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正弦定理习题精选精讲


习题精选精讲 正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在 近年高考中主要有以下五大命题热点: 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 例 1(2005 年全国高考江苏卷)

?ABC 中, A ?
B. 4

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为(



A. 4

?? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ?

?? ?? ? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 C. 6 sin? B ? ? ? 3 6? 3? ? ?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. , cos B ? 3 6

二、判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 例 3(2005 年北京春季高考题)在 ?ABC 中,已知 2 sin A.直角三角形 B.等腰三角形

A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(
D.正三角形



C.等腰直角三角形

三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 ,
?

AB ? 5 , BC ? 7 ,

则 ?ABC 的面积 S=_________ 四、求值问题

王新敞
奎屯

新疆

例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , 设 a、b、c 满足条件 b
2

? c 2 ? bc ? a 2 和

c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题 例 1 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求河的宽度。

C

A 图1

D

B

1

习题精选精讲 (二.)遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15° 北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30° 北。若此灯塔 周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?

易错题解析 例题 1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a
2

? b 2 ? c 2 ,求 A 的取值范围。

A 的取值范围是(60°,90°) 。

例题 2

在△ABC 中,若

a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状。 b 2 tan B

例题 3

在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC

? 3 ,求

a ?b?c sin A ? sin B ? sin C

的值。

例题 5

在△ABC 中,已知 a=2,b= 2

2 ,C=15°,求 A。

例题 6

在△ABC 中, ? cos A

? b cos ? ,判断△ABC 的形状。

2

习题精选精讲 高考试题展示 1、 (06 湖北卷)若 ?ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? 3
D. ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3

2、 (06 安徽卷)如果 ?A B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 1 A. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1 C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 选择答案 B。 4、 (06 辽宁卷)已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A.

A 的正切值是(
D.



3 2

B.

3

C.

15 8

15 7
? 2a ,则 cos B ?

5、 (06 全国卷 I) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

6、06 山东卷)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=

? 3

,a=

3 ,b=1,则 c= 3

(A) 1

(B)2

(C)

3 —1

(D)

8、 (06 北京卷)在 ?ABC 中,若 sin 9、 (06 湖北卷)在 ? ABC 中,已知 a

A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________.

?

3 3 ,b=4,A=30°,则 sinB= 4

.

10、 (06 江苏卷)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 11、 (06 全国 II)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为 12、 (06 上海春)在△ ABC 中,已知 BC 则 cos 2C ? . .

? 8,

AC ? 5 ,三角形面积为 12,

13、 (06 湖南卷)如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明

sin ? ? cos 2? ? 0 ;

A α

(2)若 AC=

3 DC,求 ?

的值.

β B 图3 D C

3

习题精选精讲 14、 (06 江西卷)在锐角 △ ABC 中,角 已知 sin

A B,C 所对的边分别为 a,b,c , ,

A?
2

2 2 , 3

(1)求 tan (2)若 a

B?C A ? sin 2 的值; 2 2

? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值.

17、 (06全国II)在 ?ABC中,?B (1) BC

? 45?, AC ? 10, cos C ?

2 5 ,求 5

??

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

18、 (06 四川卷)已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角, 向量 m ?

??

? ?1, 3 ? , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1

?

?? ?

A; 1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B (Ⅱ)若 cos 2 B ? sin 2 B
(Ⅰ)求角

4

习题精选精讲 19、 (06 天津卷)如图,在 ?ABC 中, (1)求

AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ?

3 . 4

AB 的值;

(2)求 sin

?2 A ? C ? 的值.
AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =(
C.2 D. 3 ? )

20、 (07 重庆理 5)在 ?ABC 中, A. 3 ?

3

B.

2

3

21、 (07 北京文 12 理 11)在 △ ABC 中,若 tan

A?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

22、 (07 湖南理 12)在 △ ABC 中,角

A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3 ,则 B ?



23、 (07 湖南文 12) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若a

? 1, c ? 3, C ?

?
3

,则 A=

. 。

24、 (07 重庆文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 24、 (07 北京文理 13)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果 小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小 的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 25、 (07 福建理 17)在 △ ABC 中, tan (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 .

A?

1 3 , tan B ? . 4 5

17 ,求最小边的边长.

26、 (07 广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为

A(3, , B(0, , C (c, . 4) 0) 0)

? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若 ∠A 是钝角,求 c 的取值范围.
(1)若 c

5

习题精选精讲

??? ??? ? ? ? ??? ??? ? 28、 (07 湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ?
(I)求 ? 的取值范围; (II)求函数



?? ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

29、 (07 全国卷 1 理 17)设锐角三角形

ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . B 的大小; (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

30、 (07 全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数 (2)求

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;

y 的最大值.

32、 (07 山东文 17)在 △ ABC 中,角 (1)求 cos C ;

A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan

CA ? (2)若 CB ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

6

习题精选精讲 33、 (07 上海理 17)在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A, B, C 的对边. 若a

? 2, C ?

π 4

, cos

B 2 5 ? 2 5

,求 △ ABC 的面积 S .

34、 (07 天津文 17)在 △ ABC 中,已知 (Ⅰ)求 sin

AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 . 5

B 的值;

(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

35、 (07 浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 (I)求边

2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .

AB 的长;

(II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

36、 (07 天津文理 15) 如图,在 ?ABC 中, ?BAC

? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则

???? ??? ? AD?BC ? __________ .

A B

D

C

7


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