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高考数学最后回归基础知识:数列

数列 1.数列通项: an ? f (n) 2、等差数列 1、 定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时,总有 an?1 ? an ? d ,(d常) ,d 叫公差 。 王新敞 奎屯 新疆 2、通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 1) 、 从函数角度看 an ? dn ? (a1 ? d ) 是 n 的一次函数, 其图象是以点 (1, a1 ) 为端点, 斜率为 d 斜线上一些孤立点。 2) 、从变形角度看 数列,公差为相反数。 又 an ? a1 ? (n ?1)d , am ? a1 ? (m ?1)d , 相减得 an ? am ? (n ? m)d ,即 an ? am ? (n ? m)d . 若 n>m,则以 am 为第一项, an 是第 n-m+1 项,公差为 d; 若 n<m ,则 am 以为第一项时, an 是第 m-n+1 项,公差为-d. 3) 、从发展的角度看 若 {an } 是等差数列,则 ap ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d , an ? an ? (n ?1)(?d ) , 即可从两个不同方向认识同一 am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d , 因 此 有 如 下 命 题 : 在 等 差 数 列 中 , 若 m ? n ? p ? q ? 2r , 则 am ? an ? ap ? aq ? 2ar . 3、前 n 项和公式 由 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an , Sn ? an ? an?1 ? ?? a1 , 相加得 Sn ? a1 ? an n, 2 还可表示为 S n ? na1 ? n(n ? 1) d , (d ? 0) ,是 n 2 的二次函数。 特别的,由 a1 ? a2n?1 ? 2an 可得 S2n?1 ? (2n ?1)an 。 3、等比数列 1、定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时,总有 an ? q(q ? 0) , q 叫公比。 an?1 2、通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m , 在等比数列中,若 m ? n ? p ? q ? 2r , 则 am ? an ? ap ? aq ? ar 2 . 3、前 n 项和公式: 由 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , qSn ? a2 ? a3 ? ?? an ? an?1 , 两式相减, 当 q ? 1 时, S ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , (q ? 1) ;当 q ? 1 时 , sn ? na1 。 1? q 1? q 关于此公式可以从以下几方面认识: a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ①不能忽视 S ? 成立的条件: q ? 1 。特别是公比用字母表示 ? 1? q 1? q 时,要分类讨论。②公式推导过程中,所使用的“错位相消法” ,可以用在相减 后所得式子能够求和的情形。 如 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 {an } , Sn ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 3 n n? 1 , xSn ? a1x2 ? a x 2 ? ? an? x1 ? an x ,则 相减得 Sn (1 ? x) ? a1x ? dx2 ? ?? dxn ? an xn?1 , 当 x ? 1 时, Sn (1 ? x) ? a1 x ? a x ? an x n?1 dx 2 (1 ? x n?1 ) dx(1 ? x n?1 ) ? an x n?1 , Sn ? 1 ? 1? x 1? x (1 ? x)2 n(n ? 1)d ; 2 当 x ? 1 时 , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ? 3)从函数角度看 4、递推数列 Sn 是 n 的函数,此时 q 和 a1 是常数。 表示数列中相邻的若干项之间关系 的式子叫数列递推公式。作为 特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用 方法:公式法、 归纳法、累加法、累乘法。特别的, 累加法是求形如 an?1 ? an ? f (n) 递推数列 的 基 本 方 法 , 其 中 数 列 { f (n)} 可 求 前 n 项 和 , 即 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ;累乘法 是求形如 an?1 ? g (n) ? an 递推数列通项 公 式 的 基 本 方 法 , 其 中 数 列 an ? a1 ? a a2 a3 ? ? n , (a ? 0) a1 a2 an?1 {g (n)} 可 求 前 n 项 积 , 即 等差数列与等比数列差别与联系 名称 定义 等差数列 等比数列 an ?1 a a ? q, (q常) , n? 2 ? n?1 (n ? N *) an an?1 an an?1 ? an ? d ,(d常) an?2 ? an?1 ? an?1 ? an (n ? N*) 通项 公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 变式: a1 ? an ? (n ?1)d an ? a1q n?1 ? am q n?m . 性质 m ? n ? p ? q ? 2r (d ? 0可逆) ? am ? an ? a p ? aq ? 2ar . m ? n ? 2r ? am ? an ? 2ar . d ? 0时 m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? (ar )2 . m ? n ? 2r ? am ? an ? (ar )2 . (q ? 1可逆) 中项 增 常数列 减 a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 增; a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时减; q ? 1 时 常数列, q ? 0