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高二理科数学期末复习用卷空间向量与立体几何


高二理科数学期末专题复习——空间向量与立体几何 班级:__________ 姓名:___________

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分)
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( ) B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 → → → 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是 ( ) → → → → A.BD1 B.D1B C.B1D D.DB1 ? ? ? ? → ? ? → ? ? → 3.已知向量 a 、 b ,且AB= a ? 2b ,BC= ?5a ? 6b ,CD= 7 a ? 2b ,则一定共线的三点是(

)

? ? ? ? ? ? 4.已知| a |=2,| b |=3, a , b 〉=60° 〈 ,则|2 a -3 b |等于
A. 97 B.97 C. 61

A.A、B、D

B.A、B、C

C.B、C、D (

D.A、C、D ) D.61

? ? 5.若直线 l 的方向向量为 a ,平面 α 的法向量为 n ,则能使 l∥α 的是 ( ) ? ? ? ? A. a =(1,0,0), n =(-2,0,0) B. a =(1,3,5), n =(1,0,1) ? ? ? ? C. a =(0,2,1), n =(-1,0,-1) D. a =(1,-1,3), n =(0,3,1) ? ? ? ? ? ? 6.已知向量 a =(1,1,0), b =(-1,0,2),且 k a + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 的值是(
7 A.1 D. 5 → → 7.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为 A.30° B.45° C.60° 1 C. 2 D.90° 1 B. 5 3 C. 5

)

(

)

? ? ? ? ? ? 8.已知 a =(2,-1,3), b =(-4,2,x), c =(1,-x,2),若( a + b )⊥ c ,则 x 等于(
A.4 B.-4 D.-6 )

)

? ? ? ? 9.已知 a =(2,-1,2), b =(2,2,1),则以 a 、 b 为邻边的平行四边形的面积为(
A. 65 65 B. 2 C.4 D.8

10.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k 等于( A.2 B.-4 C.4 D.-2 11.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等于( A.30° B.60° C.150° D.以上均错

)

)

12.三棱锥 A—BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则 AB · CD 等于 ( ). B.2 D.2 3

??? ?

??? ?

A.-2 C.-2 3

1

→ → → → → 13.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当QA·QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 1 3 1 A.( , , ) 2 4 3 4 4 8 C.( , , ) 3 3 3 ( ). 1 3 3 B.( , , ) 2 2 4 4 4 7 D.( , , ) 3 3 3 第 14 题图 14.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点, P 是 A1B1 的中点,则直线 PQ 与 AM 所成的角为 π A. 6 π B. 4 π C. 3 ( ). π D. 2

15.已知点 A 在基底{ a, b, c }下的坐标为(8,6,4),其中 a ? i ? j , b ? j ? k , c ? k ? i ,则点 A 在基底{ i, j , k }下的坐标为 A.(12,14,10) C.(14,10,12)

? ? ?

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(

). B.(10,12,14) D.(4,2,3)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
→ → → → 16.已知 P 和不共线三点 A,B,C 四点共面且对于空间任一点 O,都有OP=2OA+3OB+λOC,则 λ=________. 17.已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e =(1,1,1)是 α 的法向量,M(x,y,z)是平面 α 内任意一 点,则 x,y,z 满足的关系式是________. π 18.如图,已知二面角 M—l—N 的平面角为 θ ?θ∈?0,2??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在平面 N 内, ? ? ?? BC 在 l 上,CD 在平面 M 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为________. → 1 → → → → → 19.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1E= A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则 y=________. 4

?

20.已知四面体顶点 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和 D(-5,-4,8),则顶点 D 到平面 ABC 的距离为______.
2

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)
? → ? → 21.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a =AB, b =AC.
(1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.

?

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22.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)证明:AC⊥BC1; (2)求二面角 C1—AB—C 的余弦值大小.

23.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G 分别 为 CC1,B1C1,A1C1 的中点, (1)求证:B1D⊥平面 ABD; (2)求证:平面 EGF∥平面 ABD; (3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离.

3

24.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF 1 =AB=BC=FE= AD. 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD⊥平面 CDE;

25.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (1)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理由; (2)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° ,求 AB 的长.

4

高二理科数学期末复习——空间向量与立体几何 班级:__________ 姓名:___________

一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分)
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B → → → 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是 ( → → → → A.BD1 B.D1B C.B1D D.DB1 答案 A ) ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ? → ? ? → ? ? → ? 3.已知向量 a 、 b ,且AB= a ? 2b ,BC= ?5a ? 6b ,CD= 7 a ? 2b ,则一定共线的三点是(
A.A、B、D 答案 A B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D

)

4.已知| a |=2,| b |=3, a , b 〉=60° 〈 ,则|2 a -3 b |等于 A. 97 答案 C B.97 C. 61

?

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?

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(

) D.61

5.若直线 l 的方向向量为 a ,平面 α 的法向量为 n ,则能使 l∥α 的是

?

?

? ? A. a =(1,0,0), n =(-2,0,0) ? ? C. a =(0,2,1), n =(-1,0,-1)
? ?

? ? B. a =(1,3,5), n =(1,0,1) ? ? D. a =(1,-1,3), n =(0,3,1)
? ? ? ?

(

)

答案 D

6.已知向量 a =(1,1,0), b =(-1,0,2),且 k a + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 的值是( 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 答案 D → → 7.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为 A.30° 答案 C B.45° C.60° D.90° ( )

)

8.已知 a =(2,-1,3), b =(-4,2,x), c =(1,-x,2),若( a + b )⊥ c ,则 x 等于( 1 A.4 B.-4 C. D.-6 2 答案 B 9.已知 a =(2,-1,2), b =(2,2,1),则以 a 、 b 为邻边的平行四边形的面积为( 65 A. 65 B. C.4 D.8 2 答案 A

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)

5

10.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k 等于( A.2 答案 C 11.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等于( A.30° 答案 B B.60° C.150° D.以上均错 B.-4 C.4 D.-2

)

)

→ → 12.三棱锥 A—BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AB ·CD 等于 ( ). B.2 D.2 3

A.-2 C.-2 3

→ → → → → → → → → 解析 AB·CD=AB·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC → → =|AB||AD|cos 90°-2×2×cos 60°=-2. 答案 A → → → → → 13.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当QA·QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 1 3 1 A.( , , ) 2 4 3 4 4 8 C.( , , ) 3 3 3 ( ). 1 3 3 B.( , , ) 2 2 4 4 4 7 D.( , , ) 3 3 3

→ → → 解析 设 Q(x,y,z),因 Q 在OP上,故有OQ∥OP,可得:x=λ,y=λ,z=2λ,则 Q(λ, → → → → λ,2λ),QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=6λ2-16λ 4 2 4 4 4 8 → → +10=6(λ- )2- ,故当 λ= 时,QA·QB取最小值,此时 Q( , , ),故选 C. 3 3 3 3 3 3 答案 C 14.如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,P 是 A1B1 的中点,则直线 PQ 与 AM 所成的角为 π A. 6 π B. 4 π C. 3 ( π D. 2 ).

解析 以 A 为坐标原点,AC、AB、AA1 所在直线为 x、 y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1=AB= → AC=2,则AM=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2), → → → QP=(0,-1,2),所以QP·AM=0,所以 QP 与 AM π 所成角为 . 2

6

答案 D 15.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基 底{i,j,k}下的坐标为 ( A.(12,14,10) C.(14,10,12) ). B.(10,12,14) D.(4,2,3)

解析 8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i) =12i+14j+10k ∴点 A 在{i,j,k}下的坐标为(12,14,10). 答案 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
→ → → → 16.已知 P 和不共线三点 A,B,C 四点共面且对于空间任一点 O,都有OP=2OA+3OB+λOC,则 λ=________. 答案 -4 17.已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e=(1,1,1)是 α 的法向量,M(x,y,z)是平面 α 内任意一 点,则 x,y,z 满足的关系式是________. → 解析 OM·e=(x,y,z)· (1,1,1)=x+y+z=0. 答案 x+y+z=0 π 18.如图所示,已知二面角 M—l—N 的平面角为 θ ?θ∈?0,2??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 在平面 N ? ? ?? 内,BC 在 l 上,CD 在平面 M 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为________. 答案 3-2cos θ

→ 1 → → → → → 19.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1E= A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则 y=________. 4 1 答案 4

20.已知四面体顶点 A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和 D(-5,-4,8),则顶点 D 到平面 ABC 的距离为______. 解析 设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z)则
7

→ ?n· =0, ?(x,y,z)· (2,-2,-3)=0, ? AB ? ? 即? ? → (4,0,6)=0. ?n· =0, ?(x,y,z)· ? AC

?y=2x, ? ?2x-2y-3z=0, ? ∴? ?? 2 ?4x+6z=0 ? ?z=-3x, ?
2 → 令 x=1,则 n=(1,2,- ),AD=(-7,-7,7), 3 14 → |-7-14- | 3 |AD·n| 故所求距离为 = =11. |n| 4 1+4+ 9 答案 11

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)
? → ? → 21.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a =AB, b =AC.
(1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 解

?

?

?

?

?

?

? → a =AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

? → b =AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2). ? ?? ? a? b -1+0+0 10 (1)cosθ = ?????? = =- , ? 10 2× 5 | a || b |
∴ a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为-

?

?

10 . 10

(2)k a + b =(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), k a -2 b =(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0. 5 即 2k2+k-10=0,∴k=- 或 k=2. 2

?

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8

22.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)证明:AC⊥BC1; (2)求二面角 C1?AB?C 的余弦值大小.

解 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,故 AC, BC,CC1 两两垂直,建立空间直角坐标系(如图),则 C(0,0,0), A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4). → (1)证明 AC=(-3,0,0), → BC1=(0,-4,4), → → ∴AC·BC1=0.故 AC⊥BC1. (2)平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1),设平面 C1AB 的一 个法向量为 n=(x,y,z), → → AC1=(-3,0,4),AB=(-3,4,0), → ?n· 1=0, ?-3x+4z=0, ? ? AC 由? 得? ?-3x+4y=0, → ? ?n· =0. ? AB 令 x=4,则 y=3,z=3.n=(4,3,3), 故 cos〈m,n〉= 3 3 34 = . 34 34

3 34 即二面角 C1-AB-C 的余弦值为 . 34 23.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G 分别为 CC1,B1C1,A1C1 的中点, (1)求证:B1D⊥平面 ABD; (2)求证:平面 EGF∥平面 ABD; (3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离.

9

(1)证明 如图所示,建立空间直角坐标系, 设 A1(a,0,0),则 C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1), a A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G( ,1,0). 2 → → → ∴B1D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2), → → → → ∴B1D·AB=0+0+0=0,B1D·BD=0+4-4=0. ∴B1D⊥AB,B1D⊥BD. 又 AB∩BD=B,∴B1D⊥平面 ABD. a → → → → (2)证明 ∵AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),GF=(- ,0,0),EF=(0,1,-1), 2 → → → → ∴GF∥AB,EF∥BD,∴GF∥AB,EF∥BD. 又 GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面 EGF∥平面 ABD. (3)解 由(2)知平面 EGF 与平面 ABD 的距离即为点 D 到平面 EGF 的距离 → 由(1)(2)知平面 EGF 的法向量为B1D=(0,2,2), → 又ED=(0,2,1), → → |ED·B1D| 3 2 ∴所求距离 d= = . 2 → |B1D| 24.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF 1 =AB=BC=FE= AD. 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD⊥平面 CDE; 解 如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原 点. 设 AB=1,依题意得 B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1), 1 1 M( ,1, ). 2 2 → → (1)BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1), → → BF·DE 0+0+1 1 → → 于是 cos〈BF,DE〉= = = . → → 2× 2 2 |BF||DE| 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°.

10

1 1 → → (2)证明 由AM=( ,1, ),CE=(-1,0,1), 2 2 → → → → → AD=(0,2,0),可得CE·AM=0,CE·AD=0. 因此,CE⊥AM,CE⊥AD. 又 AM∩AD=A,故 CE⊥平面 AMD. 而 CE ? 平面 CDE,所以平面 AMD⊥平面 CDE. 25.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (1)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明理由; (2)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° ,求 AB 的长.

→ →

→ → →

解析:(1)以 A 为原点,AB,AD,AA1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如 a a 图). AB=a, A(0,0,0), 设 则 D(0,1,0), 1(0,1,1), ?2,1,0?, 1(a,0,1), D E? 故AB1=(a,0,1), =?2,1,0? AE ? ? B ? → 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),使得 DP∥平面 B1AE,此时DP=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z), ∵n⊥平面 B1AE,

?ax+z=0, ? ∴n⊥AB1,n⊥AE,得?ax ? 2 +y=0. ?
a 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=?1,-2,-a?. ? ? a 1 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP,有 -az0=0,解得 z0= . 2 2 又 DP?平面 B1AE, 1 ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2 (2)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 又 CD⊥AD1,且 A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面 DCB1A1,
11







→ → 设AD1与 n 所成的角为 θ,则 a - -a 2 n· 1 AD cosθ= = . → a2 2 2 1+ +a 4 |n||AD1| ∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° , 3a 2 2 解得 a=2,即 AB 的长为 2. 5a2 1+ 4 →



∴AD1是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1=(0,1,1).

∴|cosθ|=cos30° ,即



3 , 2

12


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