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(人教B版)高中数学必修5-第三章综合素质检测(含答案解析)


第三章综合素质检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分,每小 题给出的四个备选答案中,有且仅有一个是符合题目要求的) 1.设 M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有 ( A.M>N C.M<N [答案] A [解析] 1 M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=(a+2)2 B.M≥N D.M≤N )

3 +4>0,∴M>N. 2.不等式 x2-2x-5>2x 的解集是( A.{x|x≥5 或 x≤-1} B.{x|x>5 或 x<-1} C.{x|-1<x<5} D.{x|-1≤x≤5} [答案] B [解析] 不等式化为 x2-4x-5>0, ∴(x-5)(x+1)>0,∴x<-1 或 x>5. 3.(x-2y+1)(x+y-3)<0 表示的平面区域为( ) )

[答案] C [解析] 将点(0,0)代入不等式中, 不等式成立, 否定 A、 B, 将(0,4) 点代入不等式中,不等式成立,否定 D,故选 C. 1 4.设 b>a>0,a+b=1,则下列四个数2,2ab,a2+b2,b 中, 最大的数是( 1 A.2 C.2ab [答案] B [解析] 因为 b>a>0,a+b=1, 1 所以 0<a<2<b<1,a2+b2>2ab. 又因为 a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0. 所以 a2+b2<b,故四个数中最大的数是 b. ) B.b D.a2+b2

5.若 a<b,d<c,并且(c-a )(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则 a、b、 c、d 的大小关系是( A.d<a<c<b C.a<d<b<c [答案] A [解析] ∵a<b,(c-a)(c-b)<0, ∴c-a>0,c-b<0, ∴a<c<b. 又∵d<c,∴d<b,∴d-b<0. 又∵(d-a)(d-b)>0,∴d-a<0, ∴d<a. ∴d<a<c<b. 1 1 6.设 M=a+ (2<a<3),N=log0.5(x2+16)(x∈R)那么 M、N a-2 的大小关系是( A.M>N C.M<N [答案] A [解析] ∵2<a<3,∴a-2>0.
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) B.a<c<b<d D.a<d<c<b

)

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B.M=N D.不能确定

1 1 M=a+ =a-2+ +2>4, a-2 a-2 1 1 N=log0.5(x2+16)≤log0.516=4,∴M>N. x-y≥0 ? ?2x+y≤2 7. 若不等式组? y≥0 ? ?x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形, 则a

的取值范围是( 4 A.a≥3 4 C.1≤a≤3 [答案] D

) B.0<a≤1 4 D.0<a≤1 或 a≥3

[解析] 由图形知,要使平面区域为三角形,只需直线 l:x+y= 4 a 在 l1、l2 之间或在 l3 上方.∴0<a≤1 或 a≥3.

1 8.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0,2]成立,则 a 的最小值 为( ) A.0 5 C.-2 [答案] C 1 [解析] ∵x∈(0,2], B.-2 D.-3

-x2-1 1 ∴a≥ x =-x-x. 1 1 由于函数 y=x+x在(0,2]上单调递减, 1 5 ∴在 x=2处取得最小值2. 1 5 ∴-(x+x)≤-2. 5 ∴a≥-2. 1 1 9.已知 a>0,b>0,a,b 的等差中项是2,且 α=a+a, 1 β=b+b则 α+β 的最小值是( A.3 C.5 [答案] C 1 1 [解析] 由题意 a+b=1,则 α+β=a+a+b+b 1 1 =1+ ab≥1+ =5. a+b 2 ? 2 ? x ≥y ? ? 10. 若 x、 y 满足条件?x+y≤1 ? ?y≥-1 A.1 C.2 [答案] A [解析] 作出可行域如下图,当直线 y=2x+z 平移到经过可行域 ) B.4 D.6

, 则 z=-2x+y 的最大值为( 1 B.-2 D.-5

)

上点 A(-1,-1)时,z 取最大值, ∴zmax=1.

11.已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),若 a∥b,则 4x+8y 的 最小值为( A. 2 C.2 2 [答案] B [解析] ∵a∥b,∴3(y-1)-(-2)x=0, ∴2x+3y=3. 故 4x+8y=22x+23y≥2 22x+3y=2 23=4 2,当且仅当 2x=3y,即 3 1 x=4,y=2时等号成立. 12.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的 乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运 ) B.4 2 D.2

输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可 装洗衣机 10 台. 若每辆至多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2 000 元 C.2 400 元 [答案] B [解析] 设需甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,由题意知 x≤4,x∈N ? ? ?y≤8,y∈N* ? ?20x+10y≥100
*

B.2 200 元 D.2 800 元



作出其可行域如图所示.

可知目标函数 z=400x+300y 在点 A 处取最小值,z=400×4+ 300 ×2=2 200(元). 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正 确答案填在题中横线上) x +1 13.不等式 x ≤3 的解集是________. 1 [答案] {x|x≥2或 x<0}

[ 解析 ]

x+1 1-2x 2x-1 原不等式等价于 x - 3≤0 ? x ≤0 ? x ≥0 ?

1 x(2x-1)≥0,且 x≠0,解得 x≥2或 x<0. 14.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m) ,则 m= ________. [答案] 2 [解析] 由题意知 a>0 且 1 是方程 ax2-6x+a2=0 的一个根, ∴a =2, ∴不等式为 2x2-6x+4<0,即 x2-3x+2<0, ∴1<x<2,∴m=2. 15.若 a≥0,b≥0,a2+b2=1,则 a 1+b2的最大值为________. [答案] 1 [解析] ∵a≥0,b≥0, a2+1+b2 ∴a 1+b ≤ =1, 2
2

当且仅当 a= 1+b2,即 a=1,b=0 时取等号. x≥0 ? ? 16.若不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4

,所表示的平面区域被直线 y= kx

4 +3分为面积相等的两部分,则 k 的值是________. 7 [答案] 3 x ≥0 ? ? 不等式组?x+3y≥4 ? ?3x+y≤4

[解析]

,表示的区域如图所示.

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4 直线 y=kx+3经过三角形的顶点 C,要想平分面积,只需要经过 4 AB 的中点 D 即可.解相应的方程组可得 A(1,1)、B(0,4)、C(0,3), 5 4 2-3 7 1 5 则 D(2,2),k=1 =3. 2-0 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2-2kx
2 +1-k2=0 的两个实根,求 x2 1+x2的最小值.

[解析] 由题意,得 x1+x2=2k, x1x2=1-k2. Δ=4k2-4(1-k2)≥0, 1 ∴k2≥2.
2 2 ∴x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2

= 4k2-2(1-k2) 1 =6k2-2≥6×2-2=1.
2 ∴x2 1+x2的最小值为 1.

ax 18.(本题满分 12 分)若 a<1,解关于 x 的不等式 <1 . x-2 [解析] a=0 时,x∈R 且 x≠2; a≠0 时, ?a-1?x+2 ax <1? >0 x-2 x-2 ?[(a-1)x+2](x-2)>0. ∵a<1,∴a-1<0. 2 ∴化为(x- )(x-2)<0, 1-a 2 当 0<a<1 时, >2, 1-a ∴不等式的解为 2<x< 2 ; 1-a

2 当 a<0 时,1-a>1,∴ <2, 1-a 2 ∴不等式解为 <x<2, 1-a
? 2 ? ∴当 0<a<1 时,不等式解集为?x|2<x<1-a?;当 a<0 时,不 ? ? ? 2 ? 等式解集为?x|1-a<x<2?;当 a=0 时,解集为{x∈R|x≠2}. ? ?

19.(本题满分 12 分)已知 x,y 都是正数. (1)若 3x+2y=12,求 xy 的最大值;

1 1 (2)若 x+2y=3,求x+y的最小值. 1 1?3x+2y?2 ? =6. [解析] (1)xy=6· 3 x· 2y≤6? ? 2 ?
? ? ?3x=2y, ?x=2 当且仅当? 即? 时取“=”号. ?3x+2y=12, ?y=3 ? ?

所以当 x=2,y=3 时,xy 取得最大值 6.
?1 1? 1 1 1 (2)x +y =3 (x+2y)? x+y? ? ?

x 2y? 1? 1? =3?3+y+ x ?≥3?3+2
? ? ?

x 2y? ? y·x ?

2 2 =1+ 3 .

?x=2y 当且仅当?y x ?x+2y=3

?x=-3+3 即? 3 y = 3 - ? 2 2

2 时,取“=”号.

3 1 1 2 2 所以,当 x=-3+3 2,y=3-2 2时,x+y取得最小值 1+ 3 . 20.(本题满分 12 分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对一 切 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. [解析] 由 m2-2m-3=0,得 m=-1 或 m=3. 当 m=3 时,原不等式化为-1<0 恒成立; 当 m=-1 时,原不等式化为 4x-1<0, 1 ∴x<4,故 m=-1 不满足题意. 当 m2-2m-3≠0 时,由题意,得
2 ? ?m -2m-3<0 ? , 2 2 ?Δ=[-?m-3?] +4?m -2m-3?<0 ?

?-1<m<3 即? 1 ?-5<m<3
1 ∴-5<m<3.



1 综上可知,实数 m 的取值范围是-5<m≤3. x2 21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= (a、b 为常数),且方程 ax+b f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; ?k+1?x-k (2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f(x)< . 2-x x2 [解析] (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 - x+12=0,得 ax+b

?3a+b=-9 ? 16 ?4a+b=-8

9

? ?a=-1 ,解得? . ?b=2 ?

x2 ∴f(x)= (x≠2). 2-x

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x2-?k+1?x+k x2 ?k+1?x-k (2)原 不等式即为 < ,可化为 <0. 2-x 2-x 2-x 即(x-2)(x-1)(x-k)>0. ①当 1<k<2 时,1<x<k 或 x>2; ②当 k=2 时,x>1 且 x≠2; ③当 k>2 时,1<x<2 或 x>k. 综上所述,当 1<k<2 时,原不等式的解集为{x|1<x<k 或 x>2}; 当 k=2 时,原不等式的解集为{x|x>1 且 x≠2};

当 k>2 时,原不等式的解集为{x|1<x<2 或 x>k}. x-2y+7≥0 ? ? 22.(本题满分 14 分)已知 x、y 满足条件?4x-3y-12≤0 ? ?x+2y-3≥0 =x2+y2 的最大值与最小值. [解析] 在同一直角坐标系中,作直线 x-2y+7=0,4x-3y-12

,求 z

=0 和 x+2y-3=0, 再根据不等式组确定可行域为△ABC(如图所示), 把 x2+y2 看作点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方.
?x-2y+7=0 ? 由? , ?4x-3y-12=0 ?

解得点 A 的坐标(9,8).

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所以(x2+y2)max=|OA|2=92+82=145. |0+0-3| 3 因为原点 O 到直线 BC 的距离为 = , 5 5 9 所以(x2+y2)min=5.


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