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2.7 幂函数11


2.7

幂函数

第二章

2.7

幂函数 -2-

考纲要求 1.通过实例了解幂函数的概念. 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x
2 3 1 1 ,y=x 2 ,y= 的图象,了解它们的变化情况.

x

第二章

2.7

幂函数 -3-

1.幂函数的定义 形如

y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是 自变量 ,α 为

常数 .
2.五种幂函数的图象

第二章

2.7

幂函数 -4-

想一想幂函数的图象一定过第几象限?一定不过第几象限?可能过第 几象限? 答案:幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在

第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函 数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标 轴相交,则交点一定是原点.

第二章

2.7

幂函数 -5-

3.五种幂函数的性质
函数 y=x 特征性质 定义域 值域 奇偶性 奇 R R R [0,+∞) 偶 x∈[0, +∞)时,增, x∈(-∞, 0)时,减 R R 奇 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 {x|x∈R, 且 x≠0} {y|y∈R, 且 y≠0} 奇 x∈(0, +∞)时,减, x∈(-∞, 0)时,减 y=x
2

y=x

3

y=

1 2

y=x-1

单调性







定点

(1,1)

第二章

2.7

幂函数 -6-

基础自测
1.幂函数 f(x)=xα(α 是有理数)的图象过点 2, 是( ) B.(0,+∞) D.(-∞,0)
1 4

,则 f(x)的一个单调递减区间

A.[0,+∞) C.(-∞,0]

∵ 图象过 2,

1 4

,则 =2 ,
4
关闭

1

α

关闭

∴ α=-2.∴ f(x)=x-2. B 由 y=x-2 图象可知 f(x)的单调减区间是(0,+∞).
解析

答案

第二章

2.7

幂函数 -7-

2.当 0<x<1 时,f(x)=x

2

1 ,g(x)=x 2,h(x)=x-2,则

f(x),g(x),h(x)的大小关系是

.

关闭

分别作出 f(x),g(x),h(x)在第一象限内的图象,如图所示.

关闭

h(x)>g (x)>f 可知 h(( xx )) >g(x)>f(x).
解析 答案

第二章

2.7

幂函数 -8-

3.已知点 为

3 ,3 3

3 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的定义域为 .

,奇偶性

,单调减区间为

关闭

设 f(x)=x (α∈R),则 ∴ - = ,得 α=-3.
2 2 3

α

3 3



=3 3,即3 = 3 .

-

2

3 2

∴ f(x)=x-3= 3 .

关闭

1

(∴ -∞ ∪(0,+∞) { 奇函数 ( -∞ 和(0,+∞),单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞). f(,0) x)的定义域为 x|x≠0},且 f(,0) x)为奇函数
解析 答案

第二章

2.7

幂函数 -9-

4.若(a+1)

-

1 1 2 <(3-2a) 2 ,则

a 的取值范围是

.

关闭

令 f(x)= =

-

1 2

1

,则 f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调递减,则

+ 1 > 0, 2 3 原不等式等价于 3-2 > 0, 解得 <a< . 3 2 + 1 > 3-2,
解析
关闭

2 3 3 2

,

解析

答案

第二章

2.7

幂函数 -10-

考点一 幂函数定义的应用
2 2 -5m-3 关闭 【例 1 】 已知函数 f(x)=(m -m-1)x (1) ∵ f(x)是幂函数 ,故 m -m-1=1, ,求当 m 为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2) 即 m2-m-2=0, 解得 m=2 或 m=1. 是正比例函数;(4)是反比例函数. 在(1)的条件下是 (0,+ ∞)上的增函数 ;(3) (2)当 m=-1 时,f(x)=x2,在(0,+∞)上是增函数; 当 m=2 时,f(x)=x-13,在(0,+∞)上不是增函数,故不符合题意. (3)若 f(x)是正比例函数, 4 则-5m-3=1,解得 m=- ,

5

此时 m2-m-1≠0,故 m=- .
5

4

(4)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, 即 m=- ,此时 m2-m-1≠0,故 m=- .
5 5 2 2

答案 答案 考点一 考点二 考点三

第二章

2.7

幂函数 -11-

方法提炼 1.判断一个函数是否为幂函数,只需判断该函数的解析式是否满足:(1) 指数为常数;(2)底数为自变量;(3)幂系数为 1. 2.若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上三个特征.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.7

幂函数 -12-

举一反三 1 已知 f(x)=(m2+2m)x m

2 +m -1

,m 为何值时,f(x)是:

(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.7

幂函数 -13-

2 + m-1 = 1, 解:(1)若 f(x)是正比例函数,则 解得 m=1. 2 + 2m ≠ 0, ∴ 当 m=1 时,f(x)为正比例函数. 2 + m-1 = -1, (2)若 f(x)为反比例函数,则 2 + 2m ≠ 0, 解得 m=-1.∴ 当 m=-1 时,f(x)为反比例函数. 2 + m-1 = 2, (3)若 f(x)为二次函数,则 2 + 2m ≠ 0, 解得 m= ∴ 当 m=
2 -1± 13 2

.

-1± 13

时,f(x)为二次函数.

(4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, 解得 m=-1± 2.∴ 当 m=-1± 2时,f(x)为幂函数.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.7

幂函数 -14-

考点二 比较幂值的大小
【例 2】 比较下列各组数的大小:
1 1 3 (1)(-0.95) 和(-0.96)3 ; 1 3

1 (2)-8 3 和-

1 9

;

(3)0.20.5 和 0.40.3.

考点一

考点二

考点三

第二章
1 3

2.7

幂函数 -15-

解:(1)∵ 函数 y= 在(0,+∞)上是递增函数,且 0.95<0.96. ∴ 0.95 <0.96 , ∴ (-0.95) >(-0.96) . (2)1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 3 9
1 3

1

=-9 ,由于函数 y= 在(0,+∞)上是减函数,∴ 8 >9 ,
1 3

-

1 3

-

1 3

-

1 3

-

1 3

∴ -8 <-9 ,即-8 <-

1 3 9

1

.

(3)由于函数 y=0.2x 在 R 上是减函数, ∴ 0.20.5<0.20.3. 又函数 y=x0.3 在(0,+∞)上是增函数, ∴ 0.20.3<0.40.3,故 0.20.5<0.40.3.
考点一 考点二 考点三

第二章

2.7

幂函数 -16-

方法提炼 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单 调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.7

幂函数 -17-

举一反三 2 比较下列各组数的大小:
(1)30.8,30.7; (2)0.213,0.233;
1 1 x (1) 函数 y= 3 是增函数, 3 2 (3)2 ,1.8 ; 7 3 ∴ 30.8>30.2 . -2 3 (-1.9)5 . (4)4.15 ,3.8 3 和
1 2 1 2 1 3 1 2

关闭

(2)函数 y=x 是增函数,∴ 0.213<0.233. (3)∵ 2 >1.8 >1.8 ,∴ 2 >1.8 . (4)4.1 > 1 =1;0<3.8 < 1 =1;(-1.9) <0,
2 5 2 5 1 3

-

2 3

-

2 3

3 5

∴ (-1.9) <3.8 <4.1 .
答案
答案 考点一 考点二 考点三

3 5

-

2 3

2 5

第二章

2.7

幂函数 -18-

考点三

幂函数的图象与性质
3 7+3t-2t2 -t+1)x 5 (t∈Z)是偶函数,求实数

【例 3】 已知幂函数 f(x)=(t

t 的值.

关闭

∵ f(x)是幂函数,t∈Z,∴ t3-t+1=1.∴ t=-1,1 或 0. 又∵ 函数 f(x)是偶函数, ∴ 7+3t-2t2 是偶数.∴ t=1 或 t=-1.
答案 考点一 考点二 考点三

第二章

2.7

幂函数 -19-

方法提炼 幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方 面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图象过原点,在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不 过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸.

考点一

考点二

考点三

第二章

2.7

幂函数 -20-

举一反三 3 设 f(x)是定义在 R 上以 3 为最小正周期的周期函数,当1≤x<2 时,y=f(x)的表达式是幂函数,且经过点
1 1 , 2 8

,求函数在[3k关闭

1,3k+ 2)(k∈Z 上的表达式 x . 因为当 1) ≤ x<2 时,y=ff (( x )) 的表达式是幂函数 ,且经过点
y=f(x)=x ,即
α

1 1 2 8

,

,令

1 2

= ,所以 α=3,即 f(x)=x3.
8

1

又因为 f(x)是定义在 R 上以 3 为最小正周期的周期函数, 所以当 x∈[3k-1,3k+2)(k∈Z)时,x-3k∈[-1,2). 所以 f(x)=f(x-3k)=(x-3k)3, 即函数在[3k-1,3k+2)(k∈Z)上的表达式为 f(x)=(x-3k)3.
答案 答案 考点一 考点二 考点三

第二章

2.7

幂函数 -211 2 3 4

1.设 a=log32,b=ln 2,c=5 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b 1 ln2 D.c<b<a ∵ <log32= <ln 2,
2 ln3
1 2

-

1 2 ,则(

)

关闭

而 c=5 < ,∴ c<a<b.
2

-

1

解析
关闭

C
解析 答案

第二章

2.7

幂函数 -221 2 3 4

2.如图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )

1 1 2 A.①y=x 3 ,②y=x ,③y=x 2 ,④y=x-1

B.①y=x ,②y=x

3

2

1 ,③y=x 2 ,④y=x-1 1

关闭

可以根据图象对应寻求函数 C.① y=x2,②y=x3,③y=x 2 ,④y=x-1,故应选 B.
1 1 D.①y=x 3 ,②y=x 2 ,③y=x2,④y=x-1

解析

关闭

B
解析 答案

第二章

2.7

幂函数 -231 2 3 4
1 2

3.下图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 取± 2,± 四个值,则对 应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( B )

A.-2,- , ,2 C.- ,-2,2,
1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 D.2, ,-2,2 2

B.2, ,- ,-2

第二章

2.7

幂函数 -241 2 3 4
2 -1

4.若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为
g(x) =- 在 [ 0, +∞) 上为减函数 , 不合题意 ;

当 a>1 时 , 由f (x)=a 在[-1, 2] 上单调递增 , 得 a =4, a =m , 解得 a=2, m= , 此时 x

x

1 4,最小值为 2 m,且函

数 g(x)=(1-4m) x在[0,+ ∞)上是增函数,则 a=________ . x 2 -1
3 4 1 4

当 0<a<1 时 , 由f (x) =a 在 [-1, 2] 上单调递减 , 得 a =m , a =4, 解得 a= , m= . 此时 在 [ 0, +∞) 上为增函数 , 所以 a= .

1 4

1 16

g(x) =

关闭

1 4

解析 解析

关闭

答案


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