 内角 A,B,C 满足关系式 sin B-sin A= sin C. 2 (1)求线段 AB 的长度; (2)求顶点 C 的轨迹方程. x2 解:(1)将椭圆方程化为标准形式为 +y2=1. 5 ∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4, 则 A(-2,0),B(2,0),|AB|=4. 1 (2)∵sin B-sin A= sin C, 2 ∴由正弦定理得 1 |CA|-|CB|= |AB|=2<|AB|=4, 2 即动点 C 到两定点 A,B 的距离之差为定值.

∴动点 C 的轨迹是双曲线的右支,并且 c=2,a=1, y2 ∴所求的点 C 的轨迹方程为 x2- =1(x>1). 3 层级二 应试能力达标 )

3π x2 y2 ,π?,则关于 x,y 的方程 1.设 θ∈? + =1 所表示的曲线是( ?4 ? sin θ cos θ A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 解析: 选 B 由题意, 知

3π x2 y2 ? 所以 sin θ>0, - =1, 因为 θ∈? -cos θ>0, ? 4 ,π?, sin θ -cos θ

则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.故选 B. x2 2.若双曲线 -y2=1(n>1)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足|PF1| n +|PF2|=2 n+2,则△PF1F2 的面积为( A.1 C.2 解析:选 A ) B. 1 2

D.4 设点 P 在双曲线的右支上,则 |PF1|-|PF2|=2 n,已知|PF1|+|PF2|=

2 n+2,解得|PF1|= n+2+ n,|PF2|= n+2- n,|PF1|· |PF2|=2.又|F1F2|=2 n+1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2 为直角三角形,且∠F1PF2=90° ,于是 S△PF1F2 1 1 = |PF1|· |PF2|= ×2=1.故选 A. 2 2 3.若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标是(3,0),则 k=( A.1 C. 1 2 B.-1 D.- 1 2 )

x2 y2 解析:选 A 依题意,知双曲线的焦点在 x 轴上,方程可化为 - =1,则 k>0,且 1 8 k k 1 8 1 8 a2= ,b2= ,所以 + =9,解得 k=1. k k k k x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),F1,F2 为其两个焦点,若过焦点 F1 的直线与双 a b 曲线的一支相交的弦长|AB|=m,则△ABF2 的周长为( A.4a C.4a+2m B.4a-m D.4a-2m )

解析: 选 C 由双曲线的定义, 知|AF2|-|AF1|=2a, |BF2|-|BF1|=2a, 所以|AF2|+|BF2| =(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a, 于是△ABF2 的周长 l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. 故选 C. x2 y2 5.已知双曲线 - =1 的两个焦点分别为 F1,F2,双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 25 9 12,则点 P 到 F2 的距离为________. 解析:设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,当点 P 在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10, 所以|PF2|=22;当点 P 在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=2. 答案:22 或 2 x2 y2 6.过双曲线 - =1 的一个焦点作 x 轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦 144 25 点的距离分别为________. x2 y2 解析:因为双曲线方程为 - =1, 144 25 所以 c= 144+25=13, 设 F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点, 则 F1(-13,0),F2(13,0). y2 132 25 设过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(-13,y)(y>0),则 = -1= , 25 144 144 25 25 所以 y= ,即|AF1|= . 12 12 又|AF2|-|AF1|=2a=24, 25 313 所以|AF2|=24+ = . 12 12 25 313 即所求距离分别为 , . 12 12 25 313 答案: , 12 12

FQ =m,其中 O 为坐标原点. 7.已知△OFQ 的面积为 2 6,且 OF ·
(1)设 6<m<4 6,求 OF 与 FQ 的夹角 θ 的正切值的取值范围; (2)设以 O 为中心, F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q, 如图所示, | OF | =c,m=

???? ????

????

????

????

???? ? 6-1?c2,当| OQ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程. ?4 ? 1 ???? ???? ? | FQ |sin?π-θ?=2 6, ?2| OF |· 解:(1)因为? ???? ???? ? | FQ |cos θ=m, ?| OF |·
4 6 所以 tan θ= m .

又 6<m<4 6,所以 1<tan θ<4. 即 tan θ 的取值范围为(1,4).

???? x2 y2 (2)设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则| FQ |=(x1-c,y1), a b
1 ???? 4 6 所以 S△OFQ= | OF |· |y1|=2 6,则 y1=± c . 2

FQ =m,即(c,0)· 又 OF · (x1-c,y1)=
2 所以| OQ |= x2 1+y1=

???? ????

? 6-1?c2,解得 x = 6c, 1 4 ?4 ?

????

3 2 96 c + 2 ≥ 12=2 3, 8 c

当且仅当 c=4 时,| OQ |最小, 这时 Q 的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6). 6 6 2 ? ? ?a2-b2=1, ?a =4, x2 y2 ? 因为? 所以 2 于是双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 ?b =12. ? ?a2+b2=16, ?

????

8.设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M

?3 5,4 5?,F( 5,0),且 P 为 L 上动点.求||MP|-|FP||的最大值. 5 ? ? 5

解:(1)两圆的圆心分别为 A(- 5,0),B( 5,0),半径为 2,设圆 C 的半径为 r.由 题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2 或|CA|=r+2,|CB|=r-2, 两式相减得|CA|-|CB|=-4 或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4. 则圆 C 的圆心轨迹为双曲线,其中 2a=4,c= 5,b2=1, x2 ∴圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 -y2=1. 4 (2)由(1)知 F 为双曲线 L 的一个焦点,如图,连接 MF 并延长交双曲 线于一点 P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值. 又|MF|=

?3 5- 5?2+?4 5?2=2, ? 5 ? ? 5 ?
2.3.2 双曲线的简单几何性质

∴||MP|-|FP||的最大值为 2.

预习课本 P56~60,思考并完成以下问题 1.双曲线有哪些几何性质?

2.双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么?

3.双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么?

[新知初探] 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

性质

焦点 焦距 范围 对称性 顶点

F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c x≤-a 或 x≥a,y∈R

F1(0,-c),F2(0,c)

y≤-a 或 y≥a,x∈R

对称轴:坐标轴;对称中心、原点 A1(-a,0),A2(a,0) 实轴:线段 A1A2,长:2a; A1(0,-a),A2(0,a)

性质



虚轴:线段 B1B2,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b

离心率 渐近线 2.等轴双曲线 b y=± ax

c e= ∈(1,+∞) a a y=± bx

实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是 y=± x,离心率为 e= 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置; (2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越 大,反之亦然. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) x2 y2 (1)双曲线 - =1 的焦点在 y 轴上( 2 4 ) )

(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔( (3)以 y=± 2x 为渐近线的双曲线有 2 条( 答案:(1)× (2)√ (3)× ) B.2 2 D.4 2 )

2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4 答案:C x2 y2 3.双曲线 - =1 的渐近线方程为( 16 9 A.3x± 4y=0 C.9x± 16y=0 答案:A

) B.4x± 3y=0 D.16x± 9y=0

3 4.双曲线的渐近线方程为 y=± x,则离心率为________. 4 5 5 答案: 或 4 3

双曲线的几何性质 [典例] 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和 渐近线方程. x2 y2 [解] 双曲线的方程化为标准形式是 - =1, 9 4

∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c= 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上, ∴顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(- 13,0),( 13,0), 实轴长 2a=6,虚轴长 2b=4, c 13 2 离心率 e=a= ,渐近线方程为 y=± x. 3 3

已知双曲线方程求其几何性质时,若不是标准方程的先化成标准方程,确定方程中 a,b 的 对应值,利用 c2=a2+b2 得到 c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质. [活学活用] 求双曲线 9x2-y2=81 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程. x2 y2 x2 y2 解:将 9x2-y2=81 变形为 - =1,即 2- 2=1. 9 81 3 9 ∴实轴长 2a=6,虚轴长 2b=18; 顶点坐标为(3,0),(-3,0); 焦点坐标为(3 10,0),(-3 10,0); 离心率 e= 10,渐近线方程为 y=± 3x. 由双曲线的几何性质求标准方程 x2 [典例] 求过点(2,-2)且与 -y2=1 有相同渐近线的双曲线的标准方程. 2 b 2 [解] 法一:当焦点在 x 轴上时,由于a= . 2 x2 y2 故可设方程为 2- 2=1, 2b b 代入点(2,-2)得 b2=-2(舍去); a 2 当焦点在 y 轴上时,可知b= , 2 y2 x2 故可设方程为 2- 2=1, a 2a 代入点(2,-2)得 a2=2. y2 x2 所以所求双曲线方程为 - =1. 2 4 x2 x2 法二: 因为所求双曲线与已知双曲线 -y2=1 有相同的渐近线, 故可设双曲线方程为 2 2 -y2=λ(λ≠0),

代入点(2,-2)得 λ=-2, x2 所以所求双曲线的方程为 -y2=-2, 2 y2 x2 即 - =1. 2 4

(1)一般情况下,求双曲线的标准方程关键是确定 a,b 的值和焦点所在的坐标轴,若给 c 出双曲线的顶点坐标或焦点坐标,则焦点所在的坐标轴易得.再结合 c2=a2+b2 及 e= 列 a 关于 a,b 的方程(组),解方程(组)可得标准方程. b x2 y2 (2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y=± x, 那么此双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a a b [活学活用] 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2 x2 y2 y2 x2 解:(1)设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 由题意知 2b=12, = 且 c2=a2+b2, a 4 ∴b=6,c=10,a=8, x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 3 (2)设以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 2 x2 y2 - =λ(λ≠0), 4 9 9 当 λ>0 时,a2=4λ,∴2a=2 4λ=6?λ= . 4 当 λ<0 时,a2=-9λ,∴2a=2 -9λ=6?λ=-1. x2 4y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 9 81 9 4 双曲线的离心率 x2 y2 [典例] (山东高考)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行 a b 的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

b [解析] 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ,又直 a b 线 l 过右焦点 F(c,0),则直线 l 的方程为 y=a(x-c).因为点 P 的横坐标 4a2 y2 为 2a,代入双曲线方程得 2 - 2=1,化简得 y=- 3b 或 y= 3b(点 P a b b 在 x 轴下方,故舍去),故点 P 的坐标为(2a,- 3b),代入直线方程得- 3b=a(2a-c), c 化简可得离心率 e=a=2+ 3. [答案] 2+ 3

求双曲线离心率的两种方法 c (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e=a求解,若已知 a,b,可利用 e= 解. (2)方程法:若无法求出 a,b,c 的具体值,但根据条件可确定 a,b,c 之间的关系, c 可通过 b2=c2-a2,将关系式转化为关于 a,c 的齐次方程,借助于 e= ,转化为关于 e 的 a n 次方程求解. [活学活用] x2 y2 1.如果双曲线 2- 2=1 右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异 a b 点,则双曲线离心率的取值范围是________. 解析:如图,因为 AO=AF,F(c,0), c c c 所以 xA= ,因为 A 在右支上且不在顶点处,所以 >a,所以 e= >2. a 2 2 答案:(2,+∞) x2 y2 2.设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1| a b +|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. 解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2| = 2a , |F1F2| = 2c ,则在△ PF1F2 中,∠ PF1F2 = 30° ,由余弦定理得 (2a)2 = (4a)2 + (2c)2 - 2×(4a)×(2c)×cos 30° ,整理得(e- 3)2=0,所以 e= 3. 答案: 3 b?2 1+? ?a? 求

层级一

学业水平达标

1.下列双曲线中离心率为 x2 y2 A. - =1 2 4 x2 y2 C. - =1 4 6

6 的是( 2

) x2 y2 B. - =1 4 2 x2 y2 D. - =1 4 10

c2 3 6 3 2 解析:选 B 由 e= 得 e = ,∴ 2= , 2 2 a 2 则 a2+b2 3 b2 1 2 2 2 = ,∴ 2= ,即 a =2b .因此可知 B 正确. a 2 a 2

2.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程 是( ) A.x2-y2=8 C.y2-x2=8 解析:选 A 令 y=0 得,x=-4, ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0), 1 1 ∴c=4,a2= c2= ×16=8,故选 A. 2 2 x2 y2 3.双曲线 + k =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 A.(-10,0) C.(-3,0) B.(-12,0) D.(-60,-12) ) B.x2-y2=4 D.y2-x2=4

解析:选 B 由题意知 k<0,∴a2=4,b2=-k. ∴e2= a2+b2 4-k k =1- . 2 = a 4 4

k 又 e∈(1,2),∴1<1- <4,∴-12<k<0. 4 4.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3
2 2

)

x y B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4

2

2

x2 y2 解析:选 B 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9, a b

设 A(x1,y1),B(x2,y2)则有

? ?x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2- 2=1, a b

y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 两式作差得 = = = 2, x1-x2 a2?y1+y1? -15a2 5a -15-0 又 AB 的斜率是 =1, -12-3 所以 4b2=5a2,代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5, x2 y2 所以双曲线标准方程是 - =1. 4 5 5.(2016· 浙江高考)已知椭圆 C1: x2 x2 2 2 2+y =1(m>1)与双曲线 C2: 2-y =1(n>0)的焦 m n )

点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 D.m<n 且 e1e2<1

解析:选 A C1 的焦点为(± m2-1,0),C2 的焦点为(± n2+1,0),∵C1 与 C2 的焦点 重合,∴ m2-1= n2+1,∴m2=n2+2,∴m2>n2.∵m>1,n>0,∴m>n. m2-1 n2+1 ∵C1 的离心率 e1= ,C2 的离心率 e2= , m n ∴ e1e2 = m2-1 n2+1 · = m n ?m2-1??n2+1? = mn ?m2-1??n2+1? = m2n2 ?n2+1?2 = ?n2+2?n2

n4+2n2+1 > 1=1. n4+2n2 1 6.(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方 2 程为________. 1 解析:法一:∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 ∴可设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4, 3),∴λ=16-4×( 3)2=4, x2 ∴双曲线的标准方程为 -y2=1. 4 1 法二:∵渐近线 y= x 过点(4,2),而 3<2, 2 1 ∴点(4, 3)在渐近线 y= x 的下方, 2 1 在 y=- x 的上方(如图). 2

∴双曲线的焦点在 x 轴上, 故可设双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由已知条件可得

?a=2, ?16 3 ? a -b =1,
2 2

b 1

2 ? ?a =4, 解得? 2 ?b =1, ?

x2 ∴双曲线的标准方程为 -y2=1. 4 x2 答案: -y2=1 4 x2 y2 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上一点,且 a b =0,△F1PF2 的内切圆半径 r=2a,则双曲线的离心率 e=________. 解析:可设 P 为第一象限的点, 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,① =0,可得 PF1⊥PF2, 由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,② ②-①2,可得 2|PF1|· |PF2|=4c2-4a2=4b2, 即有|PF1|+|PF2|= 4c2+4b2, 由三角形的面积公式可得 1 1 r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)= |PF1|· |PF2|, 2 2 即为 2a( 4c2+4b2+2c)=2b2,整理得:c2-4ac-5a2=0,解得 c=5a(c=-a 舍去), c 即有 e=a=5. 答案:5 x2 y2 8.双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线 9 16 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________.

x2 y2 4 解析:双曲线 - =1 的右顶点 A(3,0),右焦点 F(5,0),渐近线方程为 y=± x. 9 16 3 4 不妨设直线 FB 的方程为 y= (x-5),代入双曲线方程整理,得 x2-(x-5)2=9,解得 3 17 32 x= ,y=- , 5 15 17 32? 所以 B? ? 5 ,-15?. 1 1 1 32 32 所以 S△AFB= |AF||yB|= (c-a)· |yB|= ×(5-3)× = . 2 2 2 15 15 32 答案: 15 y2 9. (全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C: x2- =1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A(0,6 6). 当 8 △APF 周长最小时,求该三角形的面积. y2 解:设双曲线的左焦点为 F1,由双曲线方程 x2- =1 可知,a=1,c=3,故 F(3,0), 8 F1(-3,0). 当点 P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2, 从而△APF 的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|. 因为|AF|= 32+?6 6?2=15 为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,△APF 的周长最小, 由图象可知,此时点 P 在线段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示). 由题意可知直线 AF1 的方程为 y=2 6x+6 6,

? ?y=2 6x+6 6, 由? 2 y2 ? ?x - 8 =1,
得 y2+6 6y-96=0, 解得 y=2 6或 y=-8 6(舍去), 所以 S△APF=S△AF1F-S△PF1F 1 1 = ×6×6 6- ×6×2 6=12 6. 2 2 x2 y2 a2 3 10.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,且 c = . a b 3 (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2 +y2=5 上,求 m 的值.

?ac = 33, 解:(1)由题意得? c ?a= 3,
所以 b2=c2-a2=2.

2

?a=1, 解得? ?c= 3.

y2 所以双曲线 C 的方程为 x2- =1. 2 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). x-y+m=0, ? ? 由? 2 y2 ? ?x - 2 =1, 得 x2-2mx-m2-2=0(判别式 Δ>0). 所以 x0= x1+x2 =m,y0=x0+m=2m. 2

因为点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=5 上, 所以 m2+(2m)2=5. 故 m=± 1. 层级二 应试能力达标 ) x2 y2 1.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3 C. 3 B.2 D.1 |4 3-0| 3+1 =2 3.故选

解析:选 A 不妨取焦点(4,0)和渐近线 y= 3x,则所求距离 d= A.

x2 y2 2.若双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y=-x,则双曲 16 64 线的方程为( ) B.y2-x2=160 D.y2-x2=24

A.y2-x2=96 C.y2-x2=80

解析:选 D 设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦 点为(0,± 4 3),所以 λ<0,且-2λ=(4 3)2,得 λ=-24.故选 D. 3.若中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心 率为( ) B. 5 D. 5 2

A. 6 C. 6 2

解析:选 D

x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).由题意,知过点 (4,-2) a b

b b 的渐近线方程为 y=-ax,所以-2=-a×4,即 a=2b.设 b=k(k>0),则 a=2k,c= 5k, c 5k 5 所以 e= = = .故选 D. a 2k 2 x2 y2 4.(全国甲卷)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左、右焦点,点 M 在 E 上,MF1 a b 1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 C. 3 B. 3 2 )

D.2

c 2c |F1F2| 解析:选 A 法一:作出示意图,如图,离心率 e= = = , a 2a |MF2|-|MF1| 2 2 3 sin∠F1MF2 |F1F2| 由正弦定理得 e= = = = 2. 故选 A. 1 |MF2|-|MF1| sin∠MF1F2-sin∠MF2F1 1- 3 b2 法二:因为 MF1 与 x 轴垂直,所以|MF1|= . a |MF1| 1 1 又 sin∠MF2F1= ,所以 = ,即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得 2a=|MF2|- 3 |MF2| 3 |MF1|=2|MF1|= 2b2 c ,所以 b2=a2,所以 c2=b2+a2=2a2,所以离心率 e= = 2. a a

x2 y2 5 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2 5,0),且离心率为 e= ,则 a b 2 双曲线的标准方程为________. c 5 解析:由焦点坐标,知 c=2 5,由 e=a= ,可得 a=4,所以 b= c2-a2=2,则双 2 x2 y2 曲线的标准方程为 - =1. 16 4 答案: x2 y2 - =1 16 4

x2 y2 6.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F2 与双曲线的一 a b 条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点 M,若∠F1MF2 为锐角,则双曲线离心率的取值 范围是________.

?y=-ax 解析:联立? b ?y=a?x-c?,

b

?x=2, 解得? bc ?y=-2a.

c

c bc ? ∴M? ?2,-2a?,F1(-c,0),F2(c,0), ∴ 3c bc ? =? ?- 2 ,2a?, c bc ? =? ?2,2a?, >0,即 b2c2 3c2 - >0, 4a2 4

由题意可得

化简可得 b2>3a2,即 c2-a2>3a2, c 故可得 c2>4a2,c>2a,可得 e= >2. a 答案:(2,+∞) x2 y 2 7.设双曲线 2- 2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到 a b 直线 l 的距离为 3 c,求双曲线的离心率. 4

x y 解:直线 l 的方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0. 于是有 |b· 0+a· 0-ab| 3 = c, 2 2 4 a +b 3 2 3 c ,两边平方,得 a2b2= c4. 4 16

所以 ab=

又 b2=c2-a2,所以 16a2(c2-a2)=3c4, 两边同时除以 a4,得 3e4-16e2+16=0, 4 解得 e2=4 或 e2= . 3 又 b>a,所以 e2= a2+b2 b2 2 =1+ 2>2,则 e=2. a a

于是双曲线的离心率为 2.

8.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积是 2,求实 数 k 的值.
? ?y=kx-1, 解:(1)由? 2 2 消去 y, ?x -y =1 ?

得(1-k2)x2+2kx-2=0.① 由直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点,
?1-k2≠0, ? 得? 2 2 ? ?Δ=4k +8?1-k ?>0,

解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 即 k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), -2k -2 由方程①,得 x1+x2= ,x1x2= . 1-k2 1-k2 因为直线 l:y=kx-1 恒过定点 D(0,-1), 1 则当 x1x2<0 时,S△AOB=S△OAD+S△OBD= |x1-x2|= 2; 2 1 当 x1x2>0 时,S△AOB=|S△OAD-S△OBD|= |x1-x2|= 2. 2 综上可知,|x1-x2|=2 2, 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 2)2,

? -2k ?2+ 8 =8,解得 k=0 或 k=± 6. 即? ? 2 ?1-k2? 1-k2
6 由(1),可知- 2<k< 2且 k≠± 1,故 k=0 或 k=± 都符合题意. 2


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