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6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质


上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍 由考试研究专家精心打造训练材料,为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 1.y=sinx,x∈R 和 y=cosx,x∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = sin?x?
1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = cos?x?
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中, 五个关键点是 (0,0) (
?
2

,1) (?,0) (

3? 2

,-1) (2?,0)

余弦函数 y=cosx, x?[0,2?]的图像中, 五个关键点是 (0,1) (
?
2

,0)

(?,-1)

(

3? 2

,0)

(2?,1) 3.定义域: 正弦函数、 余弦函数的定义域都是实数集 R [或(-∞,+∞)] ,分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R 4.值域 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. 其中正弦函数 y=sinx,x∈R ? ①当且仅当 x= +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1.
2

②当且仅当 x=-

?
2

+2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1.

而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1. ②当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1. 5.周期性 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就 叫做 f(x)的最小正周期. 1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做
1

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f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π .
6.奇偶性 y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数 正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 7.单调性 ? ? 正弦函数在每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大
2 2 3? 2

到 1;在每一个闭区间[

?
2

+2kπ ,

+2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.

余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 例 1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; 1 ? (3)y=2sin( x- ),x∈R.
2 6

一般地,函数 y=Asin(ω x+ ? ),x∈R 及函数 y=Acos(ω x+ ? ),x∈R(其中 A、ω 、 ? 为 常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T= . ? 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对于上述例子: 2? 1 (1)T=2π ,(2)T= =π ,(3)T=2π ÷ =4π
2 2 2?

例 2 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0. ? ? (1)sin(- )-sin(- ); (2)cos(-
18 23 ? 5

)-cos(-

10 17 ? 4

).

2

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例 3 求函数 y=

3 cos x ? 1 cos x ? 2

的值域.

例 4.f(x)=sinx 图象的对称轴是 . ? 例 5.(1)函数 y=sin(x+ )在什么区间上是增函数?
4

(2)函数 y=3sin(

?
3

-2x)在什么区间是减函数?

【当堂训练】 1.函数 y=cos (x-
2

?
12

)+sin (x+

2

?
12

)-1 是(

)

A.奇函数而不是偶函数 C.奇函数且是偶函数 2.函数 y=sin(2x+ A.x=-
?
2 5? 2

B.偶函数而不是奇函数 D.非奇非偶函数 )
?
8 3? 2

)图象的一条对称轴方程是( B.x=-
?
4

C.x=

D.x=

5? 4

3.设条件甲为“y=Asin(ω x+φ )是偶函数” ,条件乙为“φ =

” ,则甲是乙的(

)

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 4 4.函数 y=sin x+cos x 的最小正周期为 . 5.函数 y=sin2xtanx 的值域为 . 6.函数 y=x-sinx,x∈[0,π ]的最大值为( ) A.0 B.
2

?
2

-1

C.π
2

D.

3? 4

?

2 2

7.求函数 y=2sin 2x+4sin2xcos2x+3cos 2x 的最小正周期.

3

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8.求函数 f(x)=sin x+cos x 的最小正周期,并求 f(x)的最大值和最小值.

6

6

9.已知 f(x)=

1 ? sin x cos x 1 ? sin x cos x

,问 x 在[0,π ]上取什么值时,f(x)取到最大值和最小值.

10.给出下列命题: ①y=sinx 在第一象限是增函数; ②α 是锐角,则 y=sin(α +
?
4

)的值域是[-1,1] ;

③y=sin|x|的周期是 2π ; ④y=sin2x-cos2x 的最小值是-1; 其中正确的命题的序号是 . 11.求下列函数的单调递增区间: ? ? ? ①y=cos(2x+ ); ②y=3sin( - )
6 3 2

12.求函数 y=-|sin(x+

?
4

)|的单调区间.

13.函数 y=sin(2x+ A.x=-
?
2

5? 2

)的图象的一条对称轴方程是(
?
4

) D.x=
5? 4

B.x=-

C.x=

?
8

4

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【家庭作业】 1.在下列区间中函数 y=sin(x+ A.[
?
2

?
4

)的单调增区间是(
?
4

) D.[
?
4

,π ]

B.[0,


?

C.[-π ,0] 对称,试求 a 的值.



?
2



2.若函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-
例 3 . 已知 ? 是正数,函数 3 f ( x ) ? 2 sin ? x 在 [ ? ,

8

? ?
3 4

]上递增,求 ? 的取值范围 .

4.求下列函数的定义域、值域: (1) ; (2) ; (3) .

5.求下列函数的最大值,并求出最大值时 (1) , ; (2)

的集合: , ;

(3)

(4)



6.要使下列各式有意义应满足什么条件?

(1)



(2)



5

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7.函数



的简图是(



8.函数 A.2,-2

的最大值和最小值分别为( B.4,0 C.2,0

) D.4,-4

9.函数

的最小值是(



A. 10.如果

B.-2 与

C. 同时有意义,则

D. 的取值范围应为( )

A. 11. 与

B.

C. 都是增函数的区间是( )

D.



A.



B.



C. 12.函数 13.求证:



D. 时

, 的集合为_________.

的定义域________,值域________,

(1)

的周期为



(2)

的周期为



(3)

的周期为



参考答案:
6

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例 1 解:(1)∵y=cosx 的周期是 2π ∴只有 x 增到 x+2π 时,函数值才重复出现. ∴y=3cosx,x∈R 的周期是 2π . (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=sinZ,Z∈R 的周期是 2π . 即 Z+2π =2x+2π =2(x+π ). 只有当 x 至少增加到 x+π ,函数值才能重复出现. ∴y=sin2x 的周期是π . 1 ? (3)令 Z= x- ,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=2sinZ,Z∈R 的周期是 2π ,
2 6 1 2

由于 Z+2π =(

x-

?
6

)+2π =

1 2

(x+4π )-

?
6

,所以只有自变量 x 至少要增加到 x+4π ,
1 2

函数值才能重复取得,即 T=4π 是能使等式 2sin[ 小正数. 从而 y=2sin(
1 2

(x+T)-

?
6

]=2sin(

1 2

x-

?
6

)成立的最

x-

?
6

),x∈R 的周期是 4π .

从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量 x 的系数有关. ? ? ? ? 例 2 解:(1)∵- <- <- < .
2 10 18 2

且函数 y=sinx,x∈[- ∴sin(- 即 sin(- (2)cos(- cos(- ∵0<
?
10

?
2



?
2

]是增函数.

)<sin(- )-sin(- )=cos
17 ? 4 3? 5

?
18

) )>0 =cos
?
4 3? 5

?

?

18 23 ? 5

10 23 ? 5

17 ? 4

)=cos <π

=cos

?
4



且函数 y=cosx,x∈[0,π ]是减函数 3? ? ∴cos <cos 即 cos
5 3? 5 4

-cos
23 ? 5

?
4

<0
17 ? 4
2y ?1 3? y ?| 2y ?1 3? y

∴cos(-

)-cos(-

)<0 |=|cosx|≤1 ? (
2y ?1 3? y

例 3 解:由已知:cosx=
4 3

) ≤1 ? 3y +2y-8≤0

2

2

∴-2≤y≤

7

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∴ymax=

4 3

,ymin=-2

例 4 解:由图象可知: 对称轴方程是:x=kπ +
?
2

(k∈Z)

例 5 解:(1)函数 y=sinx 在下列区间上是增函数: ? ? 2kπ - <x<2kπ + (k∈Z)
2 2

∴函数 y=sin(x+ <2kπ +
?
4

?
4

)为增函数,当且仅当 2kπ -

?
2

<x+

?
4

<2kπ +

?
2

即 2kπ -

?
3

<x

(k∈Z)为所求.
?
3

(2)∵y=3sin( 由 2kπ - 得 kπ -
?
2

-2x)=-3sin(2x-
?
3

?
3

)

≤2x-

≤2kπ +
5? 12

?
2

?
12

≤x≤kπ +
?
3

(k∈Z)为所求.

或:令 u=

-2x,则 u 是 x 的减函数
?
2

又∵y=sinu在[2kπ - ∴原函数 y=3sin( 设 2kπ -
?
2

,2kπ +

?
2

](k∈Z)上为增函数,
?
2

?
3

-2x)在区间[2kπ -
?
2 5? 12

,2kπ +

?
2

]上递减.


?

?
3

-2x≤2kπ +

解得 kπ -

≤x≤kπ +
?
3

(k∈Z)
?
12

12

∴原函数 y=3sin( 【当堂训练】 1.A

-2x)在[kπ -

,kπ +

5? 12

](k∈Z)上单调递减.

2.A 3.B 4.
?
2

?
2

5.[0,2 )

6.C
1 4

7. .

?
2

8.T= 9.x=

函数最大值为 1 函数最小值为 时,f(x)取到最小值
1 3

?
4



x=

3? 4

时,f(x)取到最大值 3.

10.分析:①y=sinx 是周期函数,自变量 x 的取值可周期性出现,如反例: ? ? 令 x1= ,x2= +2π ,此时 x1<x2
4 6

而 sin

?
3

>sin(

?
6

+2π )

8

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∴①错误; ②当α 为锐角时,
2 2

?
4

<α +

?
4



?
2



?
4

由图象可知

<sin(α +

?
4

)≤1

∴②错误; ③∵y=sin|x|(x∈R)是偶函数. 其图象是关于 y 轴对称,可看出它不是周期函数. ∴③错误; 2 2 ④y=sin x-cos x=-cos2x,最小值为-1 ∴④正确. 答案:④ ? 11. 解:①设u=2x+ ,则 y=cosu当 2kπ -π ≤u≤2kπ 时 y=cosu 随 u 的增大而增
6

大 又∵u=2x+
?
6

随 x∈R 增大而增大 )当 2kπ -π ≤2x+
?
12

∴y=cos(2x+ 即 kπ -
7 12

?
6

?
6

≤2kπ (k∈Ζ )

π ≤x≤kπ -
?
6

时,y 随 x 增大而增大

∴y=cos(2x+ [kπ -
7 12

)的单调递增区间为:
?
12

π ,kπ - -
?
2

](k∈Z)

②设u=

?
3

,则 y=3sinu
3? 2

当 2kπ + 又∵u=

?
2

≤u≤2kπ + -
?
x 2

时,y=3sinu随 x 增大在减小,

?
3

随 x∈R 增大在减小
x 2

∴y=3sin( 即-4kπ - ∴y=3sin( [4kπ -
7 3



)当 2kπ +

?
2



?
3



x 2

≤2kπ + 3?
2

3 7? 3

≤x≤-4kπ -
x 2

?
3

时,y 随 x 增大而增大

?
3



)的单调递增区间为
?
3

π ,4kπ -

](k∈Z)

12. 解:利用“五点法”可得该函数的图象为: 显然,该函数的周期为π ? ? 在[kπ - ,kπ + ](k∈Z)上为单调递减函数;
4 4
9

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在[kπ +

?
4

,kπ +

3? 4

](k∈Z)上为单调递增函数.
5? 2

13. 方法一:运用性质 1′,y=sin(2x+ 1,得 x-1=- 故选 A.
?
2

)的所有对称轴方程为 xk=

k? 2

-π (k∈Z),令 k=-

,对于 B、C、D 都无整数 k 对应.

方法二:运用性质 2′,y=sin(2x+

5? 2

)=cos2x,它的对称轴方程为 xk=

k? 2

(k∈Z),令

k=-1,得 x-1=-
【家庭作业】

?
2

,对于 B、C、D 都无整数 k 对应,故选 A.

1.分析:函数 y=sin(x+ =sin(x+
?
4

?
4

)是一个复合函数即 y=sin[ ? (x)] ? (x)=x+ ,
?
4

?
4

,欲求 y

)的单调增区间,因 ? (x)=x+

在实数集上恒递增,故应求使 y 随 ? (x)递增而

递增的区间. 方法一:∵ ? (x)=x+ Z)上是递增的,故令 2kπ - ∴2kπ -
3? 4

?
4

在实数集上恒递增,又 y=sinx 在[2kπ - ≤x+
?
4 3? 4 11 ? 4

?
2

,2kπ +

?
2

](k∈

?
2

?
4

≤2kπ +

?
2

≤x≤2kπ +
?
4

∴y=sin(x+

)的递增区间是[2kπ - ,
7 4

,2kπ +
3? 4

?
4


?
4

取 k=-1、0、1,分别得[-

π ][- 、



][ 、

5? 4



9? 4

] ,

对照选择支,可知应选 B 像这类题型,上述解法属常规解法,而运用 y=Asin(ω x+ ? )的单调增区间的一般结论,由 一般到特殊求解,既快又准确,如本题倘若运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简 明而又准确、可靠的方法. ? 方法二:函数 y=sin(x+ )的对称轴方程是:
4

xk=kπ +

?
2



?
4

=kπ + ,
?
4

?
4

(k∈Z),对照选择支,分别取 k=-1、0、1,得一个递增或递
?
4

减区间分别是[-

3? 4

]或[



5? 4

] ,对照选择支思考即知应选 B.

注:一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方程求其一个单调 区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得. ? 2. 解:显然 a≠0,如若不然,x=- 就是函数 y=sin2x 的一条对称轴,这是不可能的.
8



a
a 1? a



0
1 1? a
2


sin 2 x ) ?
10


2

y



sin2x



acos2x= 1 ? a 2 (

cos 2 x ?
2

1 ? a cos( 2 x ? ? )

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其中 cosθ =
sin ? cos ?
2

a 1? a
2

, sin ? ?

1 1? a
2

即 tanθ =

?

1 a

函数 y= 1 ? a cos(2x-θ )的图象的对称轴方程的通式为 2xk=kπ +θ (k∈Z) ∴xk=

?
2

?

k? 2

,令 xk=-
?
4

?
8

?

?
2

?

k? 2

=-

?
8

∴θ =-kπ -

∴tanθ =tan(-kπ - 即
1 a

?
4

)=-1.

=-1,∴a=-1 为所求.

3. 解:由题设得 2 k ? ?
? ? ? 0 ,? ? ?? ?? ? ? 2 k? ?

?
2

? ? x ? 2 k? ?
? x? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )
.

?
2?

?
2?

2?

, 3 解得 0 ? ? ? 3 . ? ? 2 ? . 2? 4

?

? ?

? ?

?

故 ? 的取值范围为 ( 0 , ].
2

3

4. 解:(1) (2)由 又∵ ∴定义域为 (3)由 ∴ ∴定义域为

, ( ,∴ ( ),值域为 ( . ),又由 )



),值域为



指出:求值域应注意用到



有界性的条件.

11

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5.

解:(1)当

,即



)时,

取得最大值

∴函数的最大值为 2,取最大值时

的集合为



(2)当 .

时,即



)时,

取得最大值

∴函数的最大值为 1,取最大值时 (3)若 ,

的集合为



,此时函数为常数函数.



时, ,



时,即



)时,函数取最大值

∴ (4)若 若 若 ∴当

时函数的最大值为 ,则当 ,则 ,当

,取最大值时

的集合为 .



时,函数取得最大值

,此时函数为常数函数. 时,函数取得最大值 ,取得最大值时 时,函数取得最大值 时,函数无最大值. 或 的系数进行讨论. . 的集合为 ,取得最大值时 的集合为

时,函数取得最大值 ;当 ,当

指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 思考:此例若改为求最小值,结果如何?

6. 解:(1)由



∴当

时,式子有意义.
12

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(2)由

,即

∴当 7.B 8.B

时,式子有意义. 9.A 10.C 11.D

12.



; 证明.

13. 分析:依据周期函数定义
证明:(1)



的周期为



(2)



的周期为



(3)



的周期为



13


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? r y 以上种函数,统称为三角函数 王新敞奎屯 新疆 今天我们要研究怎样作正弦函数、 余弦函数的图象, 作三角函数图象的方法一般有两种: (1)描点法; (2)...
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